Introduction

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Introduction
Contexte Général
Les systèmes d’équations di↵érentielles ordinaires (ODE) sont des outils fondamentaux dans les sciences naturelles pour modéliser divers phénomènes physiques,
biologiques et environnementaux. Ces systèmes permettent de décrire l’évolution
temporelle de variables d’état en fonction de paramètres et de conditions initiales
spécifiques. Par exemple, les ODE sont utilisées pour modéliser la dynamique
des populations, les réactions chimiques, et la propagation des épidémies.
L’utilisation des ODE remonte à plusieurs siècles, avec des contributions significatives de mathématiciens tels qu’Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz. Aujourd’hui, elles sont omniprésentes dans les modélisations scientifiques
et techniques, allant des oscillations mécaniques aux modèles économiques.
Problématique de l’Estimation de Paramètres
Pour que ces modèles soient utiles, il est crucial d’estimer avec précision les
paramètres qui les régissent. L’estimation de ces paramètres repose sur la comparaison des prédictions du modèle avec des données observées. Cependant,
cette tâche est souvent complexe en raison des non-linéarités des systèmes et du
bruit dans les données.
Les méthodes d’estimation de paramètres doivent être robustes pour gérer les
incertitudes et les variations dans les données. De plus, elles doivent être efficaces pour traiter des modèles complexes et de grande dimension. Parmi les
défis, on trouve la sensibilité des modèles aux conditions initiales et aux perturbations, ainsi que la possible présence de minima locaux dans les fonctions de
coût.
Exemple Spécifique : Modèle SIR
Un exemple typique est le modèle SIR, utilisé pour modéliser la propagation des
maladies infectieuses. Ce modèle divise la population en trois compartiments :
les Susceptibles (S), les Infectés (I), et les Rétablis (R), avec les équations :
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>
S(t)I(t),
<Ṡ(t) =
˙ = S(t)I(t) ↵I(t),
I(t)
>
:
Ṙ(t) = ↵I(t),
où S(t), I(t), et R(t) représentent les fractions de la population susceptible,
infectée et rétablie à un instant t. Les paramètres ↵ et déterminent respectivement les taux de récupération et de transmission de la maladie, et leur
estimation est cruciale pour des prédictions précises.
Le modèle SIR est simplifié mais capture l’essence de la dynamique épidémique.
Il a été utilisé pour diverses maladies, y compris la grippe, le COVID-19,
et la rougeole. Les extensions du modèle SIR incluent des compartiments
1
Je préfère
insèrer
l’example
juste après le
contexte
général et
ensuite
commencer à
parler de
l’estimation.
supplémentaires pour les exposés mais non encore infectés (SEIR) ou pour les
asymptomatiques.
Méthodes d’Estimation des Paramètres
Approches Classiques : Méthodes des Moindres Carrés
L’estimation des paramètres dans les modèles ODE est traditionnellement réalisée
à l’aide de méthodes comme les moindres carrés. Pour un ensemble de données
observées {yobs (tk )} à des temps tk , on cherche à minimiser la fonction des
moindres carrés :
X
2
J(✓) =
(ymod (tk ; ✓) yobs (tk )) ,
k
où ymod (tk ; ✓) est la solution modélisée à l’instant tk en fonction des paramètres
✓.
Cette approche repose sur la méthode des moindres carrés, introduite par Carl
Friedrich Gauss au début du 19ème siècle. Elle est largement utilisée en raison
de sa simplicité et de son efficacité pour des problèmes linéaires et non linéaires.
Une approche spécifique est la méthode Gauss-Newton, une méthode itérative
pour la minimisation non linéaire des moindres carrés. Cette méthode calcule les
résidus et la matrice Jacobienne pour ajuster les paramètres à chaque itération.
Une autre méthode similaire est la méthode de Levenberg-Marquardt, qui est
une amélioration de la méthode Gauss-Newton, combinant la robustesse de la
méthode de descente de gradient avec la rapidité de convergence de la méthode
Gauss-Newton.
Techniques de Machine Learning
Les techniques de machine learning o↵rent une alternative prometteuse pour
l’estimation des paramètres. Ces approches peuvent o↵rir une meilleure robustesse et une capacité à gérer des modèles plus complexes. Les réseaux de neurones, les algorithmes d’optimisation stochastique et les méthodes d’ensemble
sont parmi les techniques les plus utilisées.
Les réseaux de neurones sont utilisés pour approximer les fonctions complexes en
ajustant les poids des connexions entre les neurones. Les algorithmes d’optimisation
stochastique permettent une mise à jour efficace des paramètres en utilisant
des échantillons aléatoires des données. Les méthodes d’ensemble combinent
plusieurs modèles pour améliorer la précision et la robustesse des prédictions.
Objectifs du Projet
Ce projet vise à comparer les performances des méthodes Gauss-Newton, LevenbergMarquardt et celles des techniques de machine learning pour l’estimation des
paramètres d’un modèle de système dynamique. Cette comparaison permettra
de déterminer les avantages et les limites de chaque approche, contribuant ainsi
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à améliorer les méthodes d’estimation dans les modèles ODE.
Nous utiliserons un ensemble de données simulées et appliquerons chaque méthode
pour estimer les paramètres . Les résultats seront évalués en termes de précision,
robustesse et temps de calcul.
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