DOCUMENT DE TRAVAIL UNIVERSITE DE DIJON

EQUIPE
DE
RECHERCHE
ASSOCIEE
AU
C.N.R.S.
DOCUMENT DE TRAVAIL
INSTITUT
DE
MATHEMATIQUES ECONOMIQUES
UNIVERSITE DE DIJON
FACULTE
4,
DE
SCIENCE
BOULEVARD
ECON OMIQUE
GABRIEL
-
ET
21000
DE
GESTION
DIJON
r
33
Investissement et Taux d'intérêt
Un modèle stochastique d'analyse conjoncturelle.
Max PINHAS
Octobre 1978
Ce document de Travail n° 33 est dû à Monsieur Max Pinhas,
Maître de Conférences de Mathématiques à l'Université
Sociales de Toulouse.
des Sciences
TR AV AUX D EJA PUBLIES
N°1 Michel PREVOT: Theorème du point fixe. Une étude topologique générale(juin 1974)
Daniel LEBLANC^ L'introduction des consommations intermédiaires dans le
modèle de LEFEBER (juin 1974)
N°3 Colette BOUNON: Spatial Equilibrium of the Sector in Quasi-Perfect Compétition
(september 1974)
N°4 Claude PONSARD: L'imprécision et son traitemebt en analyse économique
(septembre 1974)
N°5 Claude PONSARD: Economie urbaine et espaces métriques (septembre 1974)
N°6 Michel PREVOT: Convexité (mars 1975)
N°7 Claude PONSARD: Contribution à une théorie des espaces économiques imprécis
(avril 1975)
N"8 Aimé VOGT: Analyse factorielle en composantes principales d'un caractère
de dimension - n (juin 1975)
N°9 Jacques THISSE et Jacky PERREUR: Relation between the Point of Maximum
Profit and the Point of Minimum Total Transportation Cost:
A Restatement (juillet 1975)
M°10 Bernard FUSTIER: L'attraction des points de vente dans des espaces précis
et imprécis (juillet 1975)
N°ll Regis DELOCHE: Théorie des sous-ensembles flous et classification en
analyse économique spatiale (juillet 1975)
N"l? Gérard LASSIBILLE et Catherine PARRON: Analyse multicritère dans un contexte
imprécis (juillet 1975)
N°13 Claude PONSARD: On the Axiomatisation of Fuzzy Subsets Theory (july 1975)
N°14 Michel PREVOT: Probability Calculation and Fuzzy Subsets Theory (August 1975)
N’
15 Claude PONSARD: Hiérarchie des places centrales et graphes
flous
(avril 1976)
N°16 Jean-Pierre AURAY et Gérard DURU: Introduction à la théorie des espaces
inultiflous (avril 1976)
N°17 Roland LANTNER, Bernard PETITJEAN, Marie-Claude PICHERY: Jeu de simulation
du circuit économique (Août 1976)
N°18 Claude PONSARD: Esquisse de simulation d'une économie régionale: l'apport
de la théorie des systèmes flous (septembre 1976)
N°19 Marie-Claudo PICHERY: Les systèmes complets de fonctions de demande (avril 1977
N°70 Gérard LASSIBILLE et Alain MINGAT: L'estiamtion de modèles à variable
dépendante dichotomique. La selection universitaire et la
reussite en première année d'économie (avril 1977)
N°?l Claude PONSARD: La région en analyse spatiale (mai 1977)
N’
2? Dan RALESCU: Abstract Models for Systems Identification (juin 1977)
N°23 Jean MARCHAL et François POULON: Multiplicateur, graphes et chai nés de
'
Markov (décembre 1977)
N°24 Pietro BALESTRA: Déterminant and Inverse of a Sum of Matrices with Applica­
tions in Economies and Statistics (avril 1978)
N°25 Bernard FUSTIER: Etude empirique sur la notion de région homogène (avril 1978)
N°26 Claude PONSARD: On the Imprécision of Consumer1s Spatial Preferences
(avril 1978)
N°27 Roland LANTNER: L'apport de la théorie des graphes aux représentations de
l'espace économique (avril 1978)
N°28 Emmanuel JOLLES: La théorie des sous-ensembles flous au service de la
décision: deux exemples d'application.(mai 1978)
N°29 Michel PREVOT: Algorithme pour la résolution des systèmes flous (mai 1978)
N°30 Bernard FUSTIER: Contribution à l'analyse spatiale de l'attraction
imprécise (juin 1978)
N°31 TRAN QUI Phuoc: Régionalisation de l'économie française par une méthode de
taxinomie numérique floue (juin 1978)
N° 32 Louis de MESNARD : |_a Dominance régionale et son imprécision,traitement
dans le type général de structure.
