Construction d`un test d`hypothèses

Echantillonnage
M3
MODULE 3 : Construction d’un test d’hypothèses
Unité 1 : aspects méthodologiques
L’utilisation des intervalles de confiance comme moyen de décision est possible ; toutefois le
décideur, tout en connaissant l’existence des erreurs qu’il peut commettre, n’est pas en mesure
dévaluer les risques qui leur sont associés avant la prise de sa décision. La théorie des tests,
en ramenant cette dernière au choix entre deux hypothèses antagonistes, notées H0 et H1 ,
rend la démarche plus rigoureuse.
L’hypothèse H0 est privilégiée dans le sens où l’observateur souhaite la retenir tant qu’elle
n’est pas infirmée par l’expérience. Dès lors, le test a pour but de mesurer l’adéquation de cette
hypothèse à la réalité observable, c’est-à-dire aux résultats fournis par un échantillon.
La démarche consiste tout d’abord à exprimer les erreurs en termes d’hypothèses « décider à
tort » devient « décider de retenir une hypothèse alors que l’autre est vraie ». Ainsi, il devient
possible de définir deux risques d’erreur et de calculer les probabilités qui leur correspondent,
les probabilités étant liées au caractère aléatoire de tous les échantillons susceptibles d’être
retenus.
Dans une deuxième étape, il s’agit de construire le test, c’est-à-dire de mettre au point
l’instrument de mesure de l’adéquation recherchée. A cette fin, et dans une formulation ex ante,
sont conjointement proposées une statistique d’échantillonage adéquate (appelée
conventionnellement fonction discriminante) et une zone de rejet de l’hypothèse H0 (ou région
critique) pour un risque d’erreur raisonnable. Une règle de décision est ensuite formulée, mais
la décision proprement dite n’est prise qu’ultérieurement au vu de la valeur particulière retenue
dans un échantillon particulier.
Comme pour tout instrument de mesure, il sera exigé d’un test d’hypothèse d’être performant.
La puissance d’un test, c’est-à-dire la probabilité de refuser l’hypothèse H0 quand elle est
fausse, est définie pour jouer ce rôle. Ainsi compte tenu de la diversité des situations concrètes
envisageables, le critère de choix entre différents tests possibles sera celui correspondant à la
puissance la plus élevée.
1. Risque d’erreur
Deux grands « cas » se présentent :
- X ≡ F(x ) → loi inconnue (1)
- X ≡ F(x, θ) → F connue, mais θ inconnu (2)
Les hypothèses à tester sont :
- H0 : X ≡ F(x ) (1)
- H0 : θ = θ0 (2)
Soit on conservera l’hypothèse H0 , soit on la rejettera.
Les risques d’erreurs encourus par l’observateur peuvent alors être définis par :
• α : risque de première espèce : décider à tort que H0 est fausse. Sa probabilité s’écrit :
α = Prob[décider que H1 est vraie / H0 vraie] ou
α = Prob[rejeter H0 / H0 vraie]
α est fixé, souvent à 5%.
EchMod3
1/42
Echantillonnage
M3
• β : risque de deuxième espèce : décider à tort que H0 est vraie. Sa probabilité s’écrit :
β = Prob[décider que H0 est vraie / H1 vraie]
Il convient de noter que par un abus de langage, le risque et sa mesure sont confondus dans la
pratique courante. Par exemple, l’expression « risque de première espèce » est utilisée à la
place de « probabilité du risque de première espèce ».
Synthèse :
Décision
Décider H0 vraie
Etat de nature
α
H0
H1
Décider H1 vraie
β
2. Efficacité d’un test
Les deux cases vides du tableau précédent correspondent aux prababilités complémentaires à
1 de α et de β, mais ne traduisent pas des risques puisque dans les deux cas il n’y a pas
d’erreur de décision. Dans celle de la première ligne, s’inscrirait la probabilité de retenir H0
quand celle-ci est vraie, cette probabilité doit être normalement élevée. En revanche, dans la
case vide de la deuxième ligne se trouverait l’expression :
1 - β = 1 – Prob[décider H0 vraie / H1 vraie] = Prob[décider H1 vraie / H1 vraie]
c’est-à-dire la probabilité de rejeter l’hypothèse H0 quand elle fausse. Cette dernière probabilité
est retenue comme caractéristique de la perfirmande d’un test d’hypothèses.
La puissance d’un test, notée η, est la probabilité de rejeter l’hypothèse H0 quand celle-ci n’est
pas vraie ; elle est égale à η = 1 - β où β est le risque de deuxième espèce.
La puissance d’un test est la mesure de l’efficacité de ce test. Elle est comparable à la précision
dans le cas d’un instrument de mesure. Il devient évident qu’un test est considéré d’autant plus
précis (par rapport à l’adéquation entre H0 et l’observation) que sa puissance est plus grande.
3. Elaboration d’une règle de décision
La démarche qui conduit à la prise de décision s’effectue en deux étapes. La première consiste
à définir ex ante (avant tirage de l’échantillon) une statistique d’échantillonnage et une zone de
rejet de l’hypothèse H0 pour un risque d’erreur donné, puis à élaborer une règle de décision.
La deuxième étape s’accomplit ex post : une déicison est prise au vu d’une valeur particulière
de la statistique retenue, conformément à la règle précédemment proposée.
3.1. Fonction discriminante
Etant donné un test d’hypothèses, la fonction discriminante ∆ est la statistique
d’échantillonnage utilisée pour décider de l’acceptation ou du rejet de l’hypothèse H0 d’un test,
celle-ci étant choisie en fonction de la caractéristique objet de ce test. La fonction discriminante
retenue pour un test d’hypothèses doit être de loi de probabilité connue, lorsque l’hypothèse
H0 d’un test s’exprime à l’aide d’une caractéristique θ d’une loi de probabilité.
Par exemple, H0 : « θ prend la valeur θ0 » (θ pouvant être aussi bien une moyenne qu’une
variance ou une proportion). La fonction discriminante du test est en général un estimateur de
la caractéristique (possédant les principales propriétés requises d’un bon estimateur) et sa loi
de probabilité dépend donc de θ.
EchMod3
2/42
Echantillonnage
M3
3.2. Région critique
La région critique R d’un test d’hypothèses de fonction discriminante ∆ est l’ensemble des
valeurs de ∆ qui induisent au rejet de l’hypothèse H0 avec un risque d’erreur donné. Cette
nouvelle définition permet d’exprimer les décisions en termes de variables aléatoires. Les
événements « décider que H1 est vraie » et « décider que H0 est vraie » se traduisent
respectivement par les événements : « ∆ n’appartient pas à R » et « ∆ appartient à R’ », R étant
un intervalle de la droite des réels dont la forme (fermé, semi ouvert) et les bornes sont à
préciser.
Le calcul des bornes de la région critique passe par l’expression des risques α et β en fonction
de R, c’est-à-dire :
α = Pr ob[∆ ≥ C / H0 vraie]
β = Pr ob[∆ < C / H1 vraie ] avec C : seuil critique.
3.3. Décision
Tous les éléments sont à présent réunis pour mettre au point une règle de décision. Cette
dernière peut s’énoncer ex ante (avant tirage de l’échantillon) de la manière suivante : ne pas
accepter l’hypothèse H0 au risque d’erreur α, si la valeur particulière de la fonction
discriminante ∆ (qui est une variable aléatoire) dans l’échantillon qui sera prélevé
ultérieurement appartient à la région critique. Ainsi, il ne reste plus qu’à prendre la décision
finale au vu de l’échantillon particulier. L’échantillon en présence conduit à cette conclusion,
mais un autre échantillon peut très bien entraîner une décision contraire. On dira : j’accepte ou
je refuse l’hypothèse H0 au risque de α% et compte tenu de l’information à ma disposition.
4. Typologie des tests d’hypothèses
4.1. Tests non paramétriques
Un test est dit non paramétrique lorsque l’état de nature exprimé par les hypohtèses est formulé
en termes qualitatifs. Deux genres de tests non paramétriques seront présentés (appelés aussi
tests de concordance).
• Test d’adéquation entre la distribution observée ou empirique et la distribution théorique de la
population.
• Test d’indépendance : ici l’échantillon est assimilé à un tableau d’effectif ou de contingence
croisant deux caractères associés à chaque individu observé.
4.2. Tests paramétriques
• Tests de signification d’un paramètre :
H0 : θ = θ0
(m, σ, p)
• Tests de comparaison ou d’égalité de deux paramètres :
H0 : θ1 = θ 2 (deux populations)
EchMod3
3/42
Echantillonnage
M3
5. Synthèse : démarche à suivre pour construire un test d’hypothèses
Niveau
population
Niveau
échantillon
ex ante
• Enoncer les hypothèses H0 et H1
• Préciser les hypothèses de travail : loi de la variable dans la population…
• Trouver une forme discriminante et proposer en la justifiant une forme de
la région critique.
• Spécifier la loi de probabilité de la fonction discriminante dans le cadre de
l’hypothèse H0 .
• Calculer la frontière de la région critique, étant donné un risque de
première espèce α.
Niveau
échantillon
ex post
• Décider au vu de la valeur prise par la fonction discriminante dans
l’échantillon particulier ⇒ formuler une règle de décision :
Si valeur ∈ R, H0 rejetée
Si valeur ∉ R, H0 acceptée.
Unité 2 : Test du χ2
1. Test d’adéquation
1.1. Données du problème
Soit un échantillon aléatoire de taille n prélevé dans une population à laquelle est associée une
variable aléatoire X. Un tableau des effectifs (fréquences absolues) est construit en regroupant
les observations en k classes qui sont suivant le cas, soit des intervalles de valeurs (des
classes), soit des valeurs entières uniques de la variable aléatoire X.
Classes
[e0 , e1[
Effectifs
n1
x1
n1
M
[ei −1, ei [
M
M
M
ni
xi
ni
M
M
M
M
nk
xn
nk
[ek −1, ek [
n
Effectifs
n
La loi de la variable aléatoire X est soit :
-
parfaitement déterminée,
-
non parfaitement déterminée.
Les x i sont-elles les images de X ?
1.2. Construction du test
La démarche analytique est comparable à celle retenue pour la théorie de l’estimation. Le
modèle théorique se situe ex ante, c’est-à-dire avant tirage. Ultérieurement, le prélévement d’un
échantillon permettra d’accepter ou de refuser l’hypothèse H0 avec, bien entendu, un risque
d’erreur toutefois mesurable.
EchMod3
4/42
Echantillonnage
M3
1.2.1. La formulation de l’hypothèse H0
Soit une population à laquelle est associée une variable X liée à un paramètre θ et dont la loi de
probabilité est notée L(θ). La question que l’on se pose est la suivante : les observations x i
sont-elles adéquates au modèle. On fait l’hypothèse H0 selon laquelle X ≡ L(θ) (par exemple
X ≡ N(m;6) ou X ≡ P(λ ) avec m, σ, λ calculés sur les échantillons).
En posant comme vraie cette hypothèse, on peut calculer les probabilités p i rattachées à
chaque classe i de la manière suivante :
X : variable aléatoire continue
pi = Pr ob[ei −1 < X < ei ]
X : variable aléatoire discrète
pi = Pr ob[X = x i ]
Classes
Effectifs
Fréquences
relatives fi
Si H0 vraie
[e0 , e1[
n1
f1
p1
M
[ei −1, ei [
M
M
M
ni
n
fi = i
n
pi
M
M
M
M
nk
n
fk = k
n
pk
n
∑ fi = 1
[ek −1, ek [
Fi =
pi
∑ pi
k
i =1
• soit lues dans les tables, dans le cas des variables aléatoires discrètes,
• soit calculés, dans le cas des variables aléatoires continues.
Il faut centrer et réduire les bornes des classes : X ≡ N(m, σ )
p − m
e − m
P[e i −1 < X < e i ] = P i −1
<U< i
σ
σ 

