Oscillations électriques forcées Série physique n° : 9

Oscillations électriques forcées
Série physique n° : 9
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Cherchari
A- Rappel :
 Équation différentielle :
D’après la loi des mailles : uB + uR + uc = u avec u=Umsin(t + u) 
………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………..
……………………………………………
 Solution de l’équation différentielle :
L’équation différentielle précédente a pour solution i(t) =Imsin(t+i).
 Construction de Fresnel
1ère fonction :
   1 (R r)i ................................... ...... V (.........;........)
.
2ème fonction :
  2
di
L ....................................... V (.........;...........)
dt
3ème fonction :
3
1idt .................................. V (. ......;............)
C
4ème fonction :
 u(t) ............................. V(..... .....;.........)
.
 L’amplitude :
m........
I.......................................
 Le déphasage =
u - i :
ui
...
...... .......
tg tg( ) ..........
 L’impédance Z :
m
m
UU 2 U
Z ................................
II
I2
 La résonance d’intensité :
A la résonance d’intensité Im est maximale :
22
1
(R r) (L ) est minimale
C
, or R + r est constante d’où
2
1 1 1
(L ) est minimale,doncL ........; ......
C C .......
20
11
L signifie .....
C ......
.
 Um=(R+r)Im, Z est minimale Z= ……….
 u =i,  = 0 ; u(t) et i(t) sont en phase.
 On a
c
ciu
du
i C ,d'où ......
dt
or à la résonance d’intensité u =i
donc
u..... ......
ou
c
uu
2
.
A la résonance d’intensité, uc est en quadrature retard par rapport à u(t).
La courbe de variation de I=f(N), (Courbe de résonance).

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B- Applications directes :
Exercice 1 :
Un oscillateur électrique est constitué des dipôles suivants associés en série :
- un résistor de résistance R.
- une bobine d’inductance L et de résistance négligeable
- un condensateur de capacité C.
- Un GBF impose aux bornes de ce circuit une tension sinusoïdale u(t)= Umsin(2Nt) de fréquence N
variable et d’amplitude Um maintenue constante.
- Un oscilloscope bicourbe convenablement branché permet de visualiser simultanément les tensions u(t)
et uC(t) tension aux bornes du condensateur.
1°/Faire un schéma du montage représentant les connexions nécessaires avec l’oscilloscope a fin de visualiser
u(t) et uC(t).
1
2
()
()
C
u t voie Y
u t voie Y
2°/pour une fréquence N1, l’ampèremètre indique un courant
d’intensité efficace de valeur
2
.10-2 A et sur l’écran de
l’oscilloscope, on observe les oscillogrammes de la figure ci-
contre correspondant aux tensions u(t) et uC(t).
a- Affecter, en le justifiant, à chaque tension la courbe
correspondante.
b- Déterminer en exploitant les oscillogrammes de la figure :
- la fréquence N1, - l’amplitude Um de la tension u(t),
- l’amplitude UCm de la tension uC(t) .
- le déphasage de uC(t) par rapport à u(t).
c- Déterminer la valeur de la capacité C du condensateur.
d- Montrer que la tension u(t) est en retard de phase de /3 par rapport au courant i(t).
e- Le circuit est-il inductif ou capacitif ?
Exercice 2 :
Un circuit électrique comprend en série : un oscilloscope, un
générateur basse fréquence ( G.B.F) délivrant une tension
sinusoïdale u(t) = Umsin(2Nt) avec Um=constante, un interrupteur,
une bobine d’inductance L et de résistance r, un condensateur de
capacité C et un résistor de résistance connue R = 20.
L’oscilloscope est branché pour visualiser la tension aux bornes du
résistor sur la voie Y1 et celle aux bornes du générateur BF sur la
voie 2. On donne pour tout l’exercice :
Sensibilité verticale pour les deux voies 1V ------- 1 div
Sensibilité horizontale 5 ms --- 1 div
1-/ Faire le schéma du circuit en précisant les branchements de
l’oscilloscope.
2-/ Pour une fréquence N0 du GBF les oscillogrammes obtenus sur l’écran de l’oscilloscope sont donnés par le
graphe de la figure 1.
a- Préciser, en le justifiant, le graphe correspondant à u(t).
b- Dans quel état se trouve le circuit RLC ? Justifier la réponse.
c- Déterminer la fréquence propre N0 du circuit.
d- Etablir une relation entre r et R. Calculer r.