-
L'objectif vise par la présente étude consiste à prévoir dans quelle mesure
la valeur du taux d'intérêt pratiqué sur le marché des capitaux influence la décision
d ’investir d'un agent économique.
Nous avons inscrit notre modèle dans le contexte suivant :
*
le décideur a La faculté de répartir son avoir initial
et
en ^
cl
montant
consacré à l'unique activité productrice à sa disposition,
et.
prêt consenti au taux (continu) x,
ont pour horizon commun
&
;
. Ces deux opérations
;
* la valeur (en francs constants) de l'unité d'investissement évolue pendant la
période [o,&]
p
et
cr*
selon un schémadifférentie1 stochastique fondé sur deux paramètres
, connus du décideur au moment de son choix;
taux moyen de rentabilité et
oZ
p
a la signification d'un
traduit le degré d'incertitude attaché à la
perspective aléatoire ;
*
le comportement de l'agent économique est de type bernoullien et de plus sa fonc­
tion d'utilité exprime une aversion relative constante
(/l*"/|v)
à l’
égard du risque.
Outre la simplicité des résultats obtenus et l'évidence de leur interprétation
économique nous pensons que militent en faveur de ce modèle d'autres arguments :
4k
l'estimation des paramétres est aisée,
*
à cause du degré de liberté
{A-
/|v)
l'hypothèse de comportement peut convenir
à une gamme assez vaste d'agents (de nature micro ou macro-économique),
*
la souplesse de la formulation mathématique autorise certaines extensions (par
exemple, la prise en compte de l'inflation).
1
-
1 - L'équation différentielle stochastique d'évolution
Nous supposons acceptable de décrire l'évolution de la valeur de
[••*3
l'investissement sur
au moyen de l'équation :
àX
4- <r X AVJ
dLX =
p X
p tG"
COrv^-O/»^^
,
W
a t t v v6>U/yvX-LvwlL
,
*(°) » X e > O .
Nous notons en particulier que dans cette représentation le poids du
terme aléatoire est directement lié à la valeur de X .
Définissons
Y
et
o<
par
Y - Lo<j X
<jt o( = p __ ÎL .
D'après la formule de Ito (1) :
d Y s & dt +
et donc
X
s
XQ
cr
. Par conséquent Y s Y 0 + o< k + cr V/(t)
dW
ca.'b + o* Wtt)j .
2 - L'estimation des paramètres de l'équation différentielle
Désignons de manière provisoire (c’
est à dire seulement dans ce par a­
graphe) par
£o ,
un intervalle de temps pendant lequel l'évolution de
X
a été observée. Nous pouvons alors lui associer les estimateurs suivants :
a) Le paramètre
La
v .cl .
_L o -Cé
*
pectivement
<X
<x
et
admet pour moyenne et variance res-
^
Xo
. C'est donc un estimateur sans biais de
1
*
qui converge en moyenne quadratique
lorsque
b) Le paramètre
de
R
oo .
cr1
Considérons d'abord la
et conditionnée par
* — ►
fi
W (o) =
v. a.
s O
R
=
/
'
2^
-7I-
\
'
crrruxx,V/ (t) ^ pour
. O n montre (2) que la densité
est :
f ^
ex ,
*°
K, < O
de probabilité
- 3 (la
v. o.
S
= W/r\ crW(,t)
analogue : remplacer
^ soumise au mcmc conditionnement possède une densité
par - a
, pour
-4 < o) .
Ainsi la maximisation de la vraisemblance par rapport à
elle à la
va.
2 R2
f R 2 + S* 1
,
* cr
X
Revenant au processus
retenu pour
a*
conduit-
Far souci de symétrie et sans diminuer la qualité de
l'estimateur nous lui substituons la V a .
variance
cr
i
1
d’
espérance
cr2
et de
J
nous constatons alors que l'estimateur
s'écrit :
,
XlF)
X U)
î>,y
3 - Les fonctions d'utilité à aversion relative constante
Les fonctions d'utilité
pour
^
é.
