corrigé

Ecolesupérieuredeplasturgie
Math1problème1
concours2002
PARTIEA
1.a)Soity2Im(u)onapardé…nition del’image:9x2E,y=u(x):Onadoncu(y)=u2(x)=¡! 0caru2=0
Im(u)½Ker(u)
b)Onadoncr=rg(u)·dim(Ker(p)) =p.Orparlethéorèmedu rangr+p=ndonc
r·n=2,p¸n=2
2.a)sin=2onar·1;p¸1etr+p=2.Maisonsaitaussiqueu6=0doncr>0.Commeretpsontdesentiersil
reste(r=p=1)
Pourles sousespacesvectorielsIm(u)etKer(u)onadoncl’égalitédesdimensionsetuneinclusion(1a).Onadonc
Im(u)= Ker(u)
b)Sionconsidèrelafamille(i;j)onadeux vecteursen dimension2:C’estunebasesietseulementsi lafamille estlibre.
Or
xi+yj=0)xu(i)+yu(j)=0encomposantparu
)yj=0caru(i)=u2(j)=0etu(i)=j
)y=0carj6=¡! 0
Enreportantdansl’équationinitialeonobtientx=y=0etlesystème estlibre.
Danscettebase
Mat(i;j)(u)=µ0 1
0 0 ¶
3.a)Commeàlaquestion précédenteonacommepetrsontentiers:0<r·1;p¸2etr+p=3.Laseulesolutionest:
r=1;p=2
b)parhypothèsei=u(k)etu2=0donci2Ker(u).MaisVect(i)estunedroiteinclusedansleplanKer(u).Ilexiste
doncdesvecteursélémentsdeKer(u)¡Vect(i).On peutprendrepourjl’un d’entre euxetparconstruction(i;j)estun
systèmelibredeKer(u)deboncardinal . DoncunebasedeKer(u).En…n k=2Ker(u)donck=2Vect(i;j)donc(i;j;k)
estun systèmelibrede cardinal3=dim(E)doncunebasedeE:
c)
Mat(i;jk)(u)=0
@
001
000
000
1
A
PARTIEB
1.a)Le calculdu produitdesdeuxmatricesdonnentJ2=(0)doncv2=0
b)One¤ectueun pivotdeGauss ,ouon poselesystèmelinéaireJX=0.Lenoyau deJestl’hyperplanx¡y¡z=0
dontunebase est0
@0 @
1
1
0
1
A;0 @
1
0
1
1
A1 A.L’imagedeuestengendréparlesvecteurscolonnes.Ils sontproportionnels
Im(u)=Vect0
@
¡1
¡2
1
1
A
c)Onretrouvelamatrice du A3:On prend donck=2Ker(u),i=u(k)etj2Ker(u)¡Vect(j).Parexemple:
k=0
@
1
0
0
1
A;i=0 @
¡1
¡2
1
1
A;j=0 @
1
1
0
1
A

2.a)SoitM=I+mJetN=I+nJonaMN=(I+mJ)(I+nJ)=I+mJ+nJ+mnJ2=I+(m+n)JcarJ2=0.
DoncMNestbien un élémentde¢.
b)D’aprèsle calculprécédentM(I¡mJ)=Iet(I¡mJ)M=IdoncMestinversible etM¡12¢.
¢estdoncun sousensemblenonvidedeGL3(R)stableparproduitetpassageàl’inverse.Donc¢estun sousgroupe
multiplicatifdeGL3(R).
DeplusÁ:m!(I+mJ)estuneapplication deRdans¢véri…ant:
²Áestun morphisme:Á(m)Á(n)=Á(m+n)d’aprèslepremiercalcul
²Áestsurjectivepardé…nition de¢
²Áestinjective:Á(m)=Á(n))I+mJ=I+nJ)(m¡n)J=0)m=ncarJ6=(0)
¢estun groupemultiplicatifisomorpheà(R;+)
c)IetJétantnon nulsetnon proportionnelsformentun systèmelibre.LacombinaisonlinéaireI+mJnepeutdonc
pasêtrelamatrice nulle(0).
