corrigé

ConcoursCommun Polytechnique
FiliµerePC
Concours2003 math1
PARTIE1
1a)SiX=(xi)n
i=1etY=(yi)n i=1sontdes¶el¶ementsdeMn;1(R)ona
tXY=tYX=Pn
i=1xiyi
1b)D¶eveloppementsansproblµeme:
¡tXY¢2=(tXY)(tXY)=(tXY)(tYX)calculpr¶ec¶edent
=(tX)¡YtY¢(X)parassocitivit¶e
=(tYX)(tXY)=tY(XtX)Ysym¶etriquement
1c)Onsaitquedansunebaseorthonormale:hX;SYi=tX(SY)
puiscommeSestsym¶etriquetX(SY)=tXtSY=t(SX)Y=hSX;Yi
hX;SYi=hSY;Yi=tXSY
2a)Ona:8X2Mn;1(R);tXS1X¸0ettXS2X¸0etdonc enajoutanttX(S1+S2)X¸0
(S1;S2)2(S+
n(R))2)S1+S22S+ n(R)
2b)idemcarlasommed'un r¶eelpositifetd'un r¶eelstrictementpositifestun r¶eelstrictementpositif.
2c)Ona:8X2Mn;1(R),tX(tAA)X=t(AX)(AX)=hAX;AXi=kAXk2¸0.Etdonc
8A2Mn(R);tAA 2S+
n(R)
3a)SiSX=¸XonatXSX=¸tXX =¸kXk2.DoncsitXSX=0 ona¸=0(carXestnon nuldonckXk6=0)
Sestdoncunematrice diagonalisable(carsym¶etriquer¶eelle)ayantuneuniquevaleurpropre0.Sestdonclamatrice nulle:
S=P:(0):P¡1=(0)
3b)OnveutqueMXsoitorthogonalµa XpourtoutX.c'estunepropri¶et¶e classiquedu produitvectoriel . Ilsu±tde
prendrepourMlamatrice dex¡>i^x
M=0
@
0 0 0
00¡1
0 1 0 1
A
Onv¶eri¯ealorsbientXMX=0
4a)S¶etantsym¶etriquer¶eelle estdiagonalisabledansunebaseorthonorm¶ee (Vi)n
i=1: il existeD=diag(¸k) telleque8k,
SVk=¸kVk
Sitouteslesvaleurspropres sontpositivesona alorspourtoutematrice colonneX=Pn
k=1ykVk
tXSX=hX;SXi=*n
X
k=1
ykVk;
n
X
k=1
¸kykVk+=
n
X
k=1
¸ky2
k¸0
R¶eciproquementsi¸estvaleurpropredeSetXun vecteurpropreasoci¶e.le calculdu 3adonnetXSX=¸kXk2.comme
onsupposetXSX¸0etqueX6=¡! 0 onabien¸¸0
4b)deuxmatrices semblablesontm^emespectre.DoncsiS0estsym¶etriquer¶eellesemblableµa Ssym¶etriquepositiveles
valeurspropresdeS(doncdeS0)sont toutespositivesdoncS0estpositive.
5a)SurSn(R)larelation¸estbien:
²binaire
²r¶e°exive:(0)nestbien positivedoncS1¸S1
²antisym¶etrique:siS1¸S2etsiS2¸S1lesvaleurspropresdeS2¡S1sont toutesµa lafoispositivesetn¶egatives.S2¡S1
estdoncdiagonalisable(carsym¶etriquer¶eel)ayantuneseulevaleurpropre0donc c'estlamatrice nulle. . S2=S1
²transitive:SiS1¸S2etS2¸S3onaS1¡S22S+
n(R)etS2¡S32S+ n(R)doncd'aprµes2alasommeS1¡S32S+ n(R)
etdoncS1¸S3.

5b)il su±tdeprendreS2=0etpourS1unematrice sym¶etriqueayantunevaleurproprepositive etunen¶egative.Exemple
0
@
000
0¡1 0
0011
A
S1¡S2n'estnipositivenipositived'aprµesI4a)
5c)larelation>n'estpasr¶e°exive car(0)n=2S++
n(R)
5d)On peutsedouter(oumontrer)qu'unematrice deS+ +
n(R)adesvaleurspropres strictementpositives.
