Correction de la fiche d'exercices n°3.pdf

Fiche d'exercices Les fonctions de référence
Fiche d'exercices 1
Correction
Exercice 1 :
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :
1)
a)
fx=x2–3x4
, f(x) existe ∀ x ∈ ℝ donc Df = ℝ
b)
gx= 4
2x4
, f(x) existe si et seulement si 2x+ 4 ≠ 0 ⇔ 2x ≠ -4 ⇔ x ≠ -2 donc Df = ℝ\{2}
c)
hx= 3x−15
, f(x) existe si et seulement si 3x-15 0 ⇔ x  5 donc Df = [5 ; + ∞ [
2)
a)
fx=4x3–5
x3
, f(x) existe si et seulement si x ≠ 0 donc Df = ℝ\{0}
b)
gx= 3x5
4x−36x18
g existe si et seulement si 4(x-3)(6x+18) ≠ 0
⇔ x ≠ 0 et 6x+18 ≠ 0
⇔ x ≠ 0 et x ≠ -3 donc Df = ℝ\{-3 ; 0 }
c)
hx= −3x−13−x
h existe si et seulement si -3(x-1)(3-x)  0
Il faut donc dresser le tableau de signe de -3(x-1)(3-x)
Résolvons les équations formés par chacun des facteurs égaux à 0 :
● x – 1 = 0 ⇔ x = 1 ● 3 – x = 0 ⇔ x = 3
Dressons le tableau de signe :
x– ∞ 1 3 + ∞
-3 ---
x-1 - 0 + +
3-x + + 0 -
f(x) + 0 - 0 +
Donc Df = ] - ∞ ; 1 ] uni [ 3 ; + ∞ [
3)
a)
fx=4–1
x−73 2x – 4
f existe si et seulement si x – 7 ≠ 0 et 2x – 4 ≠ 0
⇔ x ≠ 7 et x ≠ 2
donc Df = R\{ 2 ; 7 }
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b)
gx=
5x−153x4
−2x22x1
g existe si et seulement si
Ax=5x−153x4
−2x22x1≥0
Il faut donc dresser le tableau de signe de A(x)
Résolvons les équations formés par chacun des facteurs égaux à 0 :
● 5x-15 = 0 ⇔ x = 3 ●3x + 4 = 0 ⇔ x = - 4/3 ● x² + 2x + 1 = (x + 1)² = 0 ⇔ x = -1
-1 est une valeur interdite
x– ∞ – 1 – 4/3 3 + ∞
5x-15 - - - 0 +
3x+4 - - 0 + +
-2 ----
(x+1)² + 0 + + +
f'(x) - || - 0 + 0 -
Donc Dg = [ -4/3 ; 3 ]
Exercice 2 :
1) On note
fx= x22−4
Calculons f(a) – f(b) :
fa– f b=[a22−4]−[b22−4]=a22−4−b224
donc
fa– f b=a22−b22=a−b ab4
donc
fa− fb=a−b ab4
a. Démontrer que f est strictement croissante sur ]-2 ; +∞ [
Soient a et b deux nombres de ]-2 ; +∞ [ tels que a < b
Comme a < b alors a – b < 0 ( donc a – b est négatif )
de plus a > - 2 et b >- 2 donc a + b > - 4 ⇔ a+b +4 >0 ( a + b + 4 est positif )
Conclusion : f(a) – f(b) < 0 donc f(a) < f(b)
La fonction f est donc strictement croissante sur ]-2 ; +∞ [
b. Démontrer que f est strictement décroissante sur ] –∞ ; -2 [
Soient a et b deux nombres de ] –∞ ; -2 [tels que a < b
Comme a < b alors a – b < 0 ( donc a – b est négatif )
de plus a < - 2 et b <- 2 donc a + b < - 4 ⇔ a+b +4 <0 ( a + b + 4 est négatif )
Conclusion : f(a) – f(b) > 0 donc f(a) > f(b)
La fonction f est donc strictement croissante sur ] –∞ ; -2 [
c. Dresser le tableau de variation de f.
x– ∞ –2 + ∞
f(x)
+ ∞
4
+ ∞
d. En déduire le minimum de la fonction f.
Le minimum de f est
f−2=−2224=4
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2) On note
gx=−3x−425
Calculons g(a) – g(b) :
ga−gb=[−3a−425]−[−3b−425]=−3a−423b−42=−3[a−42−b−42]
donc
ga−gb=−3a−bab−8
a. Démontrer que g est strictement décroissante sur ]4 ; +∞ [
Soient a et b deux nombres de ]4 ; +∞ [ tels que a < b
Comme a < b alors a – b < 0 ( négatif )
de plus a > 4 et b> 4 donc a + b > 8 ⇔ a + b – 8 > 0 ( positif )
Conclusion :g(a) – g(b) > 0 donc g(a) > g(b)
La fonction g est donc strictement décroissante sur ]4 ; +∞ [
b. Démontrer que g est strictement croissante sur ] –∞ ; 4 [
Soient a et b deux nombres de ] –∞ ; 4 [ tels que a < b
Comme a < b alors a – b < 0 ( négatif )
de plus a < 4 et b < 4 donc a + b < 8 ⇔ a + b – 8 < 0 ( négatif )
Conclusion :g(a) – g(b) < 0 donc g(a) < g(b)
La fonction g est donc strictement croissante sur ] –∞ ; 4 [
c. Dresser le tableau de variation de g.
x– ∞ 4 + ∞
g(x)
– ∞
5
– ∞
d. En déduire le maximum de la fonction g.
