Série 3

Nombres complexes
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Exercice n°1 :
On considère l'équation : 2 Z² - 4 i Z – 3- i
3
= 0
1- Montrer que cette équation possède deux solutions complexes distinctes Z1 et Z2.
2- On désigne par M1 et M2 les points du plan complexes d'affixes respectives Z1 et Z3. Placer les points M1 et M2 dans le
plan complexe rapporté à l'origine 0.
3- Soit I le milieu du segment [M1 M2]. Calculer d'affixe Z3 de I.
4- Calculer les modules de Z3, Z3 - Z1 et Z3 - Z2.
5- Quelle est la nature du triangle OM1 M2.
Exercice n°2 :
Soit dans ℂ la fonction f définie par :
f(Z) = Z3 - (1 + 3 i) Z² - (2 - 7i) Z + 10.
1- Montrer qu'il existe un réel unique b tel que "bi" soit solution de l'équation f (Z) = 0.
2- Factoriser la fonction f.
3- Résoudre dans C l'équation : f (Z) = 0.
Exercice n°3:
 et  sont deux constantes réelles.
1- résoudre dans C l'équation :
Z² - 2 ( cos  + i sin ) Z + ² - 1 = 0.
2- Préciser suivant  le module et un argument de chaque solution.
Exercice n°4 :
Soit a un nombre complexe non nul, soit l'équation :
(E) : 2 Z² - a (7 + i
3
) z + 2 a² (3 + i
3
) = 0.

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1- Trouver les racines carrées de
2
3
i
2
1
u
.
2- Calculer les racines Z1 et Z2 de (E).
3- Vérifier que Z2 - a = u (Z1 - a), (Z1 est la racine de la forme a). En déduire la nature du triangle AM1M2, où A(a), M1 (Z1)
et M2 (Z2).
4- Dessiner le triangle dans le cas où a = 1 + i.
Exercice n°5 :
1- Déterminer les racines carrées de -3 + 4i.
2- Soit dans ℂ l'équation:
Z² - (3+4i) Z + 5i -1 = 0 (1) résoudre cette équation.
3- Soit l'équation (2) : Z3 - (3+7i) Z² + (-13 + 14i) Z+15+3i = 0.
Montrer que l'équation (2) admet une solution imaginaire pour que l'on précisera. Achever alors la résolution de (2).
4- Placer dans le plan complexe rapporté à un r.o.n.
)j,i,o( 
les points A (1+i), B (2+3i) et C (3i).
Déterminer l'affixe du point D pour que ABDC soit un parallélogramme. Montrer que ABDC est un losange.
Exercice n°6 :
On considère les nombres complexes
23i3
et
23i1 
.
1- Ecrire  et  sous forme exponentielle.
2- Soit   ]0, [
a) Résoudre dans C : Z² - 2Z + 1 - e2i = 0.
Z1 étant ls solution ayant une partie imaginaire positive et Z2 l'autre solution.
b) Ecrire Z1 et Z2 sous forme trigonométrique.
3- déterminer  pour que l'on ait Z1 =  et Z2 = .
Exercice n°7 :
1- Résoudre dans ℂ l'équation : (1+i) Z² - 2Z + 1-i = 0.

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2- Soit m  ℂ et |m| =
2
.
Résoudre dans c l'équation : m Z²-2Z +
m
= 0 (E);
3- Dans la suite de l'exercice on prend m =
2
ei;   IR.
a) Montrer que les racines z' et z'' de (E) s'écrivent sous la forme
)
4
(i)
4
(i e''zete'z 
.
b) Dans le plan complexe rapporté à un r.o.n.
)j,i,o( 
on désigne par M' et M'' les pointss d'affixes respectives z' et z'' et M
le point d'affixe z' + z''.
Montrer que
''z'z
= i. En déduire que les vecteurs
 ''OMet'OM
sont orthogonaux.
c) Montrer que le quadrilatère OM'MM'' est un carré.
Exercice n°8:
Soit
5
2
sini
5
2
cosZ0
1- On pose  = Z0 + Z04 et  = Z02 + Z03.
a) Montrer que 1 + Z0 + Z02 + Z03 + Z04 = 0
En déduire que  et  sont solutions de l'équation (1) suivante :
X² + X - 1 = 0
b) Déterminer  en fonction de
5
2
cos 
b) Résoudre (1). En déduire la valeur de
5
2
cos 
Exercice n°9:
1°/Résoudre dans ℂ l'équation (1): z 5=-i.On écrira les racines sous forme trigonométrique 2°/Calculer la somme des
racines et interpréter géométriquement ce résultat
3°/ Résoudre dans ℂ l'équation :1+iz- z 2-i z 3 +z 4=0.
Exercice n°10:
On se propose de résoudre dans ℂ l'équation (1): z 6=117+44i.
a- Vérifier que 1+2i est une solution de l’équation (1).

