Correction de la fiche d'exercices n°3.pdf

Fiche d'exercices
Les fonctions de référence
Fiche d'exercices 1
Correction
Exercice 1 :
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :
1)
a) f  x =x 2 – 3 x4 , f(x) existe ∀ x ∈ ℝ donc Df = ℝ
b) g  x=
4
, f(x) existe si et seulement si 2x+ 4 ≠ 0 ⇔ 2x ≠ -4 ⇔ x ≠ -2 donc Df = ℝ\{2}
2 x4
c) h  x = 3 x−15 , f(x) existe si et seulement si 3x-15 0 ⇔ x  5 donc Df = [5 ; + ∞ [
2)
5
3
a) f  x =4 x – 3 , f(x) existe si et seulement si x ≠ 0 donc Df = ℝ\{0}
x
3 x5
4  x−36 x18
g existe si et seulement si 4(x-3)(6x+18) ≠ 0
⇔ x ≠ 0 et 6x+18 ≠ 0
⇔ x ≠ 0 et x ≠ -3
b) g  x=
donc Df = ℝ\{-3 ; 0 }
c) h  x = −3 x−13−x 
h existe si et seulement si -3(x-1)(3-x)  0
Il faut donc dresser le tableau de signe de -3(x-1)(3-x)
Résolvons les équations formés par chacun des facteurs égaux à 0 :
●x–1=0⇔x=1
●3–x=0⇔x=3
Dressons le tableau de signe :
x
–∞
1
-3
-
x-1
-
3-x
+
f(x)
+
0
0
3
+∞
-
-
+
+
+
0
-
-
0
+
Donc Df = ] - ∞ ; 1 ] uni [ 3 ; + ∞ [
3)
1
3

x−7 2 x – 4
f existe si et seulement si
x – 7 ≠ 0 et 2x – 4 ≠ 0
⇔ x ≠ 7 et x ≠ 2
donc Df = R\{ 2 ; 7 }
a) f  x =4 –
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b) g  x=

Les fonctions de référence
5 x−153 x4
−2 x 22 x1
5 x−153 x4
≥0
2
−2 x 2 x1
Il faut donc dresser le tableau de signe de A(x)
Résolvons les équations formés par chacun des facteurs égaux à 0 :
● 5x-15 = 0 ⇔ x = 3 ●3x + 4 = 0 ⇔ x = - 4/3
● x² + 2x + 1 = (x + 1)² = 0 ⇔ x = -1
-1 est une valeur interdite
g existe si et seulement si
x
A x=
–∞
–1
– 4/3
5x-15
-
-
3x+4
-
-
-2
-
(x+1)²
+
f'(x)
-
3
-
0
0
+∞
+
+
+
-
-
-
0
+
+
+
||
-
0
+
0
-
Donc Dg = [ -4/3 ; 3 ]
Exercice 2 :
1) On note f  x = x22−4
Calculons f(a) – f(b) :
f a  – f b=[a22−4 ]−[b22−4 ]=a22−4−b224
donc f a  – f b=a22−b22=a−b ab4 donc f  a− f b=a−b ab4
a. Démontrer que f est strictement croissante sur ]-2 ; +∞ [
Soient a et b deux nombres de ]-2 ; +∞ [ tels que a < b
Comme a < b alors a – b < 0 ( donc a – b est négatif )
de plus a > - 2 et b >- 2 donc a + b > - 4 ⇔ a+b +4 >0 ( a + b + 4 est positif )
Conclusion : f(a) – f(b) < 0 donc f(a) < f(b)
La fonction f est donc strictement croissante sur ]-2 ; +∞ [
b. Démontrer que f est strictement décroissante sur ] –∞ ; -2 [
Soient a et b deux nombres de ] –∞ ; -2 [tels que a < b
Comme a < b alors a – b < 0 ( donc a – b est négatif )
de plus a < - 2 et b <- 2 donc a + b < - 4 ⇔ a+b +4 <0 ( a + b + 4 est négatif )
Conclusion : f(a) – f(b) > 0 donc f(a) > f(b)
La fonction f est donc strictement croissante sur ] –∞ ; -2 [
c. Dresser le tableau de variation de f.
x –∞
f(x)
–2
+∞
+∞
+∞
4
d. En déduire le minimum de la fonction f.
Le minimum de f est
f −2=−2224=4
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Les fonctions de référence
2) On note g  x=−3 x−425
Calculons g(a) – g(b) :
g  a−g b=[−3a−425 ]−[−3b−42 5]=−3a−423b−42 =−3 [a−42−b−42 ]
g  a−g b=−3a−bab−8
a. Démontrer que g est strictement décroissante sur ]4 ; +∞ [
Soient a et b deux nombres de ]4 ; +∞ [ tels que a < b
Comme a < b alors a – b < 0 ( négatif )
de plus a > 4 et b> 4 donc a + b > 8 ⇔ a + b – 8 > 0 ( positif )
Conclusion :g(a) – g(b) > 0 donc g(a) > g(b)
La fonction g est donc strictement décroissante sur ]4 ; +∞ [
donc
b. Démontrer que g est strictement croissante sur ] –∞ ; 4 [
Soient a et b deux nombres de ] –∞ ; 4 [ tels que a < b
Comme a < b alors a – b < 0 ( négatif )
de plus a < 4 et b < 4 donc a + b < 8 ⇔ a + b – 8 < 0 ( négatif )
Conclusion :g(a) – g(b) < 0 donc g(a) < g(b)
La fonction g est donc strictement croissante sur ] –∞ ; 4 [
c. Dresser le tableau de variation de g.
x
g(x)
–∞
4
+∞
5
–∞
–∞
d. En déduire le maximum de la fonction g.
Le maximum de g est g  4=−34−42 5=5 .
3
10
x−5
a. Déterminer Dh
h(x) existe si et seulement si x – 5 ≠ 0 ⇔ x ≠ 5 donc Dh = ℝ\{5}
b. Démontrer que h est strictement croissante sur ]5 ; + ∞ [
Calculons h(a) – h(b) :
−3b−53a−5 −3b153a−15
−3
−3
−3
3
h a −hb =
10 −
10 =

