série 3

Nombres complexes
Série Maths
Cours En Ligne
Pour s’inscrire : www.tunischool.com
Page 1 sur 8
. Exercice n°1 : On considère l'équation : 2 Z² - 4 i Z – 3- i
3
= 0
1- Montrer que cette équation possède deux solutions complexes distinctes Z1 et Z2.
2- On désigne par M1 et M2 les points du plan complexes d'affixes respectives Z1 et Z3.
Placer les points M1 et M2 dans le plan complexe rapporté à l'origine 0.
3- Soit I le milieu du segment [M1 M2]. Calculer d'affixe Z3 de I.
4- Calculer les modules de Z3, Z3 - Z1 et Z3 - Z2.
5- Quelle est la nature du triangle OM1 M2.
Exercice n°2 : Soit dans ℂ la fonction f définie par :
f(Z) = Z3 - (1 + 3 i) Z² - (2 - 7i) Z + 10.
1- Montrer qu'il existe un réel unique b tel que "bi" soit solution de l'équation f (Z) = 0.
2- Factoriser la fonction f.
3- Résoudre dans C l'équation : f (Z) = 0.
Exercice n°4 :  et  sont deux constantes réelles.
1- résoudre dans C l'équation :
Z² - 2 ( cos  + i sin ) Z + ² - 1 = 0.
2- Préciser suivant  le module et un argument de chaque solution.
Exercice n°5 : 1- Résoudre dans ℂ l'équation :
(1) : Z² - 2 Z cos  + 1 = 0 où   ℝ. Donner les solutions sous forme trigonométrique. En déduire la résolution
dans C de l'équation (2) : Z4 - 2 Z² cos  + 1 = 0.
2- On désigne par M1, M2 et M4 les points d'affixes Z1 , Z2 , Z3 et Z4 , solutions de (2). Pour quelles valeurs de ,
(0 <  < ) ces quatre points sont-ils les sommets d'un carré.
3- Décomposer en un produit de deux facteurs du second degré à coefficients réels le polynôme :
F (x) = x4 - 2 x2 cos  + 1
Exercice n°6 : Soit dans ℂ l'équation : Z4 + 4 Z3 + 6 Z² + (6-2i) Z + 3 -2 i = 0.

Nombres complexes
Série Maths
Cours En Ligne
Pour s’inscrire : www.tunischool.com
Page 2 sur 8
1- Montrer que l'équation admet (-1) et (i) comme solution.
En déduire la résolution de l'équation.
1- On désigne par Z1 Z2 et Z3 les solutions non réelles de l'équation. On désigne par M0, M1 M2 et M3 les points
d'affixes - 1, Z1, Z2 et Z3. Montrer que M1M2M3 est équilatéral de centre M0.
Exercice n°7 : Soit a un nombre complexe non nul, soit l'équation :
(E) : 2 Z² - a (7 + i
3
) z + 2 a² (3 + i
3
) = 0.
1- Trouver les racines carrées de
2
3
i
2
1
u
.
2- Calculer les racines Z1 et Z2 de (E).
3- Vérifier que Z2 - a = u (Z1 - a), (Z1 est la racine de la forme a). En déduire la nature du triangle AM1M2, où
A(a), M1 (Z1) et M2 (Z2).
4- Dessiner le triangle dans le cas où a = 1 + i.
Exercice n°8 : 1- Résoudre dans ℂ l'équation P (Z) = 0. Où P (Z) = (Z²+3Z)² + (3Z+5)².
2- Montrer que P(Z) est le produit de deux polynômes du second degré à coefficients réels.
Exercice n°9 : 1- Déterminer les racines carrées de -3 + 4i.
2- Soit dans ℂ l'équation:
Z² - (3+4i) Z + 5i -1 = 0 (1) résoudre cette équation.
3- Soit l'équation (2) : Z3 - (3+7i) Z² + (-13 + 14i) Z+15+3i = 0.
Montrer que l'équation (2) admet une solution imaginaire pour que l'on précisera. Achever alors la résolution de
(2).
4- Placer dans le plan complexe rapporté à un r.o.n.
)j,i,o( 
les points A (1+i), B (2+3i) et C (3i).
Déterminer l'affixe du point D pour que ABDC soit un parallélogramme. Montrer que ABDC est un losange.
Exercice n°10 : On considère les nombres complexes
23i3
et
23i1 
.

