sujet

La présentation,lalisibilité,l’orthographe,laqualitédelarédaction,laclarté etla précisiondesraisonnementsentreront
pourunepartimportantedansl’appréciationdescopies.
Lescandidats sontinvitésàencadrerdanslamesuredupossiblelesrésultatsdeleurscalculs.
Ilsnedoiventfaireusage d’aucundocument;l’utilisationdetoute calculatrice etdetoutmatérielélectronique estinterdite.
Seulel’utilisationd’unerègle graduée estautorisée.
²L’objetdu problème estl’étude,danscertainscas,des sous-espaces stablesparun endomorphismed’un espace vectoriel.
²Danstoutleproblème,onconsidèreun entiernaturelnnon nuleton noteEleR-espace vectorielRn.
²On note0ElevecteurnuldeEetIdEl’endomorphismeidentitédeE.
²On diraqu’un sous-espace vectorielFdeEeststableparun endomorphismefdeE(ouqueflaissestableF)si
l’inclusionf(F)½Festvéri…ée.
²On noteR[X]l’espace vectorieldespolynômesàcoe¢cientsréelset,pourtoutentiernaturelk,on noteRk[X]le
sous-espace vectorielforméparlesélémentsdeR[X]quisontdedegréinférieurouégalàk.
²Sifestun endomorphismedeEon pose
f0=IdE;f1=f;f2=f±f;f3=f±f±f;etc:
²Sifestun endomorphismedeEetsi
P=
n
X
k=0
akXk
estun élémentdeR,onrappellequ’on noteP(f)l’endomorphismedeEégalà
P(f)=
n
X
k=0
akfk:
PARTIE1
Préliminaires
SoitBunebasedeE:Soitfun endomorphismedeEdematrice AdanslabaseB.
1.
a)Montrerquesifetgsontdeuxendomorphismesquicommutent, lenoyau, l’image etles sousespacespropresdeg
sontstablesparf.
b)SoitPun élémentdeR[X].Montrerquelesous-espace vectorielkerP(f)eststableparf.
2.
a)MontrerquelesdroitesdeEstablesparfsontexactementcellesquisontengendréesparun vecteurproprede
l’endomorphismef.
b)SoitÁuneformelinéairenon nulledematrice LdansabaseB.MontrerqueH= Ker(Á)eststableparfsiet
seulementsitLestun vecteurpropredetA.
b)On noteB=(e1;e2;e3)labase canoniquedeR3etonconsidèrel’endomorphismegdeR3dontlamatrice dansla
baseBest
B=0
@
110
011
002
1
A:
Déterminer(en donnantunebase) tousles sousespaces stablesdeg.
3.Soitpun entiernaturelnon nul.
a)SiF1;:::;Fpsontpsous-espacesvectorielsdeEstablesparf,montrerqu’alorslasommePp
k=1Fkestun sous-espace
vectorielstableparf.
b)Si¸1;:::;¸psontpvaleurspropresdefetsin1;:::;npsontpentiersnaturels,montrerqu’alorslasomme
p
X
k=1
ker(f¡¸kIdE)nk
eststableparf.

4.
a)Soit¸un réel. Véri…erqueles sous-espacesvectorielsdeEstablesparun endomorphismefsontexactementceux
quisontstablesparl’endomorphismef¡¸IdE.
b)Quel lieny-a-t-il entreles sous-espacesvectoriels stablesparun endomorphismefetceux quisontstablespar
l’endomorphismef2?
c)Quel lieny-a-t-il entreles sous-espacesvectoriels stablesparun automorphismefetceux quisontstablespar
l’endomorphismef¡1?
d)Quedired’un endomorphismedeElaissantstabletoutsous-espace vectorieldeE?
e)Donnerun exempled’endomorphismedeR2nelaissantstablequelesous-espace vectorielréduitauvecteurnulet
l’espace R2.
PARTIE2
Le casoùl’endomorphisme estdiagonalisable
Danscettepartie,onconsidèreun endomorphismefdeEdiagonalisable eton note¸1;:::;¸psesvaleurspropresdistinctes
etE1;:::;Eples sous-espacesproprescorrespondants.
1.Quediredes sous-espacesvectorielsdeEstablesparfsip=1?
2.Onsupposel’entierpaumoinségalà 2.Onconsidèreun sous-espace vectorielFdeEstableparfetun élémentxde
F.
a)Justi…erl’existence d’un unique élément(x1;x2;:::;xp)deQp
k=1Ekvéri…antl’égalité:
x=
p
X
k=1
xk:
b)MontrerquelevecteurPp
k=2(¸k¡¸1)xkestélémentdeF.
c)Montrerquelesvecteursx1;:::;xpsont tousdansF.
3.Déduiredelaquestion précédentequeles sous-espacesvectorielsdeEstablesparfsontexactementles sous-espaces
vectorielsdelaformePp
k=1Fkoù,pourtoutentierkvéri…antlesinégalités1·k·p,Fkestun sous-espace vectoriel
deEk.
4.Montrerquel’endomorphismeinduitparfsurl’un deses sous-espacesvectoriels stablesFestun endomorphisme
diagonalisabledeF.
5.Donnerune condition nécessaire etsu¢santeportantsurlesvaleurspropresdefpourqueEpossèdeun nombre…nide
sous-espacesvectoriels stablesparf.Quelestalorsce nombre?
PARTIE3
Le casoùl’endomorphisme estnilpotentd’ordren
On note0l’endomorphismenuldeEetonconsidèreun endomorphismefdeEnilpotentd’ordren,c’est-à-direvéri…antles
conditions:
fn=0etfn¡16=0:
1.On noteDl’endomorphismedeRn¡1[X]quiàtoutpolynômePassocieson polynômedérivéP0.
a)Véri…erqueDnestnilpotentd’ordren.
b)Véri…erqueles sous-espacesvectorielsdeRn¡1[X]stablesparDsont,en dehorsdu sous-espace vectorielréduitau
polynômenul, lesnsous-espacesvectoriels suivants:
R0[X];R1[X];:::;Rn¡1[X]:
2.
a)Etablirqu’il existeunebaseB=(e1;e2;:::;en)deEdanslaquellelamatrice Adefest
A=
0
B
B
B
B
B
B
B
@
01 0¢¢¢ 0
.
.
.0.......
.
.
.
.
....1 0
.
.
.0 1
0¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ 0
1
C
C
C
C
C
C
C
A
2