On prend doncS2=0etS1sym¶etriqueayantdesvaleursproprespositivesetayantlavaleurpropre0.Parexemple
S1=0
@
000
000
0011
AOnaS16=(0)tXS1X=z2¸0etsiX=0 @
x6=0
0
01
AtXS1X=0
6a)question decours.On doitmontrerx2E¸(u))v(x)2E¸(u).Doncu(x)=¸x)u(v(x)) =¸v(x):Or
u(v(x)) =(u±v)(x)
=(v±u) (x)parhypothµesesuruetv
=v(u(x)) =v(¸(x))
=¸v(x)parlin¶earit¶edev
6b)L'endomorphismeinduitparvdiagonalisablesurun sousespace stable estluim^emediagonalisable.Doncl'endomorphisme
viestdiagonalisable etil existeunebasedeE¸i(u)quiestunebasedevecteurspropresdevi.u¶etantdiagonalisableE
estsommedirectedes sousespacespropres.L'union desbasespr¶ec¶edente estdoncunebasedeE.Parconstructionces
vecteurs sontdesvecteurspropresdevetdeu(car¶el¶ementsdes sousespacespropres).Danscettebaseuetvsontdonc
simultan¶ementdiagonalisables.
7a)SiAetBcommutentAetBsontdiagonalisablesaumoyen d'unem^emematrice depassage.On prend laquestion
pr¶ec¶edenteavec A=MatC(u)etB=MatC(v).Pestalorslamatrice depassagedeCµa B.
R¶eciproquementsiAetBson diagonalisablesaumoyen d'unem^emematrice depassage.OnaA=PDP¡1,B=P¢P¡1
(Det¢diagonales)etcommedeuxmatricesdiagonalescommutentAB=BA=P(D¢)P¡1
7b)
Aestderang1etE0(A)estleplan(x+y¡z=0).Parlatrace onen d¶eduitquelatroisiµemevaleurpropre est3puison
trouveE3(A)=Vect0
@
1
1
¡11
A
PourBle calculdu polyn^ome caract¶eristique encommen»cantparexempleparfaireC2+C3¡>C3donnedeux valeurs
propres4(double)et1(simple).Puisle calculdes sousespacespropresdonne:E4(B)estleplan¡2x+y¡z=0et
E1(B)=Vect0
@
1
1
21
A.Onv¶eri¯ealorsqueE1(B)½E0(A),E3(A)½E4(B).LestroisdroitesE1(B);E3(A);E0(A)
\E4(B)sont troisdroitesdevecteursproprescommunsquiengendrentl'espace .Unematrice depassage est:
P=0
@
1 1 0
1 1 1
¡1211
A
remarque: jenepensepasquelepassage parl'endomorphismeinduitparvsurE0(A)soitplus simple
8)S1etS2sontdiagonalisables(sym¶etriquesr¶eels),etcommutent.S1etS2sontdoncdiagonalisablesavec unem^eme
matrice depassage(S1=PDP¡1;S2=P¢P¡1).Cettematrice depassagediagonaliseaussiS1S2=S2S1=PD¢P¡1, la
matrice diagonalesemblableµa S1S2¶etantD¢:S1etS2¶etantpositivesont toutesleursvaleursproprespositives.Lesvaleurs
propresdeS1S2(produitdestermesdiagonaux)sontdoncaussitoutespositivesetS1S2estsym¶etriquepositive.(toujours
4a)
9a)Avec lesnotationspr¶ec¶edentes(S1=PDP¡1;S2=P¢P¡1).On donc¢¡Dpositives.Doncpourlestermes
diagonaux±i¡di¸0etdi¸0.Lafonctioncarr¶ee estcroissantesurR+donc8i,±2
i¸d2
i.¢2¡D2estdoncpositive et
S2
2¡S2 1estunematrice sym¶etriquesemblableµa unematrice sym¶etriquepositivedonc estaussipositive.S2 2¸S2 1(cf4b)
9b)OnaS2¡S1=µ1=2¡1
¡1 2 ¶devaleurspropres0et5=2r¶eelspositifs.Lamatrice estpositive estS2¸S1
S1devaleurspropres0et1doncS1¸0
etS2
2¡S2 1=µ1=4¡2
¡2 7 ¶ded¶eterminant¡9=4.Leproduitdesvaleursestn¶egatif.L'unedesvaleurspropresest
n¶egatives.S2
2¡S2 1n'estpaspositive.