U ≡ N(0;1)
P[ui −1 < U < ui ] = F(ui ) − F(ui −1 ) = Pi
1.2.2. La fonction discriminante
Les données en présence sont :
- Un échantillon aléatoire de taille n qui sera prélevé, l’effectif total de cet échantillon est réparti
au hasard sur les k classes formant ainsi le tableau des effectifs observés notés ni pour la
classe i.
- Les probabilités p i qui sont calculées sur la base de l’hypothèse H0 (et à la suite d’un
découpage de l’intervalle des valeurs possibles conformément aux classes du tableau de
l’échantillon).
EchMod3
5/42
Echantillonnage
M3
L’adéquation entre l’hypothèse H0 ( X ≡ L(θ) ) et l’observation est mesurée par la « distance »
entre la distribution empirique et la distribution théorique, c’est-à-dire par une fonction des
écarts entre ni et np i . La fonction retenue est la suivante :
N.B. L’échantillon à prélever étant de taille n et les individus répartis au hasard entre les
classes, l’effectif ni de la classe i est une variable binomiale.
∑
k
(ni − npi )2
np i
i =1
C’est une statistique d’échantillonnage puisque les ni sont des variables aléatoires associées à
l’échantillon qui sera prélevé. Elle est retenue comme fonction discriminante du test de
l’adéquation d’une distribution empirique à un modèle théorique.
Karl Pearson a demontré, en cherchant la limite de la loi multinomiale, que :
∑
k
i =1
(ni − npi )2 si H0→vraie χ 2 (k − r − 1)
npi
n→ ∞
avec r : nombre de paramètres à estimer,
k : nombre de classes,
ni : effectifs observés,
npi : effectifs théoriques.
( )
f χ2
α fixé (en principe 5%)
si aucun paramètre n’est à estimer
on a χ 2 (k − 1) , cas où la loi est
parfaitement déterminée.
α
1− α
χ12− α
χ 2 (k − 1)
1.2.3. La région critique
Dans la relation précédente, la variable du χ 2 mesure la distance « entre les effectifs observés
et les effectifs théoriques. Une grande valeur de cette variable est symptomatique de la non
concordance entre la distribution observée et le modèle théorique. En conséquent, il existe un
seuil c au-delà duquel l’hypothèse H0 ne peut pas être retenue.
α = Prob[rejeter H0 / H0 vraie] : risque de première espèce
[
]
α = Pr ob χ o2 > χ12− α avec χ o2 =
∑
k
i =1
(ni − npi )2
npi
1.2.4. La règle de décision
Si χ o2 ≥ χ12− α (k − 2 − 1) rejet de H0 au risque de première espèce α%.
Si χ o2 < χ12− α (k − 2 − 1) H0 acceptée au risque de première espèce α%.
EchMod3
6/42
Echantillonnage
M3
1.3. Considérations pratiques
Remarque : ce test s’applique à des données en classes. Il est asymptotique (n → ∞).
Si H0 : Fx′ → Fx
Classes
Effectifs
Si H0 vraie
np i
pi
(ni − npi )2
np i
[e0 , e1[
n1
p1
M
M
M
ni
pi
[ei −1, ei [
(ni − npi )2
np1
(n1 − np1 )2
np i
(ni − npi )2
(ni − npi )2
np i
M
[ek −1, ek [
M
M
nk
pk
npk
n
1
n
(nk − npk )2
χ o2 =
∑
k
i =1
(ni − npi )2
np i
Simplification :
χ o2
=
∑
k
(ni − npi )2
np i
i =1
χ o2 =
=
∑
ni2 + n 2pi2 − 2ninpi
np i
=
∑ npi + ∑ npi − 2∑ ni = ∑ npi − 2n + n
ni2
ni2
∑ npi − n
k
ni2
i =1
 k n2