Nombres complexes
Série Maths
Cours En Ligne
Pour s’inscrire : www.tunischool.com
Page 3 sur 8
1- Ecrire  et  sous forme exponentielle.
2- Soit   ]0, [
a) Résoudre dans C : Z² - 2Z + 1 - e2i = 0.
Z1 étant ls solution ayant une partie imaginaire positive et Z2 l'autre solution.
b) Ecrire Z1 et Z2 sous forme trigonométrique.
3- déterminer  pour que l'on ait Z1 =  et Z2 = .
Exercice n°11 :1- Résoudre dans ℂ l'équation : (1+i) Z² - 2Z + 1-i = 0.
2- Soit m  ℂ et |m| =
2
.
Résoudre dans c l'équation : m Z²-2Z +
m
= 0 (E);
3- Dans la suite de l'exercice on prend m =
2
ei;   IR.
a) Montrer que les racines z' et z'' de (E) s'écrivent sous la forme
)
4
(i)
4
(i e''zete'z 
.
b) Dans le plan complexe rapporté à un r.o.n.
)j,i,o( 
on désigne par M' et M'' les pointss d'affixes respectives z'
et z'' et M le point d'affixe z' + z''.
Montrer que
''z'z
= i. En déduire que les vecteurs
 ''OMet'OM
sont orthogonaux.
c) Montrer que le quadrilatère OM'MM'' est un carré.
Exercice n°12: 1- Résoudre dans ℂ l'équation :
Z² - (2+1 cos ) Z + 22 = 0 ; où   [0, 2[.
Mettre les solutions sous forme trigonométrique.
2°) dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on désigne par A et B les points images de ces deux solutions.
Déterminer  pour que le triangle OAB soit rectangle.

Nombres complexes
Série Maths
Cours En Ligne
Pour s’inscrire : www.tunischool.com
Page 4 sur 8
Exercice n°13: Soit  
2 ,
2
.
On considère l'équation d'inconnue complexe Z :
(E) (1+iZ)3 . (1-i tan ) = (1 - i Z)3 . (1+ i tan ).
1- Soit Z0 une solution de (E)
a) Montrer que |1+ i Z0| = |1 - i Z0|.
b) En déduire que Z0 est réel.
2-a) Exprimer
1 itan
1 itan
en fonction de ei.
b) Soit Z un réel. On pose Z = tg  , où
22
. Ecrire l'équation portant sur , traduisant (E). La
résoudre.
c) Déterminer alors les solutions Z1, Z2 et Z3 de (E);
Exercice n°14: Soit
5
2
sini
5
2
cosZ0
1- On pose  = Z0 + Z04 et  = Z02 + Z03.
a) Montrer que 1 + Z0 + Z02 + Z03 + Z04 = 0
En déduire que  et  sont solutions de l'équation (1) suivante :
X² + X - 1 = 0
b) Déterminer  en fonction de
5
2
cos 
b) Résoudre (1). En déduire la valeur de
5
2
cos 
Exercice n°15: Soit A(1) et B(-1). Deux points N et M d’affixes z et Z varient de manière :
)
z
1
z(
2
1
Z
.
1°/Démontrer que (MN) est la bissectrice de
),( MBMA
et que MN2=MA .MB.

Nombres complexes
Série Maths
Cours En Ligne
Pour s’inscrire : www.tunischool.com
Page 5 sur 8
2°/ Démontrer que
2
1z 1z 1Z 1Z 
. En déduire que :
),( MBMA
2
NBNA,
2
3°/Quel est l’ensemble des points M lorsque N décrit un cercle passant par A et B.
Exercice n°16: Soit a un complexe non nul et n ∈ℕ ; n≥2.
1°/On suppose que z et z’ sont deux racines n-ièmes de a. Démontrer qu’alors z’ =ukz , où uk est l’une des n
racines n-ièmes de l’unité ,avec 0≤k≤n-1.
2°/Réciproquement, supposons que z soit une racine n-ième de a, démontrer qu’alors ukz en est également une.
3°/a-Déterminer sous forme trigonométrique les solutions de l’équation :
i124z3
.
b-En utilisant les racines cubiques de l’unité, écrire les solutions de cette équation sous forme algébrique.
c-En déduire les valeurs de cos
12
11
et de sin
12
11
.
Exercice n°17: Résoudre dans ℂ l'équation (1): z 3=-1.
En déduire une méthode de résolution dans ℂ de l’équation : (z-1) 3+(z+2) 3=0 ;(2).
Résoudre l’équation (2) par une autre méthode.
Exercice n°18: 1°/Résoudre dans ℂ l'équation (1): z 5=1.Montrer que les racines de cette équation sont :z0=1,
5
i2
1ez 
, z2= z12 , z3= z13 , z4= z14 .
En déduire que :
a-Les images de z0, z1, z2, z3 et z4 sont les sommets d’un pentagone régulier convexe inscrit dans le cercle
trigonométrique.
b- z0+ z1+z2+ z3 + z4=0. Interpréter géométriquement cette égalité.
Exercice n°19: 1°/Résoudre dans ℂ l'équation (1): z 5=-i.On écrira les racines sous forme trigonométrique
2°/Calculer la somme des racines et interpréter géométriquement ce résultat
3°/ Résoudre dans ℂ l'équation :1+iz- z 2-i z 3 +z 4=0.
Exercice n°20: On se propose de résoudre dans ℂ l'équation (1): z 6=117+44i.