PartieII
1)
a,b: idemI4a
2

S¶etantsym¶etriquer¶eelle estdiagonalisabledansunebaseorthonorm¶ee (Vi)n
i=1: il existeD=diag(¸k) telleque8k,
SVk=¸kVk
Sitouteslesvaleurspropres sontstrictementpositivesona alorspourtoutematrice colonnenon nulleX=Pn
k=1ykVk
tXSX=hX;SXi=*n
X
k=1
ykVk;
n
X
k=1
¸kykVk+=
n
X
k=1
¸ky2
k>0
Ene®etonaunesommedetermespositifs,un aumoins¶etantstrictementpositif.
R¶eciproquementsi¸estvaleurpropredeSetXvecteurpropreasoci¶eonatXSX=¸kXk2.commeonsupposetXSX>0
etqueX6=¡! 0 onabien¸>0
b)c.S¶etantdiagonalisabledansunebaseorthonorm¶ee (sym¶etriquer¶eelle)on peut¶ecrireS=PDtP.avec D=diag(di)
.Parhypothµeseslesdisontstrictementpositifs.On peutdoncd¶e¯nir¢=diag(pdi)quiestinversible carlestermes
diagonauxsontnon nuls.M=¢tPestalorsunesolution du problµeme.
tMM =P¢¢tP=PDtP=S
c)dsiS=tM M avec Minversible,Sestinversible(commeproduitdematricesinversibles)etSestpositived'aprµes
I2c
d)b:SestpositivedonctouteslesvaleurspropresdeSsontpositivesetSestinversibledonc0n'estpasvaleurpropre
deS.LesvaleurspropresdeSsontdoncstrictementpositives.
Onalacha^³nesb)c)d)beta,bdoncl'¶equivalence des4propositions.
2a)Aestbien unematrice sym¶etrique.
SiX=(xi)n
i=1etY=AX=(yj)n
j=1ona:
8
<
:
y1=2x1¡x2
8j2[[2;n¡1]],yj=¡xi¡1+2xi¡xi+1
yn=¡xn¡1+2xn
Onadonc
tXAX=
n
X
i=1
xiyi=2
n
X
i=1
x2
i¡
n
X
i=2
xi¡1xi¡
n¡1
X
i=1
xixi+1
=Ãn
X
i=2
x2
i+x2 1!+Ãn¡1
X
i=1
x2
i+x2 n!¡
n¡1
X
i=1
xjxj+1¡
n¡1
X
i=1
xixi+1
=0
@
n¡1
X
j=1
x2
j+1+x2 11
A+Ãn¡1
X
i=1
x2
i+x2 n!¡2
n¡1
X
i=1
xixi+1
=x2
1+x2 n+
n¡1
X
i=1¡x2
i+1¡2xixi+1+x2 i¢
=x2
1+x2 n+
n¡1
X
i=1
(xi¡xi+1)2
2bpourtoute colonneXonconstatequetXAXestunesommede carr¶edonc estun r¶eelpositif.Depluslasomme estnulle
sietseulementsichaqueterme estnuldoncsietseulementsi8
<
:
x1=0
8i2[[1::n¡1]] , xi+1¡xi=0
xn=0
Touslesxisontdoncnuls.DoncsiX6=(0)tXAXeststrictementpositif.