i − 1
 i = 1 n 2 pi



∑
On peut donc calculer χ o2 = n 
Regroupement des classes :
Si on a des classes de très faibles probabilités ( p i petits donc np i petits), on regroupe les
classes entre elles : en effet, on rique de voir χ o2 augmenter artificiellement et on risque de
rejeter H0 .
Pour éviter ce risque, on regroupe les classes lorsque les valeurs de np i et ni sont trop
petites. En pratique, si np i est inférieur à 5.
S’il y a regroupement de classes, le degré de liberté du χ 2 change et devient s – r – 1, avec s
nombre de classes après regroupement.
Remarque : Le χ 2 peut être considéré comme une méthode d’estimation : on l’appelle
méthode du χ 2 minimum.
2. Test d’indépendance
On veut tester l’indépendance éventuelle de deux caractères attachés à chaque individu d’une
même population.
EchMod3
7/42
Echantillonnage
M3
Dans ce cas, les deux distributions d’effectifs sont transcrites sous forme de tableaux à double
entrée (ou tableaux de contingence), la distribution empirique résultant de l’observation et la
distribution théorique étant déterminée à partir des fréquences… ?
2.1. Données du problème
Soit un échantillon aléatoire de taille n issu d’une population dont les individus possèdent deux
caractères A et B (qualitatifs ou rendus tels). Le tableau des effectifs qui est construit se
présente sous la forme suivante :
B
B1
Bj
Bk
ni.
A
n11
…
n1j
…
n1k
n1.
ni1
…
nij
…
ni1
ni.
Ap
n p1
…
npj
…
npk
np.
n. j
n.1
…
n. j
…
n.k
n
A1
M
Ai
M
nij individus possèdent à la fois les deux modalités A i et B j ,
ni. individus possèdent la modalité A i (∀ la modalité de B),
n. j individus possèdente la modalité B j (∀ la modalité de A).
2.2. Construction du test
2.2.1. Formulation de l’hypothèse
La condition d’indépendance entre les deux caractères A et B est exprimée par l’hypothèse :
H0 : A et B indépendants
A possède p modalités : A 1 … A p
B possède k modalités : B1 … B k
{
Sur chaque individu, on note la valeur du caractère A et celle du caractère B : a i , b j
}
2.2.2. Fonction discriminante
L’effectif total n de l’échantillon à prélever sera réparti au hasard dans les cellules d’un tableau
à double entrée.
L’effectif nij des individus possédant la modalité A i et B j est une variable aléatoire quels que
soient i et j.
On forme la fonction discriminante :
χ o2
∑∑
p
=
k
i =1 j =1
(nij − npij )2
npij
nij représente les effectifs observés,
EchMod3
8/42
Echantillonnage
M3
np ij les effectifs théoriques correspondant au cas de l’indépendance.
Sous l’hypothèse H0 , χ o2 suit approximativement une loi du χ 2
χ o2 =
(nij − npij )2 si H χ2 (pk − r − 1) avec r nombre de paramètres.
∑∑ npij →
p
k
0
i =1 j =1
[
pij = Pr ob I ∈ A i ∩ B j
]
n →∞
I = ai , b j
{
}
…
Bj
si H 0
pij = Pi. × p. j
B
B1
…
Bk
ni.
A
A1
p1.
M
pij = Pi. × p. j
Ai
p i.
M
Ap
p. j
pp.
p.1
…
p. j
…
p.k
1
Recherche du nombre de paramètres à estimer :
p i. → à estimer p – 1
p. j → à estimer k – 1
 p + k -2
Recherche du degré de liberté :
(pk – r- 1) = pk – p – k + 2 – 1
= pk – p – k + 1
= k (p - 1) - (p - 1)
=(p - 1) (k - 1)
n
pi. = i.
n
EchMod3
n
p. j = .J
n
9/42
Echantillonnage
χ o2
=
∑∑
p
k
M3
(nij − npij )2
i =1 j =1
np ij
∑∑
p
k
(nij − npi.p. j )2
i =1 j =1
npi.p. j

ni. n. j 


p k  nij − n n n 


=
n
n .j
i =1 j =1
n i.
n n
2
p k n
p k n n n
p k n 2n 2 
ij
ij i. . j
i. . j 

=n
−2
+
2

ni.n. j
nni.n. j i =1 j =1 n ni.n. j 
i =1 j =1
 i =1 j =1

2
∑∑
∑∑
( )
∑∑
∑∑
 p k n2

p k
p
k
2
1
ij

=n
−
nij +
ni. n.j
2

n
n
n
n i =1 j =1 
i. . j
i =1 j =1
 i =1 j =1

 p k n2

ij

=n
− 2 + 1


n
n
i
.
.
j
 i =1 j =1

∑∑
∑∑
∑ ∑
∑∑
χ o2
 p k n2
 si H0
ij

=n
− 1 → χ 2 (p − 1)(k − 1)

 n→ ∞
ni.n. j
 i =1 j =1

∑∑
( )
2.2.3. Région critique et règle de décision
f χ2
α
1− α
χ12− α
χ 2 (p − 1)(k − 1)
Si χ 2o ≥ χ12− α rejet de H0 au risque de première espèce α%.
Si χ 2o < χ12− α H0 acceptée au risque de première espèce α%.
2.3. Considérations pratiques
Dans les cases du tableau de contingence, mettre :
nij2
ni.n. j
= c ij
p k

χ o2 = n 
c ij − 1
 i =1 j =1



∑∑
χ 2o est toujours positif.
EchMod3
10/42
Echantillonnage
M3
2.4. Test d’homogénéité
On a un ensemble d’échantillons E1 LE 2 LE k relatifs à des observations sur un caractère A.
A, caractère observé , possède p modalités.
E
E1
…
Ej
…
Ek
ni.
A
A1
n1.
M
Ai
ni.
nij
M
Ap
np.
n. j
n
n. j
nij : nombre d’observations de E j ∈ A i
Question : peut-on considérer que tous les échantillons sont issus de la même population ?
Si oui, on dira qu’il y a homogénéité dans la population.
Si non, on dira qu’il y a hétérogénéité dans la population.
Y a-t-il homogénéité entre échantillons vis à vis de A ?
H0 : homogénéité entre échantillon.
Cette hypothèse revient à teste :
H0 : indépendance entre A et l’appartenance à un échantillon.
χ o2
 p k n2
 si H0
ij

