IME DT 85 72

N° 72
Note sur les classes de similitude
Bernadette Mathieu-Nicot
et Michel Prévôt
Janvier 1985

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Note sur les classes de similitude.
1. Introduction
1.1. Il est souvent avancé que les pré-ordres flous ne sont pas tous
réductibles, c'est-à-dire décomposables en classes de similitude. En
d'autres termes, les relations de similitude ne seraient pas, en général,
disjointes. (Voir, par exemple, Kaufmann [ 1, page 104] . Contrairement
à un résultat bien connu en algèbre ordinaire, selon lequel toute
relation d'équivalence détermine une partition du référentiel, une rela
tion de similitude (équivalence floue) déterminerait des sous-ensembles
flous qui ne seraient pas nécessairement disjoints.
1.2. L'objet de cette Note est de démontrer que, sous certaines conditions,
les pré-ordres flous sont réductibles.
des relations binaires floues fait appel aux opérateurs max-min. Elle
utilise une propriété importante des pré-ordres flous (voir paragraphe
4.1.2.) qui a été initialement établie par Prévôt [ 2, page 47 J . Elle
est exposée au paragraphe 4.2.4.2.
Enfin, quelques propriétés complémentaires des relations
binaires floues sont présentées.
1.3. Notation. Les symboles soulignés représentent des concepts ordinaires
et les symboles non soulignés des concepts de la théorie des sous-ensembles
flous.
2. Définitions.
2.1. Relation binaire floue sur un ensemble E .
où ^^(x » y) e$t la fonction caractéristique d'appartenance du couple
(x, y) à la relation binaire floue R.
Cette démonstration est apportée dans le cas où la composition
2
Soit un référentiel (non flou) £ et le carré cartésien £ .
2
Une relation binaire floue, notée R, entre les éléments de £ est un
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élément de l'ensemble des applications de £ vers un treillis L :

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Z.Z. Relation binaire floue réciproque.
Etant donné une relation binaire floue R définie sur E2, il
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existe une relation réciproque (ou duale), notée R , définie sur £ ,
telle que :
tf(x, y) e E2, R-1 (x. y) R U, y) o
PR-1 (y, x) = p R (x, y).
2.3.o-Composition des relations binaires floues. ?
Etant donné deux relations binaires floues sur JE , notées R
et S, la relation o-composée de R et S, notée S o R, est une relation floue
2
définie sur £ telle que :
V U, z) e E2, (S o R) (x, z ) et 3 y e E tel que :
R(x, y) et S(y, z).
La fonction d'appartenance correspondante est :
M (S o r) z) = max (*» y) A h s (y, z) ]
Remarque : Si L. = |o, ij , il suffit d'utiliser le produit matriciel booléen
pour obtenir la fonction d'appartenance de la relation composée non floue.
3. Relations particulières.
3.1. Relation identité.
3.1.1. Définition. La relation identité, notée A, est une relation binaire
2
floue, définie sur Z , telle que :
A = j (x ,y), juA i (x, y) e£2, m a (x, x) = 1,
**A (x,y) = 0, x f yj
On a évidemment : A = A “-*-
3.1.2. Proposition :RoA=AoR=R
Démonstration : M R q ^ (x, z) = max [ ;uR U,y) Aju^y, z) ]
Si y = z : P A U, z) = 1 ; ^ RqA(x, z) = p R (x, z)
Si y t z : M a (y, z) = 0 d'oü M R 0 A Ix, z) = juR (x, z)

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La définition de l'identité de deux sous-ensembles flous est vérifiée.
3.2. Relation réflexive.
3.2.1. Définition. Une relation R définie sur E2 est réflexive si et seule
ment si, V x e £ , ju n U .x) = 1.
3.2.2. Propriétés :
3.2.2.1. A ç r.2
Démonstration : V(x, x) e je , M a (x,x) = J“R(x, x) = 1
V U , y) e E2, x f y,
M A Ix, y) = 0 < Ji R (x, y)
2
V(x, y) e E , U,y) < *<Rtx, y)
Il suffit d'appliquer la définition de l'inclusion.
3.2.2.2. R réflexive =» R C R o R
Démonstration : A ç R (3.2.2.1.)
R o A ç R o R
Or, R o A = R ( 3.1.2.)
D'où il vient : R ç R o R.
3.3. Relation transitive 2
3.3.1. Définition. Une relation R définie sur £ est transitive si et seu-
O
lement si, V(x, y, z) e £ ,
R( x, y) et R( y, z) => R (x, z)
2 ?
3.3.2. Propriété : Soit R une relation transitive sur , V (x, z)e E1 ,
] y e £ tel que R (x, y) et R [y, z) => R (x, z)
R o R C R
D'après la définition de la o - composition des relations,
il vient immédiatement :
2
V IX, z) e E , max[/iR (x, y) a ^ r (y, z) ] ^ ju R (x, z)