2c)Avec lamatrice Mdu sujetnotonsS=tMM =(si;j)onaenfaisantleproduit:
8
>
>
<
>
>
:
s1=u2
1
i>1)si=u2
i+v2 i¡1
1·i·n¡1)si;i+1=si+1;i=uivi
jj¡ij>1)si;j=0
On doitdoncr¶esoudrelesystµemenonlin¶eaire
8
<
:
u2
1=2
i>1)u2
i+v2 i¡1=2
1·i·n¡1)uivi=¡1
3

Onadoncvi=¡1
uietenreportantu2
i=2¡1
u2
i¡1
.Soiten posantai=u2
ilasuitehomographique:
½a1=2
ai=2¡1
ai¡1
l'¶equationl=2¡1=ldonneun point¯xedoublel=1.Lasuite1
ai¡1estdoncarithm¶etique.Or
1
ai¡1=1 1¡1
ai¡1
=ai¡1
ai¡1¡1=1+1 ai¡1¡1
d'oµu1
ai¡1=iet
ui=ri+1
i;vi=¡ri i+1
3a)Uestunebase carSestunematrice inversibled'aprµesII1c
3b)C'estlam¶ethoded'orthogonalisation deSchmidt.D¶emonstration par r¶ecurrence
²(V1)estr¶eduitµa un seulvecteurnon nuldonc estunefamilleorthogonaledevecteursnon nuls
²(V1;V2)estunefamilleorthogonaledevecteursnon nulsetVect(V1;V2)=Vect(U1;U2).Ene®et
{p1estlaprojectionorthogonalesurVect(U1)=Vect(V1)doncV2=U2¡p1(U2)estorthogonalµa V1
{siV2¶etaitnul , onauraitU2=p1(U2)2Vect(U1).Absurde car(U1;U2)estlibre
{(V1;V2)estunefamilleorthogonaledevecteursnon nuls,c'estdoncunefamillelibre.
{En¯n Vect(V1;V2)½Vect(U1;U2)parconstruction;etcommelesdeuxfamillesdedeux vecteurs sontlibresil ya
¶egalit¶e.
²Onsupposeque(Vi)k¡1
i=1estunefamilleorthogonaledevecteursnon nulstelsqueVect(Vi)k¡1 i=1=Vect(Ui)k¡1 i=1.Montrons
que(Vi)k
i=1estunefamilleorthogonaledevecteursnon nulstelsqueVect(Vi)k
i=1=Vect(Ui)k i=1.
{parhypothµeseder¶ecurrence on doitseulementmontrerqueVkestun vecteurnon nulorthogonalµa Vect(Vi)k¡1
i=1
puisVect(Vi)k
i=1=Vect(Ui)k i=1.
{Parconstructionpk¡1estlaprojectionorthogonalesurVect(Vi)k¡1
i=1=Vect(Ui)k¡1 i=1doncVk=Uk¡pk¡1(Uk)est
orthogonalµa Vect(Vi)k¡1
i=1
{SiVkestnulalorsUk=pk¡1(Uk)2Vect(Ui)k¡1
i=1etlafamille(Ui)n
i=1estli¶e.Absurde
{En¯n parconstructionVk2Vec(Uk)©Vect(Ui)k¡1
i=1=Vect(Ui)k i=1etVect(Vi)k¡1 i=1=Vect(Ui)k¡1 i=1½Vect(Ui)k i=1
.DoncVect(Vi)k
i=1½Vect(Ui)k i=1.Lesdeuxfamilles¶etantlibresdem^eme cardinal , lesdeuxsousespaces sont
¶egaux.
pourk=nonobtientqueVestunebaseorthogonaledeRn.
3c)Labase estorthonormale caron normeunebaseorthonorm¶ee (etlesd¶enominateurs sontnon nulscarlesVisontdes
vecteursnon nuls)
Parconstruction deVonavuqueVk2Vect(Ui)k
i=1.Lescoordonn¶eesdeVksurUk+1;¢¢¢Unsontdoncnuls.
MatU(V)est triangulairesup¶erieure.Diviserchaque colonneparsanormene changepaslescoe±cientsnuls.MatU(W)
est triangulairesup¶erieure.
3d)notonsBlabase canonique.Ona
M=MatB(U)=MatB(W)MatW(U)=PT
oµuTestl'inversedelamatrice triangulairesup¶erieure construiteµa laquestion pr¶ec¶edente.
Ona alorsS=tMM =tTtPPT.MaisPestlamatrice depassagedeBµa Wtoutesdeuxbasesorthonorm¶ees.DoncP
estorthogonale ettP P =In.IlrestedoncS=tTT
3e)Sion poseµa prioriT=0
@
abc
0de
00f1
Ale calculdonne:
tTT =0
@
a2abac
ab b2+d2bc+de
acbc+dec2+e2+f21
A=0 @
4¡2¡2
020
¡2 0 3 1
A
enr¶esolvantlesystµemeligneparligne etenchoisissantpoura;d;flesracinescarr¶eespositivesonobtient
T=0
@
2¡1¡1
01¡1
0 0 1 1
A
4

OnconstatequeTestinversible etdoncd'aprµesII 1Sestd¶e¯niepositive.
