Corrigé. - Mathématiques

Exercices corrig´es, tome 02 : les corrections
Table des mati`eres :
1. Continuit´e, p.2.
2. D´erivabilit´e, p.6.
3. Equations diff´erentielles, p.17.
4. Fonctions de plusieurs variables, p.20.
5. Matrices, p.21.
6. Syst`emes lin´eaires, p.26.
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1 Continuit´e
Exercice 1 (+) (limites, prolongement par continuit´e)
1. La fonction uest continue sur ] −1,1[, en tant que quotient de fonctions continues dont le
d´enominateur ne s’annule pas.
On remarque qu’il est inutile de chercher si uest continue en dehors de cet intervalle, puisqu’elle
n’est d´efinie que sur ]−1,1[ ! (il faut lire l’´enonc´e).
2. M´ethode : pour savoir si uadmet un prolongement par continuit´e en 1, il faut d´eterminer si u
a une limite finie en 1(ici, en 1−).
On a : lim
x→1−u(x) = +∞donc un’est pas prolongeable par continuit´e en 1.
. M´ethode :
Pour la limite en −1, on a une forme ind´etermin´ee car les deux polynˆomes s’annulent en −1.
On les factorise alors par (x+ 1) puis on simplifie.
lim
x→−1+u(x) = lim x→−1+
(x+ 1)x(x−4)
(x+ 1)(x−1) = lim
x→−1+
x(x−4)
(x−1) =5 2.
Donc uest prolongeable par continuit´e en −1, il faut poser u(−1) = 5
2.
Exercice 2 (+) (th´eor`eme de la bijection)
M´ethode : Pour justifier l’existence de l’application r´eciproque il faut utiliser le th´eor`eme de la bijec-
tion. Il faut donc prouver que fest continue et strictement monotone sur [0,1].
fest d´erivable sur [0,1] et : ∀x∈[0,1], f0(x) = 4x3−4x= 4x(x2−1) <0 donc fest strictement
d´ecroissante sur [0,1].
M´ethode : Pour connaitre facilement le signe de f0(x)il suffisait de FACTORISER.
De plus f(0) = 0 et f(1) = −1 et fest continue sur [0,1].
D’apr`es le th´eor`eme de la bijection, fr´ealise une bijection de [0,1] sur f([0,1]).
Pour d´eterminer f([0,1]), puisque fest continue et d´ecroissante, on a :
f([0,1]) = [f(1), f(0)] = [−1,0].
Ainsi fadmet une bijection r´eciproque f−1: [−1,0] →[0,1].
De plus la fonction f−1est continue et strictement d´ecroissante sur [−1,0].
Exercice 3 (++) (Th´eor`eme des Valeurs Interm´ediaires)
Rappel : [0,1] stable par f⇔f([0,1]) ⊂[0,1] ⇔ ∀x∈[0,1], f(x)∈[0,1].
M´ethode :
1. On a une fonction continue, une ´equation qui doit avoir au moins une solution..., ¸ca sent le TVI...
2. Au lieu de lire ” f(c) = √c, il faut lire ”f(c)−√c= 0”.
On pose donc g(x) = f(x)−√x. Alors g(0) = f(0) ≥0 et g(1) = f(1) −1≤0, de plus gest continue
donc, d’apr`es le TVI, il existe c∈]0,1[ tel que g(c) = 0. On a alors f(c) = √c.
Remarque : Chaque fois que l’on utilise un th´eor`eme (ici, le TVI), on donne son nom et on en v´erifie
toutes les hypoth`eses.
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Exercice 4 (++) (th´eor`eme de la bijection)
1. On remarque que ∀x∈R, ex+e−x6= 0.
Ainsi fest d´erivable sur Ret : ∀x∈R, f0(x) = 4
(ex+e−x)2>0.
Donc fest strictement croissante et continue. D’apr`es le th´eor`eme de la bijection, fest une
bijection de Rsur J=f(R).
Ainsi fadmet une fonction r´eciproque f−1qui est d´efinie, continue, et strictement croissante
sur J=f(R). De plus f(R) =] lim
−∞ f, lim +∞f[=] −1,1[.
2. M´ethode pour d´eterminer f−1:
On fixe y∈]−1,1[ et on r´esout l’´equation f(x) = y(d’inconnue x).
Soit y∈]−1,1[. On raisonne par ´equivalence :
f(x) = y⇔ex−e−x=y(ex+e−x)⇔(1 −y)ex= (1 + y)e−x
⇔e2x=1 + y
1−y⇔2x= ln 1 + y 1−y⇔x=1 2ln 1 + y 1−y
Ainsi on a : ∀y∈]−1,1[, f−1(y) = 1
2ln 1 + y 1−y= ln r1 + y 1−y.
Exercice 5 (++) (continuit´e sur un segment)
Pour x∈[1,2] on pose g(x) = h(x)
x.
Alors gest continue sur le segment [1,2], comme quotient de fonctions continues dont le d´enominateur
ne s’annule pas.
