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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 27 avril 2017
Enoncés
1
Comatrice
Exercice 1 [ 01444 ] [Correction]
Soient n un entier supérieur à 2 et A ∈ Mn (K).
(a) Établir

rg(A) = n =⇒ rg Com(A) = n
rg(A) = n − 1 =⇒ rg Com(A) = 1 .

rg(A) ≤ n − 2 =⇒ rg Com(A) = 0

(b) Montrer
(c) En déduire
n−1
det Com(A) = det(A)
Com Com(A)
Exercice 2 [ 03142 ] [Correction]
Soient A, B ∈ Mn (C).
On suppose que les matrices A et B commutent. Montrer que les comatrices de A
et B commutent.
Exercice 3 [ 03576 ] [Correction]
(a) Donner le rang de B = t (Com A) en fonction de celui de A ∈ Mn (K)
(b) On se place dans le cas où rg A = n − 1.
Soit C ∈ Mn (K) telle que
AC = CA = On
Montrer qu'il existe λ ∈ K tel que
C = λB
Exercice 4 [ 02659 ] [Correction]
Soient des matrices A, B ∈ Mn (Z) telles que det A et det B sont premiers entre
eux.
Montrer l'existence de U, V ∈ Mn (Z) telles que
U A + V B = In
Exercice 5 [ 03944 ] [Correction]
Soit S ∈ Sn (R). Montrer que la comatrice de S est symétrique.
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Corrections
2
Corrections
puis sachant t (B)−1 = (t B)−1 on a :
Exercice 1 : [énoncé]
(a) Si rg(A) = n alors A est inversible et sa comatrice l'est alors aussi donc
Com(Com(A)) = det(A)n−2 A
Si rg(A) ≤ n − 1 et n ≥ 3 alors rg Com(A) ≤ 1 ≤ n − 2 donc
rg(Com(A)) = n
Si rg(A) ≤ n − 2 alors A ne possède pas de déterminant extrait d'ordre n − 1
non nul. Par suite Com(A) = On et donc
rg(Com(A)) = 0
Si rg(A) = n − 1, exploitons la relation At Com(A) = det(A).In = On .
Soient f et g les endomorphismes de K n canoniquement associés aux
matrices A et t Com(A).
On a f ◦ g = 0 donc Im(g) ⊂ ker(f ). Comme rg(f ) = n − 1, dim ker(f ) = 1 et
par suite rg(g) ≤ 1.
Ainsi rg(Com(A)) ≤ 1.
Comme rg(A) = n − 1, il existe un déterminant extrait non nul d'ordre n − 1
et par suite Com(A) 6= On .
Finalement
rg(Com(A)) = 1
Com(Com(A)) = On
Si n = 2 alors pour
A=
a
c
b
d −c
, Com(A) =
et Com(Com(A)) = A
d
−b a
Exercice 2 : [énoncé]
Cas A et B inversibles
Puisque A et B commutent, leurs inverses commutent aussi
On en déduit
1 t
1 t
1 t
1 t
(Com A)
(Com B) =
(Com B)
(Com A)
det A
det B
det B
det A
En simpliant et en transposant on obtient
(b) Comme A Com(A) = det(A).In on a
t
n
det(A) det Com(A) = det(A)
Si det(A) 6= 0 alors
Com(A) Com(B) = Com(B) Com(A)
Cas général
Pour p assez grand, les matrices
n−1
det Com(A) = det(A)
1
1
A + In et B + In
p
p
Si det(A) = 0 alors rg(Com(A)) ≤ 1 < n donc
det(Com(A)) = 0
1
1
1
1
Com A + In Com B + In = Com B + In Com A + In
p
p
p
p
(c) Si rg(A) = n alors
t
Donc
sont inversibles et commutent donc
Com(Com(A)). Com(A) = det(Com(A)).In = det(A)n−1 .In
t
En passant à la limite quand p → +∞, on obtient
Com(Com(A)) = det(A)n−1 Com(A)−1
Com(A) Com(B) = Com(B) Com(A)
Or t Com(A).A = det(A).In donc
t
Com(A) = det(A).A−1
Exercice 3 : [énoncé]
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Corrections
(a) On sait AB = BA = det(A)In .
Si rg A = n alors A est inversible donc B aussi et rg B = n.
Si rg A = n − 1 alors dim ker A = 1 et puisque AB = On , Im B ⊂ ker A puis
rg B ≤ 1.
De plus, la matrice A étant de rang exactement n − 1, elle possède un mineur
non nul et donc B 6= On . Finalement rg B = 1.
Si rg A ≤ n − 2 alors tous les mineurs de A sont nuls et donc B = On puis
rg B = 0.
(b) Puisque rg A = n − 1, dim ker A = 1 et dim ker t A = 1.
Il existe donc deux colonnes X et Y non nulles telles que
3
avec ∆i,j le mineur d'indice (i, j) de la matrice S i.e. le déterminant de la matrice
obtenue en supprimant la i-ème ligne et la j -ème colonne de S . Or le déterminant
d'une matrice est aussi celui de sa transposée et puisque la matrice S est
symétrique, le mineur d'indice (i, j) est égal à celui d'indice (j, i). On en déduit
que la comatrice de S est symétrique.
ker A = Vect X et ker t A = Vect Y
Soit M ∈ Mn (K) vériant AM = M A = On .
Puisque AM = On , Im M ⊂ ker A = Vect X et donc on peut écrire par blocs
M = (λ1 X | . . . | λn X) = XL
avec L = λ1 . . . λn ) .
La relation M A = On donne alors XLA = On et puisque X 6= 0, on obtient
LA = 0 puis t At L = 0. Ceci permet alors d'écrire L sous la forme L = λt Y
puis M sous la forme
M = λX t Y
Inversement une telle matrice vérie AM = M A = On et donc
{M ∈ Mn (K) | AM = M A = On } = Vect(X t Y )
Cet espace de solution étant une droite et la matrice B étant un élément non
nul de celle-ci, il est dès lors immédiat d'armer que toute matrice
C ∈ Mn (K) vériant AC = CA = On est nécessairement colinéaire à B .
Exercice 4 : [énoncé]
Il existe u, v ∈ Z tels que u det A + v det B = 1. U = ut (Com A) et
V = v t (Com B) conviennent alors.
Exercice 5 : [énoncé]
Le coecient d'indice (i, j) de la comatrice de S est
(−1)i+j ∆i,j
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