Corrigé de l`exo 1 sur lois continues

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Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
VÉÜÜxvà|ÉÇ xåxÜv|vx D „ _É|á vÉÇà|Çâxá
Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d’un
oscilloscope est une variable aléatoire X qui suit la loi de durée de vie sans vieillissement (en encore loi exponentielle de
paramètre λ avec λ>0). Les probabilités seront données à 10
-3
près.
1. Sachant que p(X>10)=0,286, montrons qu’une valeur approchée à 10
-3
près de λ est 0,125.
X suit la loi exponentielle de paramètre λ donc
p(X>10)=1−p(0ÂXÂ10)=1−
⌡
⌠
0
10
λe
-λt
dt=1− −e
-λt
0
1 0
= e
-10λ
Or, p(X>10)=0,286 donc e
-10λ
= 0,286 d’où -10λ= ln0,286 d’où λ=
ln0,286
-10
d’où λó0,125
Une valeur approchée de λ à 10
-3
près est 0,125 . Dans la suite, on considère que λ=0,125
2. Calculons la probabilité qu’un oscillo du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois.
La proba qu’un oscillo ait une durée de vie inférieure à 6 mois est p(XÂ0,5)=
⌡
⌠
0
0,5
λe
-λt
dt=1−e
-λ×0,5
ó0,061 (à 10
-3
près)
A 10
-3
près, la probabilité qu’un oscillo ait une durée de vie inférieure à 6 mois est 0,061 .
3. Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure
à 10 ans ?
X suit la loi de durée de vie sans vieillissement donc
p
XÃ8
(XÃ10)=p(XÃ2)=1−p(0ÂXÂ2) =1−
⌡
⌠
0
2
λe
-λt
dt=e
-λ×2
ó0,779 (à 10
-3
près)
A 10
-3
près, la proba qu’un oscillo ait une durée de vie supérieur à 10 ans sachant qu’il a fonctionné 8 ans est 0,779
4. On considère que la durée de vie d’un oscillo est indépendante de celle des autres appareils. Les responsables du
laboratoire décident de commander 15 oscillos. Déterminons la probabilité qu’au moins un des oscillo ait une
durée de vie supérieure à 10 ans.
La durée de vie d’un oscillo étant indépendante de celle des autres, l’expérience consistant à considérer la durée de vie de
15 oscillos est un schéma de Bernouilli à 15 épreuves dont l’issue "la durée de vie est supérieure ou égale à 10 ans" appelé
"succès" a pour proba 0,286.
Considérons la v.a. Y qui donne le nombre d’oscillo ayant une durée de vie supérieure ou égale à 10 ans (soit le nombre de
succès). Y suit alors la loi binomiale de paramètres n=15 et p=0,286
La proba qu’au moins un oscillo ait une durée de vie supérieure ou égale à 10 ans est p(YÃ1).
Or, p(YÃ1)=1−p(Y=0)=1−
15
0
p
0
(1−p)
15
ó0,994 (à 10
-3
près)
A 10
-3
près, la proba qu’au moins un oscillo ait une durée de vie supérieure ou égale à 10 ans est 0,994 .
5. Combien l’établissement devrait-il acheter d’oscillo pour que la proba qu’au moins l’un d’entre eux fonctionne
plus de 10 ans soit supérieure à 0,999 ?
On considère la loi binomiale de paramètres n et p=0,286 avec n le nb d’oscillo à acheter par le labo.
On cherche donc le plus petit entier n tel que p(YÃ1)Ã0,999

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Or, p(YÃ1)Ã0,999ñ1−
n
0
p
0
(1−p)
n
Ã0,999
ñ10
-3
Ã0,714
n
ñln
( )
10
-3
Ãnln(0,714)
ñ nÃ
ln
( )
10
-3
ln(0,714)
car ln(0,714)<0
Or,
ln10
-3
ln0,714
ó20,51 donc le plus petit entier n cherché est 21
Donc le labo devra acheter au moins 21 oscillo pour que la proba qu’au moins un d’entre eux ait une durée de vie
supérieure ou égale à 10 ans soit supérieure à 0,999.
Méthode 2 :
Notons n le nombre d’oscillo achetés. La probabilité qu’aucun d’entre eux fonctionne plus de 10 ans est (1−0,286)
n
càd
0,714
n
.
La probabilité qu’au moins un d’entre eux fonctionne plus de 10 ans est donc 1−0,714
n
.
On cherche donc n tel que 1−0,714
n
Ã0,999
Or, 1−0,714
n
Ã0,999ñ10
-3
Ã0,714
n
ñln
( )
10
-3
Ãnln(0,714)
ñ nÃ
ln
( )
10
-3
ln(0,714)
car ln(0,714)<0
Or,
ln10
-3
ln0,714
ó20,51 donc le plus petit entier n cherché est 21.
Donc le labo devra acheter au moins 21 oscillo pour que la proba qu’au moins un d’entre eux ait une durée de vie
supérieure ou égale à 10 ans soit supérieure à 0,999