=
=
a−5
b−5
a−5 b−5
 a−5b−5
a−5b−5
3 a−b
−3b3a
=
donc h a −h b=
a−5b−5  a−5b−5
3) On note h  x =−
[
][
]
Soient a et b deux nombres de ]5 ; + ∞ [ tels que a < b
Comme a < b alors a – b <0 ( négatif )
De plus a > 5 donc a – 5 > 0 ( positif ) et b > 5 alors b – 5 > 0 ( positif )
Conclusion : h(a) – h(b) < 0 donc h(a) < h(b)
donc h est strictement croissante sur ]5 ; + ∞ [
c. Démontrer que h est strictement croissante sur ] –∞ ; 5 [
Soient a et b deux nombres de ] –∞ ; 5 [ tels que a < b
Comme a < b alors a – b <0 ( négatif )
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De plus a < 5 donc a – 5 < 0 ( négatif ) et b < 5 alors b – 5 < 0 ( négatif )
Conclusion : h(a) – h(b) < 0 donc h(a) < h(b)
donc h est strictement croissante sur ] –∞ ; 5 [
d. Dresser le tableau de variation de h.
x –∞
h(x)
5
+∞
+∞
0
0
–∞
4) On note w  x =−3 x−2
a. Déterminer Dw
w(x) existe si et seulement si x – 2  0 ⇔ x  2 donc Dw = [2 ; + ∞ [
b. Démontrer que w est strictement croissante sur] 2 ; +∞ [
w a −w b=[−3 a−2 ]−[−3  b−2 ]=−3 a−23− b−2= a−2− b−2
  a−2− b−2  a−2  b−2
a−2−b2
a−b
=
=
 a−2 b−2
 a−2 b−2  a−2  b−2
Soient a et b deux nombres de ] 2 ; +∞ [ tels que a < b
Comme a < b alors a – b < 0 ( négatif )
De plus ∀ a ∈ ] 2 ; +∞ [ et ∀ b ∈] 2 ; +∞ [ alors  a−2 b−20 ( Positif )
Conclusion : w(a) – w(b) < 0 donc w(a) < w(b)
donc w est strictement croissante sur ] 2 ; +∞ [
c. Dresser le tableau de variation de w.
x
2
+∞
donc w a −w b=
w(x)
+∞
–3
1
2
 x1
x1
a. Déterminer Dk
k(x) existe si et seulement si x + 1 ≠ 0 donc x ≠ -1 alors Dk = ℝ\{-1}
5) On note k  x=−
b. Démontrer que k est strictement croissante sur ]-1;+∞[
−1
−1
−1
1
2
2
2
2
k  a – k b=
a1 −
b1 =

a1 −b1
a1
b1
a1 b1
donc
−b−1a1
a−b
k  a – k b =
[ a1b1][a1−b1]=
 ab2a−b
a1b1
a1b1
Soient a et b deux nombres de ]-1;+∞[ tels que a < b
Comme a < b alors a – b < 0 ( négatif)
a10 et b10 positif 
a−1
a10 et b10
De plus
⇔
⇔
b−1
ab−2
ab20 positif 
Conclusion : k(a)-k(b) < 0 donc k(a) < k(b)
donc k est strictement croissante sur ]-1;+∞[
[
{
][
{
]
{
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Les fonctions de référence
Exercice 3 :
Etudier la parité des fonctions ci-dessous :
1)
a. f  x =x 4 – 3 x 24
∀ x ∈ ℝ, f −x=−x4 −3−x24=x 4−3 x 2 4= f  x 
donc f est une fonction paire et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des
ordonnées.
4x 3
b. g  x= 2
2 x 4
4 −x3
−4x 3
=
=−g  x
∀ x ∈ ℝ, g −x =
2−x 24 2 x 24
donc g est une fonction impaire et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du
repère.
c. h  x =5x32x 2−3x5
∀ x ∈ ℝ , h −x=5 −x 32 −x2−3 −x5=−5x 32x2 3x5
donc h −x≠h x 
2)
3
a. f  x =4 x –
et h −x≠−h  x donc h est ni paire ni impaire.
5
x
5
5
3
=−4 x  =− f  x
−x
x
donc f est une fonction impaire et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du
repère.
∀ x ∈ ℝ\{0},
b. g  x=
3 x5
4  x−36 x18
∀ x ∈ ℝ\{-3;3} ,
donc
3
f −x=4−x  −
3 −x5
−3 x5
=
4 −x −36−x18 4 −x −3−6 x18
g −x ≠−g  x  et g est ni paire ni impaire.
g −x =
g −x ≠g  x et
c. h  x =cos x
∀ x ∈ ℝ h −x=cos −x=cos x=h x 
donc h est une fonction paire et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des
ordonnées.
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