Nombres complexes Série Maths Exercice n°1 : On considère l'équation : 2 Z² - 4 i Z – 3- i 3 =0 1- Montrer que cette équation possède deux solutions complexes distinctes Z1 et Z2. 2- On désigne par M1 et M2 les points du plan complexes d'affixes respectives Z1 et Z3. Placer les points M1 et M2 dans le plan complexe rapporté à l'origine 0. 3- Soit I le milieu du segment [M1 M2]. Calculer d'affixe Z3 de I. 4- Calculer les modules de Z3, Z3 - Z1 et Z3 - Z2. 5- Quelle est la nature du triangle OM1 M2. Exercice n°2 : Soit dans ℂ la fonction f définie par : f(Z) = Z3 - (1 + 3 i) Z² - (2 - 7i) Z + 10. 1- Montrer qu'il existe un réel unique b tel que "bi" soit solution de l'équation f (Z) = 0. 2- Factoriser la fonction f. 3- Résoudre dans C l'équation : f (Z) = 0. Exercice n°3: et sont deux constantes réelles. 1- résoudre dans C l'équation : Z² - 2 ( cos + i sin ) Z + ² - 1 = 0. 2- Préciser suivant le module et un argument de chaque solution. Exercice n°4 : Soit a un nombre complexe non nul, soit l'équation : (E) : 2 Z² - a (7 + i Cours En Ligne 3 ) z + 2 a² (3 + i 3 ) = 0. Pour s’inscrire : www.tunischool.com Page 1 sur 5 Nombres complexes 1- Trouver les racines carrées de u Série Maths 1 3 i . 2 2 2- Calculer les racines Z1 et Z2 de (E). 3- Vérifier que Z2 - a = u (Z1 - a), (Z1 est la racine de la forme a). En déduire la nature du triangle AM1M2, où A(a), M1 (Z1) et M2 (Z2). 4- Dessiner le triangle dans le cas où a = 1 + i. Exercice n°5 : 1- Déterminer les racines carrées de -3 + 4i. 2- Soit dans ℂ l'équation: Z² - (3+4i) Z + 5i -1 = 0 (1) résoudre cette équation. 3- Soit l'équation (2) : Z3 - (3+7i) Z² + (-13 + 14i) Z+15+3i = 0. Montrer que l'équation (2) admet une solution imaginaire pour que l'on précisera. Achever alors la résolution de (2). 4- Placer dans le plan complexe rapporté à un r.o.n. (o, i , j ) les points A (1+i), B (2+3i) et C (3i). Déterminer l'affixe du point D pour que ABDC soit un parallélogramme. Montrer que ABDC est un losange. Exercice n°6 : 1i 3 et 3i 3 . 2 2 On considère les nombres complexes 1- Ecrire et sous forme exponentielle. 2- Soit ]0, [ a) Résoudre dans C : Z² - 2Z + 1 - e2i = 0. Z1 étant ls solution ayant une partie imaginaire positive et Z2 l'autre solution. b) Ecrire Z1 et Z2 sous forme trigonométrique. 3- déterminer pour que l'on ait Z1 = et Z2 = . Exercice n°7 : 1- Résoudre dans ℂ l'équation : (1+i) Z² - 2Z + 1-i = 0. Cours En Ligne Pour s’inscrire : www.tunischool.com Page 2 sur 5 Nombres complexes 2- Soit m ℂ et |m| = Série Maths 2. Résoudre dans c l'équation : m Z²-2Z + m = 0 (E); 3- Dans la suite de l'exercice on prend m = 2 ei; IR. a) Montrer que les racines z' et z'' de (E) s'écrivent sous la forme z' e i( ) 4 et z' ' e i ( ) 4 . b) Dans le plan complexe rapporté à un r.o.n. (o, i , j ) on désigne par M' et M'' les pointss d'affixes respectives z' et z'' et M le point d'affixe z' + z''. Montrer que z' = i. En déduire que les vecteurs OM ' et OM ' ' sont orthogonaux. z' ' c) Montrer que le quadrilatère OM'MM'' est un carré. Exercice n°8: 2 2 i sin 5 5 Soit Z0 cos 1- On pose = Z0 + Z04 et = Z02 + Z03. a) Montrer que 1 + Z0 + Z02 + Z03 + Z04 = 0 En déduire que et sont solutions de l'équation (1) suivante : X² + X - 1 = 0 b) Déterminer en fonction de cos 2 5 b) Résoudre (1). En déduire la valeur de cos 2 5 Exercice n°9: 1°/Résoudre dans ℂ l'équation (1): z 5=-i.On écrira les racines sous forme trigonométrique 2°/Calculer la somme des racines et interpréter géométriquement ce résultat 3°/ Résoudre dans ℂ l'équation :1+iz- z 