Aestdonclamatrice dontle coe¢cientdelaligneietdelacolonnej(1·i·n;1·j·n)vaut1sij=i+1et0
sinon.
b)Montrerquelamatrice Aestsemblableàlamatrice Bsuivante
B=
0
B
B
B
B
B
B
B
@
0 1 0 ¢ ¢¢ 0
.
.
.0 2 ....
.
.
.
.
.......0
.
.
.0n¡1
0¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ 0
1
C
C
C
C
C
C
C
A
Bestdonclamatrice dontle coe¢cientdelaligneietdelacolonnej(1·i·n;1·j·n)vautisij=i+1et0
sinon.
c)Déterminer(en donnantunebase)les sous-espacesvectorielsdeEstablesparf.
PARTIE4
Le casoùl’endomorphisme estnilpotentd’ordre2
Danscettepartieonconsidèreun endomorphismefdeEnilpotentd’ordre2,c’estàdireun endomorphismenon nuldeE
telquef±festl’endomorphismenul.
1.Onconsidèreun sous-espace vectorielF2deEvéri…ant
F2\kerf=f0Eg:
a)Justi…erl’inclusion:
f(F2)½kerf:
b)Onconsidèredeplusun sous-espace vectorielF1dekerfcontenantf(F2).MontrerquelasommeF1+F2estdirecte
etque c’estun sous-espace vectorieldeEstableparf.
c)ÉtantdonnéA;B;Ctrois sous-espacesvectorielsdeE,établirl’inclusion:
(A\C)+(B\C)½(A+B)\C:
A-t-on nécessairementl’égalité?
d)Déterminerl’intersection
(F1+F2)\kerf:
2.Réciproquementonconsidèreun sous-espace vectorielFdeEstableparf.On poseF1=F\kerfetonconsidèreun
sous-espace vectorielF2supplémentairedeF1dansF.
Véri…erl’inclusionf(F)½F1.
3.Danscettequestion,onsupposequel’entiernestégalà 4 (i.e.E=R4)etonconsidèrel’endomorphismehdeE
dontlamatrice danslabase canoniqueB=(e1;e2;e3;e4)deR4estlamatrice Msuivante
M=
0
B
B
@
1100
0100
0021
0002
1
C
C
A
a)Véri…erqueles sous-espacesvectoriels
G1=ker(h¡Id)2etG2=ker(h¡2I)2
sontsupplémentaires.
b)Montrerqueles sous-espacesvectoriels stablesparhsontexactementles sommesH1+H2oùH1(resp.H2)estun
sous-espace vectorieldeG1(resp.G2.)stableparh.
c)Déterminer(en donnantunebase)les sous-espacesvectorielsdeEstablesparh.
PARTIE5
Existence d’un planstableparun endomorphisme
3

Soitfun endomorphismenon nuldeE.Onsupposeran¸2:
1.a)Justi…erl’existence d’un polynômenon nulàcoe¢cientsréelsannulantf.
b)En déduirel’existence d’un uniquepolynômenon nulunitaire(coe¢cientdominantégalà 1)àcoe¢cientsréelsde
plusbasdegréannulantf.Cepolynôme estnotéM:
c)quepeut-on diredefsiMestun polynômededegré1:
2.Montrerque¸estvaleurpropredefsietseulementsi¸estracinedeM:
3.Danscettequestion,onsupposequelepolynômeMestdivisibleparun polynômedu second degréàcoe¢cientsréels
notéX2+bX+cavec b2¡4c<0
a)Montrerquel’endomorphismef2+bf+cIdEn’estpasinjectif.
b)En déduirequ’il existeun plan deEstableparf.
4.Danscettequestion,onsupposequ’il existeun réel¸etun entierpaumoinségalà2véri…antl’égalité:M=(X¡¸)p
.On poseg=f¡¸IdE:
a)Montrerqu’il existeun vecteurxdeEtelquelafamille
¡x;g(x);:::;gp¡1(x)¢
estlibre.
b)En déduirequ’il existeun plan deEstableparf.
5.Montrerque,danstouslescas, il existeun plan deEstableparf.
6.On noteB=(e1;e2;e3;e4)labase canoniquedeR4etonconsidèrel’endomorphismegdeR4dontlamatrice dansla
baseBest
A=
0
B
B
@
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
¡1000
1
C
C
A
a)CalculerA4
b)DéterminerlepolynômeMassocié.
c)Calculerun planstableparg:(En donnerun base)
4