¢n’estpasun sousespace vectorieldeM3(R)
3.a)SoitX=I+xJunematrice de¢véri…antX2=Monadonc2x=mdoncx=m=2
Dans¢X2=Madmetuneuniquesolution
b)OnaP¡1MP=P¡1IP+mP¡1JP=I+m0
@
001
000
000
1
Apardé…nition deP.Donc
P¡1MP=0
@
10m
0 1 0
0 0 1
1
A=N
c)OnaY2=P¡1XPP¡1XP=P¡1X2P=P¡1MP=N
d)OnaYN=NY=Y3defaçonévidente.Or
YN=0
@
abma+c
demd+f
ghmg+i
1
AetNY=0 @
a+mgb+mhc+mi
def
ghi
1
A
Enregardantlapremièreligne etladernière colonneonacommem6=0:g=0;h=0;a=i;d=0;g=0Soit
Y=0
@
abc
0ef
00a
1
A
e)L’équationY2=Nconduitalorsàrésoudre:
0
@
a2b(a+e)2ac+bf
0e2f(a+e)
0 0 a2
1
A=0 @
10m
0 1 1
0 0 1
1
A
onadonca=§1;e=§1;c=(m¡bf)=2aetsia+e6=0b=f=0
Y=§0
@
1 0 m=2
0 1 0
0 0 1
1
AouY=§0 @
1bm¡bf
2
0¡1f
0 0 1
1
Ao
Lapremièresolutionestcellequiestdans¢(ousonopposé).Onvéri…equelesautresmatrices sontaussisolutions.
f)OnalorsX=PYP¡1
X-ESPCI2002-…lièrePC-deuxième composition.
2

Premièrepartie
Notations:C=(Ei)1·i·ndésignelabase canoniquedeRnetsiA2Mn(R),on notediag(A)=(a11;a22; :::; ann)ladiagonale
deA.
On noteul’endomorphismedeRncanoniquementassociéàA;c’est-à-diretelqueA=MatC(u)
Lesujetcomporteun abusdenotationclassique enmultipliantunematrice (A)parun vecteur.C’estl’identi…cation usuel
d’unematrice colonne etd’un vecteurdeRn.L’introduction deupermetdefaciliterlarédactionenévitant trop d’abusde
ce type.
On utiliserasouventlefaitruesiAetBsontsemblablesalorspourtoutscalaire®A+®IetB+®Isontaussisemblable:
A=PBP¡1)(A+®I)=P(B+®I)P¡1
1.
a)Raisonnementparl’absurde:onsupposequetoutvecteurnon nuldeRnestvecteurpropredeu:
En particulier:8i2[1::n]9¸i2Ru(Ei)=¸iEi:EnécrivantqueX=Ei+Ejestaussivecteurpropre,on
obtient:u(X)=¹Xsoit¹(Ei+Ej)=¸iEi+¸jEj:Pourtouslesi;jtelsquei6=j;on déduit¹=¸i=¸jcar
(Ei;Ej)estlibre.Ainsi¸1=¸2=::: =¸nquiprouvequeAestscalaire.
Remarque:C’estl’idée classique quesipourunendomorphismeutoutvecteurestliéavec sonimage alorsl’endomorphisme
estunehomothétie.
1.b)Unematrice BestB=MatC0(u)oùC0=(E0
k)1·k·nsedéduitdeCparl’échangedeEietEjc’est-à-dire
E0
i=Ej;E0 j=Ei;E0 k=Eksik=2fi;jg:
Deuxièmepartie
2.A2Mn(R)tellequetr(A)=0:
a)SiA6=0;Anepeutêtrescalaire(cartr(¸I)=n¸=0=)¸=0).D’après1.a),il existeX12RntelqueX1et
X2=A=u(X1)sontliés.Oncomplète ensuitelafamillelibre(X1;X2)en unebasedeRn:
b)Onconsidère:P(n):“toutematrice A2Mn(R)tellequetr(A)=0estsemblableàunematrice dediagonale
nulle”.