=n
− 1 → χ 2 (p − 1)(k − 1)

 n→ ∞
n
n
i. . j
 i =1 j =1

∑∑
A
E1
A1
n11
n1j
n1k
n1.
ni1
nij
nik
ni.
…
Ej
…
Ek
M
Ai
∑∑ nij = n
p
k
i=1 j =1
M
Ap
np1
n.1
EchMod3
npj
…
n. j
…
npk
np.
n.k
n
11/42
Echantillonnage
M3
( )
f χ2
α
1− α
χ12− α
χ 2 (p − 1)(k − 1)
Règle de décision :
Si χ 2o ≥ χ12− α rejet de H0 au risque de première espèce α%.
Si χ 2o < χ12− α H0 acceptée au risque de première espèce α%.
α = Pr ob(rejeter H0 / H0 vraie )

 accepter H0 / H0 fausse 


β = Pr ob
H1 vraie 


Unité 3 : Test paramètriques
Il existe deux types de tests paramètriques :
-
les tests de signification des paramètres,
-
les tests de comparaison des paramètres.
1. Test de signification des paramètres
1.1. Problématique
θ paramètre inconnu
Population : X ≡ L(θ)
⇓
L loi connue
H0 : θ = θ0 hypothèse à tester
H1 : θ = θ1 hypothèse alternative
⇓
Echantillons possibles Fonction discriminante
Région critique
Règle de décision : soit on conserve H0 , soit on la rejette.
Echantillon particulier Valeur particulière de θ̂
EchMod3
12/42
Echantillonnage
M3
Soit une population dont un paramètre θ est inconnu et un estimateur θ̂ de θ défini à partir de
tous les échantillons de taille n. La donnée d’un échantillon particulier et donc d’une valeur
particulière de θ̂ permettra de déterminer un intervalle de confiance de θ qui reste malgré tout
inconnu.
Le test de signification d’un paramètre consiste à poser a priori le entre deux valeurs
numériques pour θ ou encore le choix entre une valeur précise et un ensemble du type « plus
grand que » ; « plus petit que » ou « différent de ».
Dans le premier cas, il s’agit de tester une hypothèse H0 simple contre une hypothèse
antagoniste H1 simple aussi ; dans le second, c’est une hypothèse H0 simple qui est opposée
à H1 composite.
α = Pr ob(rejeter H0 / H0 vraie )

β = Pr ob(accepter H0 / H1 vraie )
1.2. Test de signification de la moyenne d’une loi normale lorsque la variance est
connue
σ connu, m ?
X ≡ N(m; σ)
(x0 L xn ) échantillon de X.
• si n est petit, il faut être certain de l’hypothèse de normalité.
X ≡ N(m; σ)
• si n est grand : utilisation de l’approximation noramle :
∑ Xi ind → N∑ mi; ∑ σi2 
H0 : m = m0 / m = m1
On cherche sur l’échantillon un estimateur de m : X
X ≡ N(m; σ
n
X−m
≡ N(0,1)
σ
n
f (u)
α1
α2
1− α
u α1
EchMod3
u1−α 2
u
13/42
Echantillonnage
si H0 vraie
M3
X − m0
≡ N(0,1)
σ
n


X − m0

< u1− α 2 
1 − α = Pr ob u α1 <
σ


n


1 − α = Pr ob m0 + uα1 σ
< X < m0 + u1− α 2 σ 
n
n




1 − α = Pr ob  X ∈ m0 + uα1 σ ; m0 + u1−α 2 σ  
n
n 


Règle de décision :


σ ;m + u
σ  H acceptée
0
1−α 2
0
si X ∈ m0 + uα1
n
n 



si X ∉ m + u σ ; m + u
σ  H rejetée
α1
0
1−α 2
0
 0

n
n 

α risque de première espèce : α = Pr ob(rejeter H0 / H0 vraie ) H0 : m = m0
β = Pr ob(accepter H0 / H1 vraie ) H1 : m = m1


β = Pr ob  X ∈ m0 + uα1 σ ; m0 + u1− α 2 σ  / m = m1
n
n



Si H1 : X ≡ N(m1; σ
n
X − m1
≡ N(0,1)
σ
n
[
β = Pr ob a < X < b / m = m1
]


 a − m1 X − 1 b − m1 
= Pr ob 
<
<

σ
σ
σ

n
n
n 




 b − m1 
 a − m1 
= F
 − F

 σ

 σ

n 
n 


Rappel : 1 − β = η puissance du test
1 − β = Pr ob[rejeter H0 / H1 vraie]
Courbe d’efficacité du test : {β(m1)}, variation de β en fonction de m1
Courbe de puissance : {η(m1)}
EchMod3
14/42
Echantillonnage
M3
Intervalle bilatéral symétrique : α1 = α 2 = α 2
f (u)
α/2
α/2
1− α
uα / 2
u1−α / 2
u
H0 : m = m0 / H1 : m1 ≠ m0


X − m0

1 − α = Pr ob uα / 2 <
< u1− α / 2 
σ


n
Règle de décision :


σ  H acceptée
0
si X ∈ m0 ± u1− α / 2
n 



si X ∉ m ± u
σ  H rejetée
0
1
−
α
/
2
0


n 


Intervalle unilatéral à droite : α1 = 0
f (u)
α2 = α
α
1− α
u1−α
u
H0 : m = m0 / H1 : m1 > m0
EchMod3
15/42
Echantillonnage
M3


X − m0

< u1−α 
1 − α = Pr ob 
σ


n


= Pr ob  X < u1−α σ
+ m0 
n


Règle de décision :
si X < u1− α σ
+ m0 H0 acceptée

n

+ m0 H0 rejetée
si X ≥ u1− α σ
n

α = Pr ob[rejeter H0 / H0 vraie ]
Ici


= Pr ob  X ≥ u1− α σ
+ m0 / m = m0 
n


Intervalle unilatéral à gauche : α1 = α
f (u )
α2 = 0
α
1− α
uα
u
H0 : m = m0 / H1 : m1 < m0


X − m0

1 − α = Pr ob 
> uα 
σ


n


= Pr ob  X > uα σ
+ m0 
n


Règle de décision :
si X > uα σ
+ m0 H0 acceptée

n

+ m0 H0 rejetée
si X ≤ uα σ
n

1.3. Test de signification de la moyenne d’une loi normale lorsque la variance est
inconnue
X ≡ N(m; σ)
σ inconnu, m ?
X ≡ N(m; σ
n on prend un échantillon de taille n.
EchMod3
16/42
Echantillonnage
M3
Utilisation de la loi de Student :
X −m
X−m
≡ T(n − 1) ≡
s
ŝ
n −1
n
s2 =
1
n
∑ (Xi − X2 )
ŝ2 =
1
n −1
f (T(n − 1))
 ns2

2
 2 ≡ χ (n − 1)
 σ

∑ (Xi − X2 )
α1+α2=α
α1
α2
1− α
t α1
t1− α 2
T(n-1)
H0 : m = m0 / m = m1


X − m0

1 − α = Pr ob t α1 <
< t1−α 2 
s


n −1


1 − α = Pr ob m0 + t α1 s
< X < m0 + t1− α 2 s
n −1
n − 1

Règle de décision :



s
; m0 + u1− α 2 s
H0 acceptée
si X ∈ m0 + t α1
n −1
n − 1




si X ∉ m + t s
; m0 + t1− α 2 s
 0 α1
 H0 rejetée

n
−
1
n
−
1

β = Pr ob(accepter H0 / H1 vraie ) H1 : m = m1








β = Pr ob  X ∈ m0 + t α1 s
;m0 + t1− α 2 s
 / m = m1
n4
−31 1444244n4−31


 144
4244


a
b



Si H1 :
EchMod3
X − m1
≡ T(n − 1)
s
n −1
17/42
Echantillonnage
M3

a − m1
β = Pr ob 
<
s

n −1



 b − m1 

= F
 − F
 s


n −1



X − m1
b − m1 
<

s
s
n −1
n − 1 

a − m1 

s

n −1
Fonction de répartition de la loi de Student
Si n-1>30, T(n-1)≡N(0,1)
Si n-1<30, tables de la fonction de répartition de T(n-1).
Intervalle bilatéral symétrique : α1 = α 2 = α / 2
f (T )
α/2
α/2
1− α
tα / 2
t1− α / 2
T(n-1)
H0 : m = m0 / H1 : m1 ≠ m0