On applique le th´eor`eme de continuit´e sur un segment, qui permet d’affirmer que gest born´ee et
atteint ses bornes. Ainsi il existe c∈[1,2] et d∈[1,2] tels que :
∀x∈[1,2], g(c)≤g(x)≤g(d).(E)
(autrement dit gatteint son minimum en cet son maximum en d)
On pose k1=g(c) et k2=g(c). Puisque hest strictement positive, gl’est aussi donc k1>0 et
k2>0.
De plus, en multipliant par xdans l’encadrement (E) (on peut car x > 0), on obtient :
∀x∈[1,2], k1x≤h(x)≤k2x .
Exercice 6 (++)
Soit fune fonction continue v´erifiant : ∀x∈R,|f(x)|=|x|.
Alors : ∀x∈R, f(x) = −xou f(x)=+x.
Mais fest continue donc on n’ a que quatre fonctions qui v´erifient ce que l’on veut :
.f:x7→ x;
.f:x7→ −x;
.f:x7→ f(x) = −xsi x≤0, f(x)=+xsi x > 0 ;
.f:x7→ f(x) = +xsi x≤0, f(x) = −xsi x > 0.
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Exercice 7 (++) (th´eor`eme des valeurs interm´ediaires)
M´ethode : On a une fonction continue, une ´equation qui doit avoir au moins une solution..., ¸ca sent
le TVI...(on a d´ej`a dit ¸ca, non ?)
Vu l’´equation, on s’int´eresse `a la fonction : g(x) = f(1 + x)−f(x)−5.
Il faut montrer que gs’annule sur [0,1].
gest d´efinie si 1 + x∈Dfet x∈Df, c’est `a dire si x∈[0,1].
gest continue sur [0,1] ;
g(0) = f(1) −f(0) −5 = f(1) −5;
g(1) = f(2) −f(1) −5=5−f(1) = −g(0)
Donc g(0) et g(1) sont de signe contraire.
Ainsi, d’apr`es le TVI, il existe c∈[0,1] tel que g(c) = 0. Alors on a bien : f(1 + c)−f(c) = 5.
Exercice 8 (+++) (´equation fonctionnelle, limites et suites)
1. Soit x∈R:f(−x) = f((−x)2) = f(x2) = f(x).Donc fest paire.
2. Soit x > 0. On montre par r´ecurrence (la faire rapidement) que :
∀n∈N, f(x) = fx1
2n.
Ensuite, la suite (x1
2n)nconverge vers x0= 1, et fest continue, donc on en conclut que :
f(x) = lim fx1
2n=flim(x1 2n)=f(1) .
Ainsi : ∀x > 0, f(x) = f(1).
Par cons´equent fest constante sur R∗
+, ´egale `a f(1).
Comme elle est paire, on peut aussi affirmer qu’elle est constante sur R∗
−, ´egale `a f(1).
Comme elle est continue, f(0) = lim
x→0+f(x) = f(1).
Finalement : ∀x∈R, f(x) = f(1).Donc fest constante sur R.
Exercice 9 (+++) (th´eor`eme des valeurs interm´ediaires)
L’hypoth`ese se r´e´ecrit : lim
+∞
f(x)
x=l.
La question se r´e´ecrit : montrer qu’il existe d∈R+tel que f(d)−d= 0.
On va appliquer le TVI `a la fonction g(t) = f(t)−t.
D’abord on fait des dessins :
.gest continue sur [0,+∞[.
. Ensuite, f(R+)⊂R+donc f(0) ≥0, donc g(0) ≥0.
. En +∞,g(t) = tf(t)
t−1∼(l−1)t.
Puisque l < 1, g(t)<0 au voisinage de +∞.
Finalement, le TVI permet de conclure que gs’annule sur R+.
Ainsi ∃d∈R+|f(d) = d.
Donnons un contre-exemple prouvant que ce n’est plus vrai si l= 1. Il suffit de prendre f(x) = 1 + x.
Alors f(x)∼+∞xmais fn’a aucun point fixe.
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Exercice 10 (++++) (Th´eor`eme des Valeurs Interm´ediaires)
- Premier cas : f(a) = a.
Dans ce cas on prend c=aet c’est fini.
- Deuxi`eme cas : f(a)< a.
On pose b=f(a).
On a : b < a et f(b) = adonc f(b)> b.
On a ainsi : b<a,f(b)> b et f(a)< a donc, en appliquant le TVI `a x7→ f(x)−xsur [b, a] (car f
est continue) on prouve l’existence de c∈]b, a[ tel que f(c) = c.
- Troisi`eme cas : f(a)> a.
On pose b=f(a).
On a : b > a et f(b) = adonc f(b)< b.
On a ainsi : a<b,f(a)> a et f(b)< b donc, en appliquant le TVI `a x7→ f(x)−xsur [a, b] (car f
est continue) on prouve l’existence de c∈]a, b[ tel que f(c) = c.
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