3-/ Pour une fréquence N=N1=100 Hz on trouve que u(t) est en avance de phase de /3 par rapport à i(t).
a- Montrer que
22
1
( ) 3( )L R r
C
. Calculer l’intensité efficace I du courant dans le circuit.
b- Déterminer la valeur de L et de C.
C- exercices de synthèse :
Exercice 1 :
Un oscillateur électrique comporte en série :
- Une bobine d’inductance L et de résistance r.
Fig 1
C
C’
2V
2ms
C1
C2
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- Un conducteur ohmique de résistance R=20 Ω.
- Un condensateur de capacité C.
Cet oscillateur est excité par une tension alternative sinusoïdale u(t)=Umsin(2Nt + u ) de fréquence N
réglable, de valeur efficace constante et dont la phase initiale est variable.
L’intensité instantanée du courant électrique qui circule dans le circuit est i(t)=Imsin(2Nt).
1- Sur l’écran d’un oscilloscope bicourbe, on visualise la tension u(t) et la tension uR(t) aux bornes du résistor.
Pour une pulsation 1 =400 rad.s-1, on obtient l’oscillogramme de la figure 1.
a- Préciser la tension visualisée sur chaque voie.
b- Représenter un schéma du circuit électrique et
indiquer par un tracé clair les connexions
avec l’oscilloscope.
La sensibilité verticale de la voie 1 est de 5
V.div-1.
La sensibilité verticale de la voie 2 est de 2
V.div-1.
2- Pour une pulsation 1 =400 rad.s-1, on
obtient l’oscillogramme de la figure 1 :
a- Calculer l’impédance Z du circuit.
b- Déterminer le déphasage  de la tension
u(t) par rapport à l’intensité de courant i(t).
Déduire la phase initiale u de la tension
excitatrice.
3- Etablir l’équation différentielle régissant les variations de i(t).
4- On donne, dans la figure 2, la construction de Fresnel incomplète relatives aux tensions maximales, le
vecteur
3
V
représente la tension uC aux bornes du condensateur. L’échelle adoptée est : 2V1cm.
a- Compléter cette construction.
b- En déduire que la valeur, de la capacité du condensateur est C=100 µF, de l’inductance L  0,14 H et de
la résistance de la bobine r=10 Ω.
5- Exprimer la puissance moyenne électrique P1 consommée par le circuit en fonction de r, R et I intensité
efficace du courant dans le circuit. Déduire son expression en fonction de la tension efficace U aux bornes
du G.B.F, R, r, L, C et la pulsation 1. Calculer sa valeur.
6- La même puissance moyenne P1 peut être consommée par l’oscillateur avec une autre pulsation 2 du
G.B.F, montrer que 12=02. Calculer 2.
7- Pour une valeur 3 de la pulsation du générateur B.F, l’amplitude de la tension aux bornes du
condensateur est maximale.
a- Montrer que le circuit est à la résonance de charge.
b- Donner l’expression de la pulsation 3 ? calculer sa valeur.
Exercice 2 :
Le circuit électrique de la figure-1
comporte en série :
- un résistor ( R ) de résistance
R=170.
- une bobine (B) d'inductance L et de
résistance propre r .
- un condensateur (C) de capacité C =
2,5F .
Un générateur (G) impose aux
bornes D et M de l'ensemble {(R) , (B) , (C)} une tension alternative sinusoïdale u(t)=Umsin( 2Nt) de
fréquence N réglable et de valeur efficace U constante .
uc
V
Ucm
Figure-1
M
Voie 2
Voie 1
Fig 1
93

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Un voltmètre (V) branché aux bornes D et N de l'ensemble {(B) , (C)} mesure la valeur de la tension efficace
UDN
1- A l’aide d’un oscillographe bicourbe à deux entrées Y1 et Y2 on veut visualiser la tension u(t) sur la
voie Y2 et uR(t) sur la voie Y1. Faire les connexions nécessaires
sur la figure 1.
2- Etablir l’équation différentielle régissant les variations de
l’intensité i(t) du courant.