X − m0
1 − α = Pr ob t α / 2 <
< t1− α / 2 
s


n −1


= Pr ob m0 + t α / 2 s
< X < m0 + t1− α / 2 s
n −1
n − 1

Règle de décision :



s
H0 acceptée
si X ∈ m0 ± t α / 2
n − 1




si X ∉ m ± t
s
H0 rejetée
0
α
/
2


n − 1


EchMod3
18/42
Echantillonnage
M3
Intervalle unilatéral à droite : α1 = 0
f (T )
α2 = α
α
1− α
t1− α
T(n-1)
H0 : m = m0 / H1 : m1 > m0


X − m0

1 − α = Pr ob 
< t1−α 
s


n −1


= Pr ob  X < t1− α s
+ m0 
n −1


Règle de décision :
si X < t1−α s
+ m0 H0 acceptée

n −1

+ m0 H0 rejetée
si X ≥ t1−α s
n −1

Intervalle unilatéral à gauche : α1 = α
f (T )
α2 = 0
α
1− α
tα
T(n-1)
H0 : m = m0 / H1 : m1 < m0
EchMod3
19/42
Echantillonnage
M3


X − m0

> t α 
1 − α = Pr ob 
s


n −1


= Pr ob  X > t α s
+ m0 
n −1


Règle de décision :
si X > t α s
+ m0 H0 acceptée

n −1

+ m0 H0 rejetée
si X ≤ t α s
n −1

1.4. Test de signification de la variance d’une loi normale
σ2 ?
X ≡ N(m; σ)
H0 : σ2 = σ 20 / σ 2 = σ12
On prend un échantillon de taille n.
ns2
σ
2
≡ χ 2 (n − 1)
( )
f χ2
α1+α2=α
α1
α2
1− α
χ 2α1


ns2
1 − α = Pr ob χ 2α <
< χ12−α 
2
1
2
σ


 2
 1
Si H0 : 1 − α = Pr obχ α <
χ 21− α 2
χ 2 (n − 1)

< χ12−α 
2
σ 20

ns2
 2 σ2
σ2 
0
1 − α = Pr ob χ α
< s2 < χ12− α 0 
n
n
2
 1

EchMod3
20/42
Echantillonnage
M3
Règle de décision :
 2  2 σ2
2
si s ∈ χ α 0 n ; χ1−α
1
2



 2  2 σ 20
; χ2
si s ∉ χ α1
n 1−α 2



H acceptée
n  0

σ02 
H rejetée
n  0

σ02
β = Pr ob(accepter H0 / H1 vraie )



  2 σ02
σ 20  2
2
2
2
β = Pr ob  χα
< s < χ1− α
/ σ = σ1 
n
n 
124
2 43
1
4
3
1
42



a
b



Si H1 :
ns2
σ12
≡ χ 2 (n − 1)
 n
s2n
n 
β = Pr ob a
<
<b

2
σ12
σ12 
 σ1
 bn 


 − F an 
= F
 σ2 
 σ2 
 1
 1
Fonction de répartition de χ 2 (n − 1)
Intervalle bilatéral symétrique :
( )
f χ2
α1+α2=α/2
α/2
α/2
1− α
χ 2α1
χ 21− α 2
χ 2 (n − 1)
H0 : σ 2 = σ 20 / H1 : σ12 ≠ σ02
 2

ns2
1 − α = Pr ob χ α
<
< χ12−α / 2 
/2
σ2



2
Si H0 : 1 − α = Pr ob χ α
/2 <


< χ12−α / 2 
σ 20

ns2

σ2
σ2 
1 − α = Pr ob χ 2α / 2 0 < s2 < χ12− α / 2 0 
n
n


EchMod3
21/42
Echantillonnage
M3
Règle de décision :
 2  2 σ2
σ2
2
si s ∈ χ α / 2 0 n ; χ1− α / 2 0 n



 2  2 σ02
σ 20
2
si s ∉ χ α / 2 n ; χ1− α / 2 n



 H0 acceptée


 H0 rejetée

Intervalle unilatéral à gauche : α1 = α
( )
α2 = 0
f χ2
α
1− α
χ 2α
χ 2 (n − 1)
H0 : σ 2 = σ02 / H1 : σ12 < σ02
[
]
1 − α = Pr ob χ 2α < χ2 (n − 1)

Si H0 : 1 − α = Pr ob χ 2α <

ns2 

σ02 
2

2 σ0 
1 − α = Pr ob s2 > χ α
n 


Règle de décision :
2
 2
2 σ0
si
s
>
χ
H acceptée

α

n 0

si s2 ≤ χ 2 σ02 H rejetée
α

n 0

EchMod3
22/42
Echantillonnage
M3
Intervalle unilatéral à droite : α1 = 0
( )
α2 = α
f χ2
α
1− α
χ12− α
χ 2 (n − 1)
H0 : σ 2 = σ 20 / H1 : σ12 > σ 20
 ns2

< χ12− α 
2
 σ0

Si H0 : 1 − α = Pr ob 

σ2 
1 − α = Pr ob s2 < χ12− α 0 
n


Règle de décision :
2
 2
2 σ0
si
s
<
χ
H acceptée

1−α

n 0

si s2 ≥ χ 2 σ 20 H rejetée
1−α

n 0

1.5. Test de signification d’une proportion
H0 : p = p0 / p = p1
Soit X une variable aléatoire. Soient deux modalités dans une population :
A → p( A ) = p
A → p( A ) = q = 1 − p
Un échantillon est tiré dans la population. La variable X associée au tirage d’un individu est une
variable de Bernouilli. La variable Y associée au tirage de n individus est une variable binomiale
(nombre de fois où A se produit).
L
(
Y ≡ B(n, p) → N np, npq
f=

Y
pq 
→ N p,

n
n 

)
• Si n est petit, si H0 vraie : Y ≡ B(n,p 0 ) , lecture dans la table de la loi binomiale.
(
• Si n est grand, si H0 vraie : Y → N np0 , np0q0
EchMod3
)
23/42
Echantillonnage
M3
f=
Si H0 :
f − p0
≡ N(0,1)
p0q0
n

Y
p q
→ N p0 , 0 0

n
n





f (u )
α1+α2=α
α1
α2
1− α
u α1




f − p0
< u1− α 2 
1 − α = Pr ob uα1 <


p 0q0


n


u1−α 2
u

p q
p0q0
= Pr ob p0 + uα1 0 0 < f < p0 + u1−α 2
n
n




Règle de décision :


p q
p0q0 
si f ∈ p0 + u α1 0 0 ; p0 + u1− α 2
 H0 acceptée
n
n 




p 0q0
p0q0 

; p0 + u1− α 2
 H0 rejetée
si f ∉ p0 + u α1
n
n 


Intervalle bilatéral symétrique : α1 = α 2 = α 2
f (u )
α/2
α/2
1− α
uα / 2
EchMod3
u1−α / 2
u
24/42
Echantillonnage
M3
H0 : p = p0 / H1 : p1 ≠ p0




f − p0
1 − α = Pr ob uα / 2 <
< u1− α / 2 


p0 q0


n


 
p q 
= Pr ob f ∈ p0 ± uα / 2 0 0  
n  
 
Règle de décision :


p q 
si f ∈ p 0 ± uα / 2 0 0  H0 acceptée
n 




p0q0 

 H0 rejetée
si f ∉ p 0 ± uα / 2
n 


Intervalle unilatéral à gauche : α1 = α
f (u )
α2 = 0
α
1− α
uα
u
H0 : p = p0 / H1 : p1 < p0


 f −p

0 >u 
1 − α = Pr ob 
α
 p 0q0



n



p q
= Pr ob f > p0 + uα 0 0
n




Règle de décision :

p0q0
H0 acceptée
si f > p0 + uα
n


p q

si f ≤ p0 + uα 0 0 H0 rejetée

n

EchMod3
25/42
Echantillonnage
M3
Intervalle unilatéral à droite : α1 = 0
f (u )
α2 = α
α
1− α
u1−α
u
H0 : p = p0 / H1 : p1 > p0


