Mod`eles du Vrai Parall´elisme

Mod`eles du Vrai
Parall´elisme
Eric Goubault
Commissariat `a l’Energie Atomique, Saclay
email: [email protected]
http://www.di.ens.fr/˜goubault
http://www.enseignement.polytechnique.fr/profs/informatique/
Eric.Goubault
avec Pierre-Louis Curien (PPS)
James Leifer (INRIA Rocquencourt)
Jean-Jacques L´evy (INRIA Rocquencourt)
Catuscia Palamidessi (INRIA Futurs)
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Remarques et r´ef´erences
•On utilisera parfois le langage cat´egorique sans faire appel `a une
connaissance de la th´eorie. Il est n´eanmoins bon de savoir que
tout peut ˆetre trait´e de fac¸on g´en´erique
•R´ef´erence: Saunders Mac Lane “Categories for the working
mathematician”, Giuseppe Longo et Andrea Asperti “Categories
for the working computer scientist”
•R´ef´erence sur les mod`eles du parall´elisme: Glyn Winskel
“Models for Concurrency”, Handbook of Logic in Computer
Science, Vol. 4
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Plan du cours
•“Vrai” et “faux” parall´elisme
•Rappels (rapides): syst`emes de transitions et bisimulation
•Une reformulation “alg´ebrique” des constructions sur les
syst`emes de transitions, et de la bisimulation forte
•Syst`emes de transition asynchrones, concurrents,
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Plan du cours
•Automates de trace, traces de Mazurkiewicz (g´en´eralis´ees)
•Structures d’´evenements (´etiquet´ees ou pas), pomsets et
syst`emes de transitions avec ind´ependance.
•R´eseaux de Petri
•Comparaison des diff´erents mod`eles, s´emantiques vraiment
parall`eles de CCS et bisimulations sur les diff´erents mod`eles
•Quelques id´ees g´eom´etriques (si le temps le permet)
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Motivation du cours
•Grand nombre de mod`eles introduits `a des niveaux d’abstraction
diff´erents (´evenements/´etats, branchements ou pas etc.)
•Par des correspondances (style correspondances de Galois, ou
adjonctions en g´en´eral), les constructions s´emantiques utiles
pour la s´emantique du parall´elisme sont d´efinissables dans tous
ces mod`eles de fac¸on similaire (“produit cart´esien” =
composition parall`ele...)
•Les congruences s´emantiques peuvent aussi ˆetre d´efinies de
fac¸on tr`es g´en´erales sur tous ces mod`eles (ex. bisimulation forte,
par “span de morphismes ouverts”)
•On illustrera tout cela sur un certain nombre de mod`eles les plus
classiques, `a commencer par la reformulation dans le cas des
syst`emes de transition.
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Rappels – Syst`emes de transitions (cf. cours 3)
D´efinition 1 Un syst`eme de transitions est une structure
(S, i, L, T ran)
•Sensemble d’´etats et i´etat initial,
•Lensemble d’´etiquettes, et
•T ran ⊆S×L×Sla relation de transition
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Exemple
a
ba
bc
d
α
β
γ
δ ε
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“Vrai” et “faux” parall´elisme
a|b∼a.b +b.a?
Identifier non-d´eterminisme et parall´elisme est moralement malsain:
ba
ab
Faut-il l’interpr´eter comme exclusion mutuelle entre aet bou
ex´ecution asynchrone de aavec b?
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Raffinement d’actions
•D’un point de vue de l’ing´eni´erie, il est bon de pouvoir raisonner
sur un syst`eme sans se pr´eoccuper de tous les d´etails `a grain fin,
voire atomique
• ⇒ trouver des m´ethodes s´emantiques qui permettent de raffiner
progressivement le grain (ou de composer les r´esultats acquis
sur des sous-syst`emes)
•Exemple: on ´etudie a|b, mais aest en fait raffin´e en a.a0
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Raffinement d’actions
Si a|b∼a.b +b.a, alors (a.a0)|bet a.a0.b +b.a.a0doivent aussi ˆetre
´equivalents (si ∼est une congruence):
b
b a
a’
a
ab
a
a’ b
Mais il manque la trace a.b.a0dans le deuxi`eme cas! (et on aime en
g´en´eral que ∼contienne l’´equivalence de trace...)