4a)SiX=µx
y¶onatXA0X=by2+2cxydoncy=0 ouby+2cx=0
4b)
²siAestd¶e¯niepositivelesvaleurspropresdeAsontstrictementpositives(cfII 1).Leursomme(latrace)etleur
produit (led¶eterminant) lesontaussi. Onadonca+b>0etab¡c2>0:Onen d¶eduitquea+betabsontstrictement
positifsdoncaetblesont.
²Sia>0etab¡c2>0 onab>c2
a>0doncTr(A)>0etdet(A)>0.Lasomme etleproduitdesvaleurspropres sont
strictementpositifsdonclesvaleurspropres sontstrictementpositives.D'aprµesII 1Aestd¶e¯niepositive.
4c)calculparbloc:
¡xtX0¢µatV
VS0¶µ x X0¶=¡xa+tX0VxtV+tX0S0¢µx X0¶
=xax+xtX0V0+xtVX0+tX0S0S0
=ax2+x(tVX0+tX0V)+tX0S0X0
=ax2+2xtVX0+tX0S0X0cartVX0=tX0Vd'aprµesI1a
=aµx+
tVX0
a¶2
¡1
a¡tVX0¢2+tX0S0X0
=aµx+
tVX0
a¶2
¡1
a¡tX0VtVX0¢+tX0S0X0d'aprµesI1b
=a"µx+
tVX0
a¶2
+1
a2
t
X0¡¡VtV+aS0¢X0#
Onv¶eri¯equetouslesproduitsmatricielsontun senslesmatrices¶etantdetaillescompatibles.
Onen d¶eduitdonc:
²sia>0etaS0¡VtVd¶e¯niepositive,pourtoutematrice colonneX2Mn;1(R)ona³x+tVX0
a´2
¸0et
tX0(aS0¡VtV)X0¸0donctXSX¸0.Deplus sitXSX=0 onaunesommenulleder¶eellespositivesdonc
chaqueterme estnulle.En particuliertX0(aS0¡VtV)X0=0etdoncX0=0caraS0¡VtVestd¶e¯niepositiveon
trouvealorsx=0enreportantdans³x+tVX0
a´2
=0.DoncX6=0)tXSX>0etSestd¶e¯niepositive.
²SiSestd¶e¯niepositivealorsa>0carpourX=µ1
(0)¶,tXSX=ad'aprµesle calculpr¶ec¶edent (avantladivision par
a)etaS0¡VtVestd¶e¯niepositive carpourtoutematrice non nulX02Mn¡1;1(R)
tX0¡aS0¡VtV¢X0=a2tXSX>0en prenantX=µ0
X0¶
4d)
²SiSestd¶e¯niepositivelaquestion pr¶ec¶edentedonneparuner¶ecurrence ¶evidentequetouteslesSisontd¶e¯niespositives
et touslesaipositifspouri<n.En¯n an>0commevaleurpropredelamatrice Snd¶e¯niepositive.
²R¶eciproquementsi les(ai)sont tous strictementpositifsSn=(an)estd¶e¯niepositive.Snestd¶e¯niepositiveset
an¡1>0doncSn¡1estd¶e¯niepositive etpar r¶ecurrence siSi¡1estd¶e¯niepositiveSiestd¶e¯niepositive carai¡1>0.
4e)SiS=0
@
ade
dbf
efc1
Aonaa1=a;V1=µd
e¶;S0
1=µbf
fc¶d'oµu
S2=µab¡d2af¡de
af¡deac¡e2¶
Sestdoncd¶e¯niepositivesietseulementsia>0etS2d¶e¯niepositive.Donc en utilisantII 4bsietseulementsi
a>0;ab¡d2>0etdet (S2)>0 ordet (S2)=(ab¡d2)(ac¡e2)¡(af¡de)2=adet(S)
Sestd¶e¯niepositivesiseulementsia>0,¯¯¯¯
ad
db¯¯¯¯>0,¯¯¯¯¯¯
ade
dbf
efc¯¯¯¯¯¯
>0
5