R
ax
, à aversion relative constante et définies
, appartiennent comme on sait à l'une des trois catégories :
3) ■y
1)
r
<o
Pour plus de commodité la fonction logarithmique sera désormais mention­
née par la valeur nulle élu paramètre
jLLU -r,
______
vaut toujours A - Xi .
. Avec cette convention l'aversion relative
•0
4 - Taux de rentabilité équivalent
A tout choix d ’
une fonction d ’
utilité et d ’
un horizon correspond le taux
de rentabilité équivalent
J
défini par :
E -u(X(ft)) =-4<0 e
*
)
Compte tenu de la formule
£ [tvp,
W ( £ ) j =,
i ) . Ÿ A € R ,
il vient :
( r **) •
¡j = f - 0- r ) f 3
Nous constatons que :
*
ÿ
est en fait indépendant de
et de
Xo ,
*
p
s'interprète comme le taux de rentabilité équivalent associé à la fonction
^( 3) = 3 >
4
cr1
mesure l ’
affaiblissement du taux quand on substitue l ’
utilité logarithmique
à 1 'utilité linéaire.
5 - Le partage optimal
L'agent économique est supposé répartir son avoir initial a en investis­
sement et prêt de façon à maximiser l'espérance mathématique de l ’
utilité à la date-ft.
Adoptant les simplifications d'écriture :
^
J =.
eoc/p.
,
et nous plaçant dans le cas
O <
nous découvrons que le décideur aura pour
{ \ t
objectif d'atteindre le maximum de
=
E [
]
^ £ [ o , 1} .
Comme les conditions suffisantes de dérivation sous le signe
£
(3)
sont présentement vérifiées, nous pouvons écrire :
=
*
e
r [ Ü1" ' (
= E
Par conséquent
] f -‘ {
tj?
calcul immédiat prouve que
p- X
et
p -
)
s<o .
est une fonction concave de
cj> (o) et
- 1
Ÿ
"X
. D'autre part un
cp (\ ) ont même signe respectivement que
. Finalement
trois cas sont à distinguer pour
évaluer la valeur optimale \ ;
*
*
^ « p-
<rX
1
ï
-
\
o
-V
*
x € ] p - C ^ - ' 1 v)crli p C
X £ ] o ;l [ t J b « ^
j
ci*.
(A) = o .
Ces mêmes conclusions restent valables pour
'Jv ^ © .
/V
6 - Variation de
A
Seul le cas
x
-o
en fonction de x
€.] p - (1 -
«r3, ,
<j=^ E
(
( o < y. < 1 )
p £
reste indécis :
) = o.
Différencions cette dernière équation par rapport 5
et
\
X
;
E (('[v -1) 0 ]1''î ( )lj i >
+
= o.
Le coefficient de
division par
-d e / ^
r-
est négatif. Quant à celui de
d'X
cm *
, après
il s'écrit :
(/jv - -1J H. [ 0 ] r
-r orY l
i&))^ — ^
^
Il est donc aussi négatif. Par suite
^ J
"X
.
décroît quand
X
augmente.
7 - Taux d'intérêt et incitation à investir
Les calculs précédents montrent que le montant investi s'élève exactement
au niveau
pour les valeurs de
cx0
Dans l'hypothèse où
o < '(v < 4
solutions de
X
o < au <
le paragraphe 6. qu'une seule valeur
cl
t
(¿) » — 1- .
et
nous pouvons affirmer d'après
\
du taux d'intéêt convient (la monotoni-
jl 0
r4
cité de
n'a pas été démontrée dans le cas
y, ¿o').
L'approximation linéaire
Souvent dans les applications
a.
représente le niveau minimum à
atteindre et un ordre de grandeur concernant le plafond
suffit. Alors l'emploi
(prudent) de l'interpolation linéaire simplifie considérablement les calculs et
l'interprétation économique. Plus précisément la condition
s'exprime
CL*
aisément
à
l'aide
À
p - ~ ( A - /|v) <rl
de4 :
1
* — L
incitation a* investir
* ( p , <r J
*
‘
‘
version relative contre le risque.
paramétrés conjoncturels
- 6 -
(1)
Gikhman-Skorokhod
"Introduction
(2)
the
theory
of r a n d o m p r o c e s s e s "
K a r l in
"Introduction
(3)
to
aux p r o c e s s u s
aléatoires"
Gene t
"Mesure
et
integration"
Vuibert.
Dunod.
Saunders.