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Cat´egorie
On en fait une cat´egorie avec pour morphismes les simulations
(Glynn Winskel et al.).
Un syst`eme de transition T1simule un syst`eme de transitions T0`a la
condition que si T0peut effectuer une action adans un certain
contexte, alors T1peut effectuer a´egalement dans un contexte
similaire.
Un morphisme f:T0→T1definit la fac¸on dont les ´etats et les
transitions de T0sont reli´es aux ´etats et transitions de T1.
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Morphismes
D´efinition 2 Soit T0= (S0, i0, L0, T ran0)et T1= (S1, i1, L1, T ran1)
deux syst`emes de transition. Un morphisme f:T0→T1est un couple
f= (σ, λ)o`u,
•σ:S0→S1,
•λ:L0→L1est tel que σ(i0) = i1et
(s, a, s0)∈T ran0⇒(σ(s), λ(a), σ(s0)) ∈T ran1
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Morphismes partiels
Les morphismes partiels permettent `a T1de ne pas effectuer d’action
quand T0le fait.
D´efinition 3 Soient T0= (S0, i0, L0, T ran0)et T1= (S1, i1, L1,T ran1)
deux syst`emes de transition. Un morphisme partiel f:T0→T1est un
couple f= (σ, λ)o`u,
•σ:S0→S1,
•λ:L0→L1est une fonction partielle.(σ, λ)est tel que
–σ(i0) = i1,
–(s, a, s0)∈T ran0et λ(a)est d´efini implique (σ(s), λ(a),
σ(s0)) ∈T ran1. Sinon, si λ(a)n’est pas d´efini alors σ(s) = σ(s0).
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Transitions silencieuses
On compl`ete un syst`eme de transition T= (S, i, L, T ran)en
T∗= (S∗, i∗, L∗, T ran∗),
•S∗=S,
•i∗=i,
•L∗=L∪ {∗},
•T ran∗=T ran ∪ {(s, ∗, s)/s ∈S}.
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Exemple
Partial f
f
f
f’
f’
f’
* * * *
*
*
*
*
Total f’
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S´emantique de CCS (rappel)
α.t α
-t(1)
ti
α
-t0
i
t1+t2
α
-t0
i
(2)
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S´emantique de CCS (rappel - cours 3)
t1
α
-t0
1
t1|t2
α
-t0
1|t2
(3)
t2
α
-t0
2
t1|t2
α
-t1|t0
2
(4)
t1
α
-t0
1t2
α
-t0
2
t1|t2
τ
-t0
1|t0 2
(5)
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S´emantique de CCS (rappel)
tα
-t0α6=cand α6=c
t\cα
-t0\c(6)
tα
-t0
t[f]f(α)
-t0[f](7)
rec x.t[x]α-t0
t[rec x.t[x]] α
-t0(8)
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Bisimulation - rappel, cours 3
Id´ee d’exp´erimentation formalis´ee:
Une relation binaire S ⊆ P × P entre agents est une bisimulation
(forte) si (P, Q)∈ S implique, pour tout α∈Σ,
(i) d`es que P→αP0il existe Q0tel que Q→αQ0et (P0, Q0)∈ S,
(ii) d`es que Q→αQ0il existe P0tel que P→αP0et (P0, Q0)∈ S
Maintenant Pet Qsont (fortement) ´equivalents ou (fortement)
bisimilaires si et seulement si il existe une bisimulation Stelle que
(P, Q)∈ S.
On ´ecrit P∼Qquand Pet Qsont bisimilaires.
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Exemple
On consid`ere les agents Aet Bd´efinis par:
A=a.A0
A0=c.A
et
B=c.B0
B0=b.B
Peut-on trouver un ´equivalent pour (A|B)\c?
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