2-i z 3 +z 4=0. Exercice n°10: On se propose de résoudre dans ℂ l'équation (1): z 6=117+44i. a- Vérifier que 1+2i est une solution de l’équation (1). Cours En Ligne Pour s’inscrire : www.tunischool.com Page 3 sur 5 Nombres complexes Série Maths b- Résoudre dans ℂ l'équation u 6=1.On exprimera les solutions sous forme trigonométrique et sous forme algébrique. c- En déduire les solutions de l’équation (1). Exercice n°11: 1°/Le plan complexe P étant rapporté à un repère orthonormé O,u,v . Au nombre complexe a, on associe le point A(a). a- Représenter dans le plan P l’ensemble (S) des points A tels que : |a-1|=|a|. b- Montrer que si A∈ (S), on a : a1a . En déduire la relation : arg(a)arg(a 1)2 . Exercice n°12: Soit θ un paramètre réel de ]0, [ et (E) l’équation dans ℂ définie par : z 3 -4 z 2 +(5- e2i )z -2 +2 e2i =0. 1°/a- Vérifier que z0=2 ,est une solution de l’équation (E). b- Trouver alors les deux autres solutions z1et z2 de (E) ; avec Im(z1)>0. c- Ecrire sous forme trigonométrique z1et z2. 2°/Soit A, M1,M2 les points d’affixes respectives les complexes 2, z1, z2 dans Le plan P muni d’un repère orthonormé O,u,v . a- Montrer que M1et M2 sont symétriques par rapport à un point fixe I que l’on déterminera. b- Trouver l’ensemble (γ1) décrit par le point M1 lorsque θ varie. En déduire l’ensemble (γ2) décrit par le point M2. c-En utilisant les résultats précédents, montrer que OM1A M2 est un rectangle. Dans quel cas OM1A M2 est un carré ? Exercice n°13: Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé direct O,u,v , on considère les points A, B, C et D d'affixes 3i 1 i 3 , , a= et b= . 2 2 1°/ Ecrire , et sous forme trigonométrique. En déduire la nature du triangle ABO. respectives 2°/ Placer les points A, B, C et D dans le plan et montrer que OACB est un carré. 3°/ En déduire la forme trigonométrique de a et b. 4°/ Déterminer alors les valeurs de cos Exercice n°14: Soit un réel de l'intervalle ]0, 5 5 11 11 , sin , cos et sin . 12 12 12 12 [. 2 1°/a)Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes suivants: z1=1- e i et z2=1- e 3i . b) En déduire le module et un argument du nombre complexe z3=1+ e i + e 2 i . 2 i 3 i 2°/ Résoudre dans ℂ l'équation ( E ): z2-(2+ e )z+1- e =0. On donnera les solutions sous forme exponentielle. Cours En Ligne Pour s’inscrire : www.tunischool.com Page 4 sur 5 Nombres complexes Série Maths Exercice n°15: Soit un réel de l'intervalle ]0, [. et l'équation dans ℂ : (E): z3 + 4z2 + (5- e 2 i )z - 4isin . e i = 0. 1°/a) Prouver que e i est une racine carrée de 1+2isin . e i . b) Montrer que z0=-2 est une solution de (E) puis la résoudre. 2°/ On donne les points A, M1 et M2 d'affixes respectives -2, z1= -1+ e i et z2= -1- e i . a) Mettre sous forme exponentielle z1 et z1 . z2 b) Montrer que les points M1 et M2 sont symétriques par rapport à un point fixe I. c) Déterminer l'ensemble ( 1 ) des points M1 lorsque varie et en déduire l'ensemble ( 2 ) des points M2 et les construire. d) Montrer que OM1AM2 est un rectangle puis déterminer la valeur de pour laquelle on obtient un carré. Exercice n°16: étant un réel de ]0, [ et z un nombre complexe. On pose P(z)=z3-(1-2sin )z2+(1-2sin )z-1. 1°/a) Calculer P(1). a) Résoudre dans ℂ l'équation P(z)=0. et écrire les solutions sous forme exponentielle. 2°/ Résoudre dans ℂ l'équation U = e 3 i( ) 2 . i 3°/ Vérifier que pour tout réel , on a: 1+ e = 2cos ( ) . e 2 . 2 6 3 4°/ Résoudre dans ℂ l'équation (z-1) + 2sin (z-1) + 1 = 0. i Cours En Ligne Pour s’inscrire : www.tunischool.com Page 5 sur 5