Les ondes progressives

TSiris
Physique appliquée / Lycée Renaudeau- Lycée de l’Hyrôme
T.Langevin
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Les ondes progressives
(Complément du thème VI sur la transmission)
1-Introduction
Jetons un pavé dans la mare, que se passe-t-il ?
Il y a une déformation que nous supposerons élastique du milieu à l’endroit de
l’impact et on observe une onde circulaire qui se déplace en direction des bords.
Cette déformation en mouvement s’appelle un ébranlement.
Une vague est donc un ébranlement qui peut-être modélisé mathématiquement.
Si on considère que le milieu est non dispersif (pas de dissipation d’énergie au cours
du déplacement) la formulation mathématique reste accessible mais nous devrons
quand même introduire une fonction de deux variables : le temps et la position.
2- Expression mathématique d’un ébranlement
On se place dans le cas d’un ébranlement %(x,t) dans un milieu non dispersif. On se
limite ici au cas d’une onde transversale qui se déplace vers la droite.
A t = t0, imaginons prendre une photographie. L’ébranlement peut être explicité par
la fonction f(x) pour x
[
]
0, 1
xx
.
Au temps t, l’onde partie de x = x0se retrouve à la position x = x0+v.t. Si nous
reprenons une photographie, nous retrouvons l’ébranlement inchangé.
On ne peut pas le décrire au temps t par la fonction f(x) car x
[
]
0, 1
xx
,mais puisque
l’on remarque qu’il est identique à ce qu’il était v.t mètres plus tôt, alors nous
pouvons le décrire par la fonction f(x - v.t). Nous faisons une simple translation au
niveau des abscisses pour revenir dans le domaine de validité de la fonction f(x)
c'est-à-dire
[
]
0, 1
xx
.
%(x,t)
x
f(x – v.t)
x
0
X
l = (x – x0) = v.t
f(
x
)
x1

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On peut également remarquer que
0
0
xx
v
tt
=
qui se met sous la forme : x – v.t = x0–v.t0
On observe donc l’invariance du terme x – v.t qui signifie que les variables de
l’espace et du temps, x et t, ne sont pas indépendantes.
L’ébranlement 7(x,t) est une onde progressive qui se déplace dans son milieu ( ici
l’eau de la mare ) à la vitesse v.
7(x,t0) = f(x) ……….photographie au temps t=t0.
7(x,t) = f(x - v.t) …...photographie au temps t.
(x – v.t) représente la phase de l’onde progressive et v la vitesse de phase.
La vitesse de phase dépend de la nature du milieu où se déplace l’onde ( si l’on
remplace l’eau de la mare par de l’huile…on change la vitesse de phase ).
Dans le cas de notre mare, si nous prenons l’origine des x au point d’impact de la
pierre, on observe une onde qui se déplace vers la droite ( x>0 ) et une autre vers la
gauche ( x<0 ). Dans ce dernier cas, l’expression de l’onde progressive sera une
fonction de la forme 7(x,t) = g(x + v.t).
L’expression complète de notre onde transversale est donc :
7(x,t) = K1 f(x - v.t) + K2 f(x + v.t).
3- Equation de propagation d’une onde progressive (
pour aller plus loin
)
L’onde progressive lors de sa propagation vers la gauche ou la droite vérifie
l’équation différentielle aux dérivées partielles :
22
22
².v
tx
=
en effet, supposons que 7(x,t) = f(x - v.t) = A sin(k(x - v.t)).
k , constante qui permet de conserver l’argument du sinus sans
dimension, s’exprime en
1
m
:c’est le nombre d’onde.
Nous avons
2
2
t
=
A k² v² sin(k(x - v.t)) et
2
2
x
=
Ak² sin(k(x - v.t))
D’où
2
2
2
2
²
t
v
x
=
on retrouve notre équation différentielle