Le maximum de g est
g4=−34−425=5
.
3) On note
hx=− 3
x−510
a. Déterminer Dh
h(x) existe si et seulement si x – 5 ≠ 0 ⇔ x ≠ 5 donc Dh = ℝ\{5}
b. Démontrer que h est strictement croissante sur ]5 ; + ∞ [
Calculons h(a) – h(b) :
ha−hb=
[
−3
a−510
]
−
[
−3
b−510
]
=−3
a−53 b−5=−3b−53a−5 a−5b−5=−3b153a−15 a−5b−5
donc
ha−hb= −3b3a
a−5b−5=3a−b a−5b−5
Soient a et b deux nombres de ]5 ; + ∞ [ tels que a < b
Comme a < b alors a – b <0 ( négatif )
De plus a > 5 donc a – 5 > 0 ( positif ) et b > 5 alors b – 5 > 0 ( positif )
Conclusion : h(a) – h(b) < 0 donc h(a) < h(b)
donc h est strictement croissante sur ]5 ; + ∞ [
c. Démontrer que h est strictement croissante sur ] –∞ ; 5 [
Soient a et b deux nombres de ] –∞ ; 5 [ tels que a < b
Comme a < b alors a – b <0 ( négatif )
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De plus a < 5 donc a – 5 < 0 ( négatif ) et b < 5 alors b – 5 < 0 ( négatif )
Conclusion : h(a) – h(b) < 0 donc h(a) < h(b)
donc h est strictement croissante sur ] –∞ ; 5 [
d. Dresser le tableau de variation de h.
x– ∞ 5 + ∞
h(x)
0
+ ∞
– ∞
0
4) On note
wx=−3 x−2
a. Déterminer Dw
w(x) existe si et seulement si x – 2  0 ⇔ x  2 donc Dw = [2 ; + ∞ [
b. Démontrer que w est strictement croissante sur] 2 ; +∞ [
wa−wb=[−3 a−2]−[−3 b−2]=−3 a−23− b−2= a−2− b−2
donc
wa−wb=
a−2− b−2 a−2 b−2
a−2 b−2=a−2−b2 a−2 b−2=a−b a−2 b−2
Soient a et b deux nombres de ] 2 ; +∞ [ tels que a < b
Comme a < b alors a – b < 0 ( négatif )
De plus ∀ a ∈ ] 2 ; +∞ [ et ∀ b ∈] 2 ; +∞ [ alors
a−2 b−20
( Positif )
Conclusion : w(a) – w(b) < 0 donc w(a) < w(b)
donc w est strictement croissante sur ] 2 ; +∞ [
c. Dresser le tableau de variation de w.
x2 + ∞
w(x)
–3
+ ∞
5) On note
kx=− 1
x1 x12
a. Déterminer Dk
k(x) existe si et seulement si x + 1 ≠ 0 donc x ≠ -1 alors Dk = ℝ\{-1}
b. Démontrer que k est strictement croissante sur ]-1;+∞[
ka– k b=
[
−1
a1a12
]
−
[
−1
b1b12
]
=−1
a11 b1a12−b12
donc
ka– k b=−b−1a1
a1b1[ a1b1][a1−b1]= a−b a1b1ab2a−b
Soient a et b deux nombres de ]-1;+∞[ tels que a < b
Comme a < b alors a – b < 0 ( négatif)
De plus
{
a−1
b−1
⇔
{
a10 et b10
ab−2
⇔
{
a10 et b10positif 
ab20positif 
Conclusion : k(a)-k(b) < 0 donc k(a) < k(b)
donc k est strictement croissante sur ]-1;+∞[
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Exercice 3 :
Etudier la parité des fonctions ci-dessous :
1)
a.
fx=x4–3x24
∀ x ∈ ℝ,
f−x=−x4−3−x24=x4−3x24=fx
donc f est une fonction paire et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des
ordonnées.
b.
gx= 4x3
2x24
∀ x ∈ ℝ,
g−x= 4−x3
2−x24=−4x3 2x24=−gx
donc g est une fonction impaire et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du
repère.
c.
hx=5x32x2−3x5
∀ x ∈ ℝ ,
h−x=5−x32−x2−3−x5=−5x32x23x5
donc
h−x≠hx
et
h−x≠−hx
donc h est ni paire ni impaire.
2)
a.
fx=4x3–5
x
∀ x ∈ ℝ\{0},
f−x=4−x3−5
−x=−4x35 x=− fx
donc f est une fonction impaire et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du
repère.
b.
gx= 3x5
4x−36x18
∀ x ∈ ℝ\{-3;3} ,
g−x= 3−x5
4−x−36−x18=−3x5 4−x−3−6x18
donc
g−x≠gx
et
g−x≠−gx
et g est ni paire ni impaire.
c.
hx=cos x
∀ x ∈ ℝ
h−x=cos −x=cosx=hx
donc h est une fonction paire et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des
ordonnées.
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