 f −p

0 <u
1 − α = Pr ob 
1− α 
 p 0q0



n



p q 
= Pr ob f < p 0 + u1−α 0 0 
n 

Règle de décision :

p0q0
H0 acceptée
si f < p 0 + u1− α
n


p q

si f ≥ p 0 + u1− α 0 0 H0 rejetée

n

2. Test de comparaison ou d’égalité des paramètres
2.1. Problématique
Soient deux populations :
X1 ≡ L(θ1)
X 2 ≡ L (θ2 )
avec θ1 et θ2 inconnus.
H0 : θ1 = θ2
Fonction discriminante
Région critique
Décision
Echantillons particuliers
L’hypothèse θ1 = θ2 peut être formulée sous la forme : θ1 − θ2 = 0 . Le test de comparaison
de deux paramètres revient en un test de signification à zéro de la différence entre ces
paramètres (ou signification à 1 du rapport des deux paramètres).
EchMod3
26/42
Echantillonnage
M3
2.2. Test de comparaison des moyennes de deux lois normales lorsque les
variances sont connues
X1 ≡ N(m1, σ1 )
X2 ≡ N(m2, σ 2 )
On tire deux échantillons de taille n1 et n2 dans ces deux populations.
• Si n1,n 2 sont petits, formulation de l’hypothèse de normalité.
• Si n1,n 2 sont grands, approximation par la loi normale.
H0 : m1 = m2 ⇔ m1 − m2 = 0
H1 : m1 − m2 = λ

σ 
X1 ≡ N m1; 1 

n1 


σ 
X 2 ≡ N m2 ; 2 

n2 


(X1 − X2 ) ≡ N (m1 − m2 );


σ12 σ 22 
+
n1 n2 

(X1 − X2 ) − (m1 − m2 ) ≡ N(0,1)
σ12 σ 22
+
n1 n2
f (u )
α1+α2=α
α1
α2
1− α
u α1
u1−α 2
u






X1 − X 2 − 0
Si H0 : 1 − α = Pr ob uα1 <
< u1− α 2 
σ12 σ 22


+


n1 n2


(
)


σ12 σ 22
σ12 σ 22 

1 − α = Pr ob uα1
+
< X1 − X 2 < u1− α 2
+
n1 n2
n1 n2 



(
EchMod3
)
27/42
Echantillonnage
M3
Règle de décision :


si X1 − X 2 ∈ uα

 1





si X1 − X 2 ∉ uα1




(
)
(
)

σ12 σ 22
σ12 σ 22 
+
; u1− α 2
+
H0 acceptée
n1 n2
n1 n2 

σ12 σ 22
σ12 σ 22 
+
; u1− α 2
+
H0 rejetée
n1 n2
n1 n2 

β = Pr ob(accepter H0 / H1 vraie )
[
β = Pr ob a < X1 − X2 < b / m1 − m2 = λ
Si H1 vraie
(X1 − X2 ) − λ ≡ N(0,1)
]
σ12 σ 22
+
n1 n 2


 a−λ
X − X2 − λ
β = Pr ob 
< 1
<
2
2
2
2
σ1 σ 2
 σ1 σ2
+
 n +n
n1 n 2
2
 1
(


 b−λ
β = F
 σ2 σ2
1 + 2

n
n2
1

)





 a−λ
 − F

 σ2 σ2
1 + 2


n
n2
1


{β(λ )} courbe d’efficacité
{η(λ )} courbe de puissance
b−λ
σ12 σ 22
+
n1 n2














η = 1− β
Intervalle bilatéral symétrique: α1 = α 2 = α 2
f (u)
α/2
α/2
1− α
uα / 2
EchMod3
u1−α / 2
u
28/42
Echantillonnage
M3






X1 − X2 − 0
Si H0 : 1 − α = Pr ob uα / 2 <
< u1−α / 2 
σ12 σ 22


+


n1 n 2


(
)


σ2 σ2
σ2 σ2
1 − α = Pr ob uα / 2 1 + 2 < X1 − X 2 < u1− α / 2 1 + 2 
n1 n2
n1 n2 



(
Règle de décision :


si X1 − X 2 ∈ ± uα / 2







± u α / 2
si
X
X
−
∉

1
2




(
)
(
)
)

σ12 σ 22 
H0 acceptée
+
n1 n 2 

σ12 σ 22 
H0 rejetée
+
n1 n 2 

Intervalle unilatéral à gauche : α1 = α
f (u )
α2 = 0
α
1− α
uα
u
H0 : m1 = m2 ⇔ m1 − m2 = 0
H1 : m1 − m2 < 0 ⇔ m1 < m2




 X1 − X2

Si H0 : 1 − α = Pr ob
> uα 
 σ12 σ 22

 n +n

2
 1

(
)


σ2 σ2
1 − α = Pr ob  X1 − X2 > uα 1 + 2 
n1 n 2 



(
EchMod3
)
29/42
Echantillonnage
M3
Règle de décision :

2
2
si X1 − X2 > uα σ1 + σ 2 H0 acceptée

n1 n2



σ12 σ 22
+
H0 rejetée
si X1 − X2 ≤ u α
n1 n 2


(
)
(
)
Intervalle unilatéral à droite : α1 = 0
α2 = α
f (u )
α
1− α
u1−α
u
H0 : m1 = m2 ⇔ m1 − m2 = 0
H1 : m1 − m2 > 0 ⇔ m1 > m2




 X1 − X 2

Si H0 : 1 − α = Pr ob 
< u1−α 
 σ12 σ 22

 n +n

2
 1

(
)


σ2 σ2
1 − α = Pr ob  X1 − X 2 < u1− α 1 + 2 
n1 n2 



(
)
Règle de décision :

2
2
si X1 − X 2 < u1− α σ1 + σ 2 H0 acceptée

n1 n2



σ12 σ 22
+
H0 rejetée
si X1 − X 2 ≥ u1− α
n1 n2


(
)
(
)
Interprétation des contre-hypothèses :
H1 : m1 ≠ m2 ⇒ la moyenne a-t-elle varié ?
H1 : m1 > m2 ⇒ la moyenne a-t-elle diminué ?
H1 : m1 < m 2 ⇒ la moyenne a-t-elle augmenté ?
EchMod3
30/42
Echantillonnage
M3
2.3. Test de comparaison des moyennes de deux lois normales lorsque les
variances sont inconnues
X1 ≡ N(m1, σ1 )
X 2 ≡ N(m2, σ 2 )
σ1,σ 2 inconnus
H0 : m1 = m2 ⇔ m1 − m2 = 0
H1 : m1 − m2 = λ

(X1 − X2 ) ≡ N (m1 − m2 );


σ12 σ 22 
+
n1 n2 

σ1,σ 2 inconnus, donc utilisation de la loi de Student. Il faut au préalable tester l’hypothèse
σ 2 = σ 2 = σ 2 (Cf. § suivant)
1
2
Remarque : si σ12 ≠ σ 22 , on ne peut pas utiliser le test de Student. On utilise alors les tables
statistiques de Darmois.
T(n1 + n2 − 2) ≡
(X1 − X2 ) − (m1 − m2 )
n1s12 + n2s22
n1 + n 2 − 2
f (T )
1
1
+
n1 n2
α1+α2=α
α1
α2
1− α
t α1



Si H0 : 1 − α = Pr obt α <
1



t1− α 2
n1s12 + n2s22
n1 + n 2 − 2

n s2 + n2s22
1 − α = Pr ob t α1 1 1
n1 + n2 − 2


EchMod3
(X1 − X2 )
T



−0
< t1− α 2 
1
1

+

n1 n2

1
1
n s2 + n2s22
+
< X1 − X2 < t1− α 2 1 1
n1 n2
n1 + n2 − 2

1
1 
+
n1 n 2 

31/42
Echantillonnage
M3
Règle de décision :