P(1)étantévidente,
P(2)estvrai : D’aprèslea)il existeunebase(X1;X2)tellequedanscettebaseu(X1)=X2onadonc
Mat(X1X2)(u)=B=µ0a
1b¶
etAestdoncsemblableàcettematrice.Ordeuxmatrices semblablesontmêmetrace doncb=0.Onabienle
résultatvoulu.
hérédité:onsupposequeP(n¡1)estvraiepourun entiern¸3eton démontreP(n):
Soitunematrice A2Mn(R)detrace nulle.OnsupposeA6=0(pourA=0;lerésultatestimmédiat) eton
considèreX=(X1;X2:::; Xn)unebasedeRntelqueu(X1)=X2:Alors
A0=MatX(u)=µ0L1
C1A1¶
oùC1=0
B
B
B
@
1
0
.
.
.
0
1
C
C
C
A2Mn¡1;1(R),L12M1;n¡1(R)estunematrice ligne etA12Mn¡1(R):Lesmatrices semblables
AetA0ontmêmetrace,àsavoir:0=tr(A)=tr(A0)=tr(A1):
Onapplique ensuiteP(n¡1)àlamatrice A1:il existeP2GLn¡1(R)tellequeP¡1A1P=B1oùdiag(B1)=
(0;0; :::; 0)n¡1.
Lamatrice àblocsdiagonauxQ=µ1 0
0P¶estinversible etQ¡1=µ1 0 0P¡1¶:
Parproduitdesblocs,onvéri…equeQ¡1A0Q=Bs’écritB=µ0L2
C2B1¶oùL2=L1PetC2=P¡1C1:La
matrice Bétantàdiagonalenulle,P(n)estdémontrée.
3.
3

a)A=µ·1 0
0¡1¸¶detrace nulle.½u(E1)=E1 u(E2)=¡E2donc½E0
1=E1+E2
E0
2=E1¡E2véri…ent
B=Mat(E0
1;E0 2)(u)=µ0 1
1 0 ¶
b)Demême,A=0
@2 4
1 0 0
0 0 0
00¡1
3
51 AconduitàB=Mat(E0
1;E0 2;E0 3)(u)=0
@2 4
001
000
100
3
51 Aavec 8
<
:
E0
1=E1+E3
E0
2=E2
E0
3=E1¡E3
4.SoitAnonscalaire ett=tr(A):
Lamatrice A0=A¡tIn’estpas scalaire et,comme en2.a),il existeunebaseX=(X1;X2:::; Xn)deRntelque
A0X1=X2ce quiprouvequeA0estsemblableàA0
0=MatX(u¡tId)=µ0L1
C1A1¶où
C1=0
B
B
B
@
1
0
.
.
.
0
1
C
C
C
A2Mn¡1;1(R),L12M1;n¡1(R)etA12Mn¡1(R):
Enconséquence,AestsemblableàA0
0+tI=µtL1
C1B1¶oùB1=A1+tIn¡1ett=tr(A)=tr(A0
0+tI)=t+tr(B1)
livretr(B1)=0:Onapplique ensuitelaquestion2àlamatrice B1detrace nulle:ainsi, B1estsemblableàune
matrice B22Mn¡1(R)tellequediag(B2)=(0;0;:::;0)n¡1:IlenrésultequeAestsemblableàunematrice delaforme
B=µtL2
C2B2¶dontladiagonale est(t;0; :::; 0)noù
t=tr(A)=
n
P
i=1
aii
.
5.SoitA2Mn(R)n f0g:
²1ercas:t=tr(A)6=0.Lamatrice A0=A¡t
nIétantdetrace nulle,onlasait(d’après2.)semblableàune
matrice B02Mn(R)tellequediag(B0)=(0;0; :::; 0)et,parsuite,AestsemblableàB=B0+t
nIdontladiagonale
estµt
n;t n; :::; t n¶:
²2mecas:t=tr(A)=0.
Dansce casAn’estpas scalaire(carA6=0):Enappliquantlaméthodedelaquestion4 à A¡Ionmontre
queAestsemblableàµ1L1
C1B1¶,avec tr(B1)=¡1.B1estdoncsemblableàunematrice B2telleque
diag(B2)=³¡1
n¡1;¢¢¢;¡1 n¡1´d’aprèslepremiercas.Aestdoncsemblableàµ1L2
C2B2¶solution du problème.
4