DS 4G T1

Réponses (Exercice 1)
Prof : Brahem.M
DEVOIR SYNTHESE NO1
Durée : 2 H
Classe 4 G
Lycée EL-ALIA
2015-2016
1/ F est une primitive de :
 𝑓(𝑥) =
𝑥4
4
+
𝑥3
3
+
𝑥2
2
 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 2𝑥 + 1
2/
Choisir la bonne réponse : (Les réponses seront notées sur la page(4))
1/ On donne la fonction F sur IR par : 𝐹(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥
a/ lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) =
 +
Exercice 1 : (3points)
F est une primitive de :
 -
 -0,4
 𝑓(𝑥) =
𝑥4
4
+
𝑥3
3
+
𝑥2
2
 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 2𝑥 + 1
2/ On donne la courbe suivante d’une fonction f définie sur [1 ; +[ et qui admet
b/
 𝑓′(𝑥) ≤ 0
c/ 𝑓([1; +∞[ ) =
 𝑓 ′ (𝑥) ≥ 0
 [-0,4 ; 1]
 𝑓 ′ (𝑥) 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒
 ]-0,4 ; 1]
une asymptote horizontale d’équation (y= - 0,4).
 [1 ; +[
3/
a/ det(𝐴) =
 -1
0
b/ La matrice A est :
 Inversible
 non inversible
2
a/ lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) =
 +
b/
 𝑓′(𝑥) ≤ 0
c/ 𝑓([1; +∞[ ) =
 𝑓
 [-0,4 ; 1]
−1
3/ On donne la matrice 𝐴 = ( 1
1
a/ det(𝐴) =
 -1
b/ La matrice A est :
′ (𝑥)
 -
 -0,4
′ (𝑥)
≥0
𝑓
𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒
 ]-0,4 ; 1]
 [1 ; +[
1
0
0 −1)
−1 0
0
2
 Inversible
 non inversible
Exercice 2 : (6 points)
1
3 0
3
0 3
On donne les matrices 𝑀 = ( 0 −1 1) et 𝑁 = (−1 0 0)
−1 −3 1
−2 −3 0
1/ a/ Calculer det(M).
b/ En déduire que M est inversible.
2/ a/ Calculer M2 – MN
b/ En déduire la matrice inverse M-1 de M.
3/ Trouver la matrice carrée X d’ordre 3 sachant que XM = N
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Nom :
Exercice 3 : (7 points)
Prénom :
Fig(1)
On considère une fonction f représentée graphiquement sur la page(3) fig(1).
1/ On suppose que la fonction dérivée 𝑓′ est représentée sur la page(3)
[ fig(2) ou fig(3) ]
a/ Justifier pourquoi la courbe de la fig(3) s’est-elle qui représente 𝑓′
b/ Donner, graphiquement : 𝑓(0) , 𝑓(1) , 𝑓 ′ (1) 𝑒𝑡
lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥)
c/ En déduire l’équation de la tangente T à la courbe de f en A.
d/ Montrer que l’équation f(x)=2 admet une solution unique dans l’intervalle [0,1]
2/ a/ Montrer que f réalise une bijection de [0, +[ sur un intervalle J que l’on
précisera.
b/ Tracer la courbe de la fonction réciproque f-1 de f
5
5
3/ Justifier la dérivabilité de f-1 en 2 puis calculer [𝑓 −1 ]′(2)
Exercice 4 : (4 points)
Dans cet exercice on suppose que la courbe de la fig(1) est celle de la fonction f
définie sur [0, +[ par :
𝑎𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 2 +𝑏 et que 𝑓′ est représenté dans la fig(3)
1/ a/ En admet que 𝑓(2) =
16
5
5
et en utilisant 𝑓(1) = .
2
2𝑎 − 3𝑏 = 3
Montrer que a et b vérifient le système (𝑆) {
5𝑎 − 3𝑏 = 12
b/ Transformer le système (S) en écriture matricielle.
(Noter A la matrice carrée d’ordre 2 obtenue)
c/ Justifier que A est inversible puis déterminer A-1
d/ En déduire que 𝑎 = 3 et 𝑏 = 1
2/ a/ Montrer que f est dérivable sur [0, +[ et que 𝑓 ′ (𝑥) =
𝑥 4 −𝑥 2 +4
(𝑥 2 +1)2
b/ En déduire que pour tout 𝑥 ∈ [0, +∞[ on a : 𝑥 4 − 𝑥 2 + 4 > 0
 Fig(2)
 Fig(3)
BON TRAVAIL
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