2
2
si X1 − X 2 ∈ t α n1s1 + n2s2

 1 n1 + n2 − 2





n s2 + n2s22
si X1 − X 2 ∉ t α1 1 1
n1 + n2 − 2




(
)
1
1
n s2 + n2s22
+
; t1− α 2 1 1
n1 n2
n1 + n2 − 2
(
)
1
1
n s2 + n2s22
+
; t1− α 2 1 1
n1 n2
n1 + n2 − 2
β = Pr ob(accepter H0 / H1 vraie )
[
β = Pr ob a < X1 − X2 < b / m1 − m2 = λ



a−λ
β = Pr ob 
<
2
2
1
 n1s1 + n2s2 1
 n +n −2 n + n
1
2
1
2




b−λ
β = F
 n s2 + n s2 1
1
2 2
+
 1 1
 n1 + n2 − 2 n1 n 2
]
(X1 − X2 ) − λ
n1s12
+ n2s22
n1 + n2 − 2
1
1
+
n1 n2






a−λ
 − F

 n s2 + n s2 1
1
2 2
+

 1 1

 n1 + n2 − 2 n1 n2
Fonction de répartition de T(n1 + n2 − 2 )
<








1
1 
+
H0 acceptée
n1 n2 

1
1 
+
H0 rejetée
n1 n2 




b−λ

n1s12 + n2s22 1
1 
+
n1 + n2 − 2 n1 n2 
• Si n1 + n 2 − 2 < 30 → lecture dans les tables de la fonction de répartition de la loi de
Student.
• Si n1 + n 2 − 2 > 30 → T(n1 + n2 − 2 ) → N(0,1)
L
Intervalle bilatéral symétrique : α1 = α 2 = α / 2
f (T )
α/2
α/2
1− α
tα / 2
t1− α / 2
T(n-1)
H0 : m1 = m2 / H1 : m1 ≠ m 2
EchMod3
32/42
Echantillonnage
M3



1 − α = Pr ob t α / 2 <






X1 − X 2
< t1− α / 2 
n1s12 + n2s22 1
1

+

n1 + n 2 − 2 n1 n2

Règle de décision :


2
2
si X1 − X 2 ∈ t1− α / 2 n1s1 + n2s2


n1 + n 2 − 2





n s2 + n2s22
si X1 − X 2 ∉ t1− α / 2 1 1
n1 + n 2 − 2




(
)
(
)
Intervalle unilatéral à droite : α1 = 0
f (T )

1
1 
+
H0 acceptée
n1 n2 

1
1 
+
H0 rejetée
n1 n2 

α2 = α
α
1− α
t1− α
T
H0 : m1 = m2 / H1 : m1 > m2






X1 − X 2
1 − α = Pr ob 
< t1−α 
1
 n1s12 + n2s22 1

 n +n −2 n + n

1
2
1
2


(
)
Règle de décision :

2
2
si X1 − X2 < t1− α n1s1 + n2s2

n1 + n 2 − 2



n1s12 + n2s22
si X1 − X2 ≥ t1− α
n1 + n 2 − 2


(
)
(
)
EchMod3
1
1
+
H0 acceptée
n1 n2
1
1
+
H0 rejetée
n1 n2
33/42
Echantillonnage
M3
Intervalle unilatéral à gauche : α1 = α
f (T )
α2 = 0
α
1− α
tα
T
H0 : m1 = m2 / H1 : m1 < m2



1 − α = Pr ob t α <






X1 − X 2

n1s12 + n2s22 1
1 
+
n1 + n2 − 2 n1 n 2 
(
)
Règle de décision :

2
2
si X1 − X 2 > t α n1s1 + n2s2 1 + 1 H0 acceptée

n1 + n2 − 2 n1 n2



n1s12 + n2s22 1
1
si
X
−
X
≤
t
+
H0 rejetée

1
2
α
n
+
n
−
2
n
n

1
2
1
2

(
)
(
)
2.4. Test de comparaison des variances de deux lois normales
X1 ≡ N(m1, σ1 )
X2 ≡ N(m2, σ 2 )
σ1 = σ 2 ?
σ2
H0 : σ12 = σ 22 ⇔ 1 = 1
σ 22
H1 : σ12 − σ 22 = λ
On tire dans la population 1 un échantillon de taille n1 , de moyenne X1 et d’écart-type S1 .
On tire dans la population 2 un échantillon de taille n2 , de moyenne X 2 et d’écart-type S 2 .
n1S12 σ22 n2 − 1 Ŝ12 σ 22
⋅
⋅
=
⋅
≡ F(n1 − 1; n2 − 1)
n1 − 1 σ12 n2S 22 Ŝ 22 σ12
Si H0 :
EchMod3
Ŝ12
Ŝ 22
≡ F(n1 − 1;n 2 − 1)
34/42
Echantillonnage
M3
f (F)
α1+α2=α
α1
α2
1− α
Fα1

Si H0 : 1 − α = Pr obFα <
1


< F1−α 2 
Ŝ22

Ŝ12
Règle de décision :

si



si

Ŝ12
Ŝ22
Ŝ12
Ŝ22
F(n1 − 1, n2 − 1)
F1− α 2
[
]
[
]
∈ Fα1 (n1 − 1;n 2 − 1);F1−α 2 (n1 − 1; n2 − 1) H0 acceptée
∉ Fα1 (n1 − 1;n 2 − 1);F1−α 2 (n1 − 1; n2 − 1) H0 rejetée
Intervalle bilatéral symétrique :
f (F)
α1+α2=α/2
α/2
α/2
1− α
Fα1
F1− α 2
σ2
σ2
H0 : 1 = 1/ H1 : 1 ≠ 1
σ 22
σ 22

Si H0 : 1 − α = Pr ob Fα / 2 <

EchMod3
F(n1 − 1; n2 − 1)

< F1− α / 2 
Ŝ22

Ŝ12
35/42
Echantillonnage
M3
Règle de décision :

si



si

Ŝ12
Ŝ22
Ŝ12
Ŝ22
∈ [Fα / 2 (n1 − 1; n2 − 1);F1−α / 2 (n1 − 1;n2 − 1)] H0 acceptée
∉ [Fα / 2 (n1 − 1; n2 − 1);F1−α / 2 (n1 − 1;n2 − 1)] H0 rejetée
Attention à la lecture des tables de Fischer :
Fα / 2 (n1 − 1; n2 − 1) =
1
F1− α / 2 (n1 − 1;n2 − 1)
Intervalle unilatéral à droite : α1 = 0
α2 = α
f (F)
α
1− α
F1− α
H0 :
Si
F(n1 − 1; n2 − 1)
σ 21
σ2
= 1/ H1 : 1 > 1
σ 22
σ 22
 Ŝ 2

H0 : 1 − α = Pr ob  1 < F1− α (n1 − 1; n 2 − 1) 
2
 Ŝ 2

Règle de décision :
• Si

si



si

• Si
Ŝ 22
Ŝ12
Ŝ12
Ŝ 22
Ŝ12
Ŝ 22
Ŝ12
Ŝ 22
Ŝ12
Ŝ 22
>1
< F1− α (n1 − 1;n2 − 1) H0 acceptée
≥ F1− α (n1 − 1;n2 − 1) H0 rejetée
< 1⇒
Ŝ 22
Ŝ12
>1
≡ F1− α (n2 − 1;n1 − 1)
EchMod3
36/42
Echantillonnage

si



si

Ŝ 22
Ŝ12
Ŝ 22
Ŝ12
M3
≥ F1− α (n2 − 1; n1 − 1) H0 rejetée
< F1− α (n2 − 1; n1 − 1) H0 acceptée
Intervalle unilatéral à gauche : α1 = α
f (F)
α2 = 0
α
1− α
Fα
H0 :
F(n1 − 1; n2 − 1)
σ 21
σ2
= 1/ H1 : 1 < 1
σ 22
σ 22
 2