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Cette équation différentielle est également à l’origine de l’équation des
télégraphistes, pionniers de la transmission. On la retrouve dans les problèmes de
propagation d’ondes électromagnétiques (le champ électrique et le champ
magnétique obéissent à cette équation), dans la propagation d’une onde sonore,
dans les problèmes de corde vibrante ..etc..
La vitesse de propagation de l’onde qui apparaît dans l’équation dépend des
caractéristiques du milieu. Pour une onde électromagnétique dans le vide, par
exemple,
1
0. 0
v
µ
=
0
permittivité du vide et
0
µ
perméabilité du vide.
4- Cas d’une onde progressive sinusoïdale monochromatique
Afin de simplifier notre étude nous prenons une onde de type sinusoïdal qui se
déplace vers la droite. Cette onde correspond bien sur à un milieu non dispersif.
7(x,t) = f(x - v.t) = 70sin(k(x - v.t))
Notre onde progressive possède deux qualités importantes :
-une période spatiale appelée longueur d’onde et notée E.
-une période temporelle notée T.
4-1- Longueur d’onde (période spatiale)
On fixe le temps dans l’expression de f(x - v.t) à t0et on cherche la valeur Gx
qui, ajoutée à x1,permet de retrouver la même valeur de la fonction d’onde.
Rappelons que k est le nombre d’onde et correspond au nombre de périodes
spatiales par unité de longueur.
Photographie de l’onde progressive au
temps t
0
(x variable et t constant).
7(x1, t0) = f(x1-v. t0) = 70sin (k(x1-v. t0))
7(x1+Gx, t0) = 70sin(k(x1+Gx - v. t0))
=70sin(k.Gx + k(x1-v. t0)) = 7(x1, t0)
Pour que cette égalité soit effective il faut que :
k.Gx = 2
m
avec
*
m
Pour
1
m
=
on a : k.Gx =
2
D’où Gx =
2
k
cette valeur correspond à la la
longueur d’onde E.
E=
2
k
Een m
k
en m
-1

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4- 2- Période (période temporelle)
On fixe maintenant la position dans l’espace comme un pécheur qui fixe du
regard son bouchon qui oscille. Dans l’expression de f(x - v.t) on fixe la position x à
x0et on cherche la valeur Gtqui, ajoutée à t, permet de retrouver la même valeur de
la fonction d’onde. Ceci revient à mesurer la période d’oscillation du bouchon du
pécheur.
En remplaçant k par
2
dans l’expression de T, il vient :
.
vT
=
On remarque bien maintenant la dépendance des variables de temps et d’espace.
4- 3- Expression mathématique d’une onde progressive sinusoïdale
En utilisant les relations précédentes nous pouvons exprimer notre onde
progressive sinusoïdale sous les formes suivantes :
7(x,t) = 70sin(k(x - v.t))
7(x,t) = 70sin(
2
(
xt
T
))
Biblio : Physique générale 2 ( Renaud, Silhouette, Fourme ) Collection Académic Press
Les ondes et la propagation ( Loualiche ) INSA de Rennes
Le péchou dans la mare ( voisin ) Collection Au bord du lac
7(x0,t) = f(x0-v. t) = 70sin (k(x0-v. t))
7(x0,t+Gt) = 70sin(k(x0-v. (t + Gt))
=70sin(-k.v.Gt + k(x0-v. t)) = 7(x0,t)
Pour que cette égalité soit effective il faut
que :
k.v.Gt = 2
m
avec
*
m
Pour
1
m
=
on a : k.v.Gt =
2
D’où Gt =
2
.
kv
cette valeur correspond à la
période temporelle T de l’onde.
T =
2
.
kv
Représentation de l’onde progressive au
point x
0
(t variable et x constant).
Ten s
k
en m-1
v en m.s-1

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5- Spectre complet des ondes électromagnétiques (O.E.M dans le vide à la vitesse c = 3 108m.s-1)
f (Hz)
22
10
20
10
18
10
16
10
14
10
12
10
10
10
08
10
04
10
06
10
7(m)