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b- Résoudre dans ℂ l'équation u 6=1.On exprimera les solutions sous forme trigonométrique et sous forme algébrique.
c- En déduire les solutions de l’équation (1).
Exercice n°11:
1°/Le plan complexe P étant rapporté à un repère orthonormé
v,u,O 
.
Au nombre complexe a, on associe le point A(a).
a- Représenter dans le plan P l’ensemble (S) des points A tels que : |a-1|=|a|.
b- Montrer que si A∈ (S), on a :
a1a 
. En déduire la relation :
 2)1aarg()aarg(
.
Exercice n°12:
Soit θ un paramètre réel de ]0,
[ et (E) l’équation dans ℂ définie par :
z 3 -4 z 2 +(5-
i2
e
)z -2 +2
i2
e
=0.
1°/a- Vérifier que z0=2 ,est une solution de l’équation (E).
b- Trouver alors les deux autres solutions z1et z2 de (E) ; avec Im(z1)＞0.
c- Ecrire sous forme trigonométrique z1et z2.
2°/Soit A, M1,M2 les points d’affixes respectives les complexes 2, z1, z2 dans Le plan P muni d’un repère orthonormé
v,u,O 
.
a- Montrer que M1et M2 sont symétriques par rapport à un point fixe I que l’on déterminera.
b- Trouver l’ensemble (γ1) décrit par le point M1 lorsque θ varie. En déduire l’ensemble (γ2) décrit par le point M2.
c-En utilisant les résultats précédents, montrer que OM1A M2 est un rectangle. Dans quel cas OM1A M2 est un carré ?
Exercice n°13:
Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé direct
v,u,O 
, on considère les points A, B, C et D d'affixes
respectives
2i3 
,
23i1
, a=
et b=
.
1°/ Ecrire
 ,
et
sous forme trigonométrique. En déduire la nature du triangle ABO.
2°/ Placer les points A, B, C et D dans le plan et montrer que OACB est un carré.
3°/ En déduire la forme trigonométrique de a et b.
4°/ Déterminer alors les valeurs de cos
12
5
, sin
12
5
, cos
12
11
et sin
12
11
.
Exercice n°14:
Soit
un réel de l'intervalle ]0,
2
[.
1°/a)Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes suivants:
z1=1-
i
e
et z2=1-
i3
e
.
b) En déduire le module et un argument du nombre complexe z3=1+
i
e
+
i2
e
.
2°/ Résoudre dans ℂ l'équation (
E
): z2-(2+
i2
e
)z+1-
i3
e
=0. On donnera les solutions sous forme exponentielle.

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Exercice n°15:
Soit
un réel de l'intervalle ]0,
[. et l'équation dans ℂ :
(E): z3 + 4z2 + (5-
i2
e
)z - 4isin
.
i
e
= 0.
1°/a) Prouver que
i
e
est une racine carrée de 1+2isin
.
i
e
.
b) Montrer que z0=-2 est une solution de (E) puis la résoudre.
2°/ On donne les points A, M1 et M2 d'affixes respectives -2, z1= -1+
i
e
et z2= -1-
i
e
.
a) Mettre sous forme exponentielle z1 et
2
1
z
z
.
b) Montrer que les points M1 et M2 sont symétriques par rapport à un point fixe I.
c) Déterminer l'ensemble (
1
) des points M1 lorsque
varie et en déduire l'ensemble (
2
) des points M2 et les
construire.
d) Montrer que OM1AM2 est un rectangle puis déterminer la valeur de
pour laquelle on obtient un carré.
Exercice n°16:
étant un réel de ]0,
[ et z un nombre complexe.
On pose P(z)=z3-(1-2sin
)z2+(1-2sin
)z-1.
1°/a) Calculer P(1).
a) Résoudre dans ℂ l'équation P(z)=0. et écrire les solutions sous forme exponentielle.
2°/ Résoudre dans ℂ l'équation U3=
)
2
(i
e
.
3°/ Vérifier que pour tout réel
, on a: 1+
i
e
= 2cos
2
i
e.)
2
(
.
4°/ Résoudre dans ℂ l'équation (z-1)6 + 2sin
(z-1)3 + 1 = 0.