Ŝ
Si H0 : 1 − α = Pr ob  1 > Fα (n1 − 1; n2 − 1)
2
 Ŝ2

Règle de décision :
• Si

si



si

• Si
Ŝ22
Ŝ12

si



si

Ŝ12
Ŝ22
Ŝ12
Ŝ22
Ŝ12
Ŝ22
Ŝ12
Ŝ22
>1
> Fα (n1 − 1;n2 − 1) H0 acceptée
≤ Fα (n1 − 1;n 2 − 1) H0 rejetée
< 1⇒
Ŝ22
Ŝ12
>1
≡ F1− α (n2 − 1;n1 − 1)
Ŝ22
Ŝ12
Ŝ22
Ŝ12
EchMod3
≤ Fα (n2 − 1; n1 − 1) H0 rejetée
> Fα (n2 − 1; n1 − 1) H0 acceptée
37/42
Echantillonnage
M3
2.5. Test de comparaison de deux proportions
Soit X1 une variable aléatoire. Soient deux modalités dans une population :
A → p( A ) = p1
A → p( A ) = q1 = 1 − p1
Un échantillon est tiré dans la population. La variable X1 associée au tirage d’un individu est
une variable de Bernouilli. La variable Y1 associée au tirage de n1 individus est une variable
binomiale (nombre de fois où A se produit).
(
L
Y1 ≡ B(n1,p1) → N n1p1, n1p1q1

Y
pq 
f = 1 → N p1, 1 1 

n1
n1 

)
Soit X2 une variable aléatoire. Soient deux modalités dans une population :
B → p(B) = p 2
B → p( B ) = q2 = 1 − p 2
Un échantillon est tiré dans la population. La variable X2 associée au tirage d’un individu est
une variable de Bernouilli. La variable Y2 associée au tirage de n2 individus est une variable
binomiale (nombre de fois où B se produit).
L
(
Y2 ≡ B(n2 ,p 2 ) → N n2p 2 , n 2p 2q2

Y
p q 
f = 2 → N p 2 , 2 2 

n2
n2 

)
H0 : p1 = p 2 ⇔ p1 − p2 = 0
H1 : p1 − p 2 = λ

pq
p q
L
F1 − F2 → N p1 − p 2 ; 1 1 + 2 2

n1
n2

Si H0 :
(F1 − F2 ) − 0
p1q1 p 2q2
+
n1
n2




≡ N(0,1)
f (u )
α1+α2=α
α1
α2
1− α
u α1
EchMod3
u1−α 2
u
38/42
Echantillonnage
M3


1 − α = Pr ob uα1 <





F1 − F2
< u1− α 2 

p1q1 p 2q2
+

n1
n2


pq
p q
pq
p q 
= Pr ob uα1 1 1 + 2 2 < F1 − F2 < u1−α 2 1 1 + 2 2 
n1
n2
n1
n2 

p1 → p̂1 = F1
p2 → p̂ 2 = F2
q1 → q̂1 = 1 − F1
q2 → q̂2 = 1 − F2
Or ici on teste
p1 = p 2 = p ? → p̂ = F
q1 = q2 = q ? → q̂ = 1 − F
On prend pour variable aléatoire F :
Y + Y2
F= 1
n1 + n2
L’estimateur F de p̂ est égal à :
n F +n F
F= 11 2 2
n1 + n 2

1
1
1 
1 
 < F1 − F2 < u1−α F(1 − F ) +
 
+
2
 n1 n2 
 n1 n2  
Si H0 : 1 − α = Pr ob uα1 F(1 − F )

Utilisation de F et non pas de F1 et F2
Règle de décision :






si F1 − F2 ∈ uα F(1 − F) 1 + 1 ; u1− α F(1 − F) 1 + 1   H0 acceptée
n

n

2

 1
 1 n2 
 1 n2  




1
1
1 
1 
; u1− α F(1 − F) +
 H0 rejetée
si F1 − F2 ∉ uα1 F(1 − F) +
2
n1 n2 
n1 n2  






Interprétation de l’hypothèse H0 : différence non significative entre les fréquences relatives
observées.
β = Pr ob(accepter H0 / H1 vraie )
H0 : p1 = p 2 ⇔ p1 − p2 = 0
H1 : p1 − p 2 = λ
β = Pr ob[a < F1 − F2 < b / p1 − p 2 = λ]




(
a − (p1 − p 2 )
F1 − F2 ) − (p1 − p 2 ) ba − (p1 − p 2 ) 

β = Pr ob
<
<
 pq
p 2q2
p1q1 p 2q2
p1q1 p 2q2 
1
1

+
+
+

n2
n1
n2
n1
n2 
 n1
EchMod3
39/42
Echantillonnage
M3


 ba − (p 1 − p 2 )
β = F
 p 1q1 + p 2 q 2
 n
n2
1






 a − (p 1 − p 2 )
 − F

 p 1q1 + p 2 q 2

 n
n2
1









p1 → p̂1 = F1
p2 → p̂ 2 = F2
q1 → q̂1 = 1 − F1
q2 → q̂2 = 1 − F2
On remplace p1 et p 2 par leurs estimateurs.
Intervalle bilatéral symétrique : α1 = α 2 = α 2
f (u )
α/2
α/2
1− α
uα / 2
u1−α / 2
H0 : p1 = p2 / H1 : p1 ≠ p 2



Si H0 : 1 − α = Pr ob uα / 2 <



(F1 − F2 ) − 0
1
1 

F(1 − F) +
 n1 n2 
u



< u1−α / 2 



Règle de décision :




si (F1 − F2 ) ∈ ± u α / 2 F(1 − F) 1 + 1   H0 acceptée
n



 1 n2  




1
1 
  H0 rejetée
si (F1 − F2 ) ∉ ± u α / 2 F(1 − F) +
n1 n2  





EchMod3
40/42
Echantillonnage
M3
Intervalle unilatéral à droite : α1 = 0
f (u )
α2 = α
α
1− α
u1−α
u
H0 : p1 = p2 / H1 : p1 > p 2






(
F1 − F2 ) − 0
1 − α = Pr ob 
< u1− α 
1
1 




 F(1 − F ) n + n 

2
 1



 1
1 
 
= Pr ob (F1 − F2 ) < u1− α F(1 − F) +

 n1 n2  
Règle de décision :

1
1 
si (F1 − F2 ) < u1− α F(1 − F ) +
 H0 acceptée

 n1 n2 



1
1 
 H0 rejetée
si (F1 − F2 ) ≥ u1− α F(1 − F ) +
n
n

1
2



Intervalle unilatéral à gauche : α1 = α
f (u )
α2 = 0
α
1− α
uα
u
H0 : p1 = p2 / H1 : p1 < p 2
EchMod3
41/42
Echantillonnage
M3






(
F1 − F2 ) − 0
1 − α = Pr ob 
> uα 
1
1 




 F(1 − F ) n + n 

2
 1



1
1 
 
= Pr ob (F1 − F2 ) > uα F(1 − F ) +

 n1 n 2  
Règle de décision :

 1
1 
si (F1 − F2 ) > uα F(1 − F) +
 H0 acceptée

 n1 n2 



1
1 
 H0 rejetée
si (F1 − F2 ) ≤ uα F(1 − F ) +
n
n

1
2



EchMod3
42/42