Cosinus d’un angle aigu Un triangle rectangle a un angle droit et deux angles aigus complémentaires. Un angle aigu d’un triangle rectangle est déterminé par deux côtés : L’hypoténuse et le côté appelé côté adjacent à l’angle (c’est un des côté de l’angle droit). Par exemple : Dans le triangle ABC rectangle en B, a BAC et a ACB sont les deux angles aigus du triangle rectangle Côté adjacent à l’angle a BAC Côté adjacent à l’angle a ACB Définition : Dans un triangle rectangle le cosinus d’un angle aigu est le quotient longueur du côté adjacent . longueur de l’hypoténuse Exemple : dans le triangle ABC rectangle en B, le cosinus de l’angle a BAC se note cos a BAC : longueur du côté adjacent Cos a BAC = longueur de l’hypoténuse donc cos a BAC = AB AC Remarque : Comme la longueur du côté adjacent est toujours plus petite que celle de l’hypoténuse, le cosinus d’un angle aigu est toujours un nombre positif inférieur à 1. Ci-contre, quelques exemples d’utilisation du cosinus d’un angle aigus. Attention : les différents calculs nécessitent l’utilisation de la calculatrice, qu’il faudra configurer en mode degré. Exemple d’utilisation du cosinus pour calculer la longueur d’un côté de l’angle droit : VAL est un triangle rectangle en A. Trouver la longueur VA arrondie au millimètre Solution : VAL est un triangle rectangle en A. AVL On cherche la longueur du côté [VA] qui est le côté adjacent à l’angle a VA AVL ) cos a (On utilise la définition de cos a AVL = VL (On remplace par les valeurs connues) cos 34° = ? VA 8 cos 34° VA = 1 8 D’après l’égalité des produits en croix on a : VA = 8 × cos 34° c’est en cm, la valeur exacte de VA On tape sur la calculatrice : 8 VA ≈ 6,6cm × cos 34 EXE Valeur arrondie au millimètre obtenue avec la calculatrice. Exemple d’utilisation du cosinus pour calculer la longueur de l’hypoténuse : PIT est un triangle rectangle en P. Trouver la longueur IT arrondie au millimètre Solution : PIT est un triangle rectangle en P. On cherche la longueur de l’hypoténuse [IT] PIT et la longueur du côté [IP] On connaît la mesure de l’angle a IP PIT ) cos a (On utilise la définition de cos a PIT = IT (On remplace par les valeurs connues) cos 30° = 3 IT cos 30° 3 = 1 IT D’après l’égalité des produits en croix on a : IT × cos 30° = 3 3 D’où IT = c’est en cm, la valeur exacte de IT cos 30° IT ≈ 3,5cm Valeur arrondie au millimètre obtenue avec la calculatrice. Exemple d’utilisation du cosinus pour déterminer la mesure d’un l’angle : ROB est un triangle Solution : rectangle en R. ROB est un triangle rectangle en R. Calculer la mesure de On connait la longueur du côté [RO] qui est le côté adjacent à l’angle a ROB et on a connaît la longueur de l’hypoténuse [OB]. l’angle ROB arrondie RO au degré. ROB ) cos a ROB = (On utilise la définition de cos a OB 5 (On remplace par les valeurs connues) cos a ROB° = 7 En utilisant la calculatrice on trouve la mesure de l’angle. On tape sur 2nde cos ( 5 ÷ 7) EXE La mesure de a ROB est de 44° arrondie au degré.