3- On règle la fréquence de l’oscilloscope à la valeur N1 et sur
l’écran de l’oscilloscope, on observe les oscillogrammes 1 et 2
de la figure 2. Balayage horizontal : 0,2 ms.div-1 et la
sensibilité verticale pour les deux voies : 5 V.div-1.
a- Montrer que l’oscillogramme 2 correspond à u(t).
b- Quel est l’oscillogramme qui nous permet de poursuivre les
variations de i(t). Justifier la réponse.
c- Calculer l’amplitude Im de l’intensité i(t). Déduire la valeur de
l’impédance Z.
d- Calculer le déphasage  = ( u - i ). Déduire le caractère inductif, capacitif ou résistif du circuit.
4- a- Faire la construction de Fresnel dans ce cas. On prendra comme échelle 2 V → 1 cm.
b-Déduire les valeurs de L et r.
5- a- Pour une fréquence N quelconque, exprimer la puissance moyenne P absorbée par l’oscillateur
électrique en fonction de : Um, R, r, L, C, et N.
a- P peut prendre une valeur maximale P 2 pour une fréquence N2. Montrer que N2 =160 Hz.
b- Exprimer P 2 en fonction de R, r et Um puis calculer sa valeur.
6- La fréquence est toujours égale àN2.
a- Ecrire l’expression de l’intensité du courant i(t).
b- Quelle est la valeur de la tension indiquée par le voltmètre V dans ces conditions.
c- Y’a-t-il surtension ? justifier.
Exercice 3 :
On considère la portion de circuit MN de la figure ci-dessous :
Comprenant en série :
 Un résistor de résistance R=20 Ω.
 Une bobine de résistance r et d’inductance L.
 Un condensateur de capacité C.
 Un ampèremètre de résistance négligeable.
 Un voltmètre branché aux bornes du condensateur.
L’ensemble est alimenté par une tension sinusoïdale
u(t) U sin( t)2
. L’intensité du courant qui traverse le circuit est
i
i(t) I sin( t )  2
Partie I :
On fixe la fréquence de l’excitateur à une valeur N1, le voltmètre indique une tension UC= 20,20V.
A l’aide d’un oscilloscope bicourbe branché comme l’indique la figure 1, on obtient les
oscillogrammes de la figure 2.
1
2
: 2 1
: 5 1
2
:1
3
Sensibilitéverticale de lavoieY V div
Sensibilitéverticale de lavoieY V div
Sensibilité hirizontale ms div
1- Montrer que l’oscillogramme C2 correspond à la
tension aux bornes du résistor.
2- Déterminer, en utilisant le graphe :
 L’intensité maximale du courant qui traverse le
circuit.
2
1
Fig 2
Fig-1-
94

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 La valeur maximale de la tension aux bornes de la bobine.
 Le déphasage de la tension aux bornes de la bobine par rapport à l’intensité du courant i(t).
1. L'équation différentielle reliant i(t) , sa dérivée première
dt)t(di
et sa primitive
idt
s'écrit :
(R+r)i(t) + L
dt)t(di
+
C
1
idt
= u(t) .
a. Faire la construction de Fresnel relative aux tensions maximales. ( on prendra l’axe
correspondant à =i horizontal, dirigé vers la droite). ( Echelle : 2V  1 cm)
b. Déduire la valeur de Umax, C, L, r et i.
Partie II :
Dans cette partie on étudie l’évolution de la puissance
moyenne P consommée par le circuit en fonction de la
fréquence N de la tension excitatrice. Les résultats de
mesures nous ont permis de tracer la courbe de variation de
la puissance moyenne en fonction de N (voir figure 3).
1. Établir l’expression de la puissance moyenne P en
fonction de U, L, C, R, r et . Déduire l’expression de
P à la résonance d’intensité.
2. Compléter, en le justifiant, les pointillés sur le graphe
de la figure 3.
3. Représenter sur le même graphe de la figure 3, l’allure
de la courbe de P =f(N) pour une valeur de la
résistance R=40 .
4. Le circuit est à la résonance d’intensité, pour quelles
valeurs de l’inductance L, la tension UCmax est 10 fois
plus grande que Umax.
D- Exercice de bac :
Fig-3-
…
….
…
….
…
95