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Lycée Jean Perrin
Classe de TSI2 2014/2015
Mercredi 4 Mars
Concours Blanc no2 de Mathématiques
(Durée : 3h)
Exercice 1
On considère dans cet exercice l'équation diérentielle (E) suivante :
x2 y 00 − x(2x2 − 1)y 0 − (2x2 + 1)y = 0
1. Soit f la fonction dénie sur R∗ par :
∀x ∈ R∗ ,
f (x) =
(E)
1
x
Calculer f 0 et f 00 puis vérier que la fonction f est une solution de l'équation diérentielle (E) sur l'intervalle
]0, +∞[.
2. On
X cherche désormais des solutions de (E) qui soient développables en série entière. Pour cela, on considère
an xn une série entière de rayon de convergence R supposé strictement positif.
n>0
Pour x ∈] − R, R[, on écrit :
y(x) =
+∞
X
an xn
n=0
et on suppose que la fonction y est solution de (E) sur ] − R, R[.
(a) Exprimer, pour x ∈] − R, R[, y 0 (x) et y 00 (x) à l'aide d'une série.
(b) Démontrer que a0 = 0 et que pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a :
an =
2
an−2 .
n+1
(c) Calculer a2 . Plus généralement, que vaut an si n est un entier pair ?
(d) Si n est impair, on écrit n = 2p + 1 où p désigne un entier naturel.
Pour tout entier p supérieur ou égal à 1, exprimer a2p+1 en fonction de a2p−1 .
Montrer que pour tout entier naturel p :
a2p+1 =
3. Déterminer le rayon de convergence de la série entière
a1
.
(p + 1)!
X x2p+1
.
(p + 1)!
p>0
4. Donner, sans démonstration, les développements en série entière des fonctions x 7→ exp(x) et x 7→ exp(x2 ), ainsi
que leurs rayons de convergence.
+∞
X
x2p+1
5. On note, pour tout x réel, g(x) =
.
(p + 1)!
p=0
Que vaut g(0) ?
Exprimer pour tout réel x non nul, g(x) en fonction de exp(x2 ) et de x.
6. Préciser la dimension de l'espace vectoriel des solutions sur ]0, +∞[ de l'équation diérentielle (E), puis exprimer
les solutions de (E) sur l'intervalle ]0, +∞[ à l'aide des fonctions f et g .
[CB2exo1]
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Exercice 2
1. Rappeler, sans démonstration, la nature (convergente ou divergente) de chacune des trois séries suivantes :
X1
n
n>1
2. Soit α un réel. Justier que la série
;
X
n>1
1
√
n n
;
X 1
n2
n>1
X sin2 (nα)
n2
n>1
est une série convergente.
3. Dans la suite, α désigne un réel xé appartenant à l'intervalle ]0, π[.
On note f la fonction 2π -périodique dénie sur R à valeurs réelles, telle que :
(a) On suppose, dans
f (t) = 1 pour t ∈ [−α, α],
f (t) = 0 pour t ∈] − π, −α[∪]α, π]
cette question seulement
π
4
, que α = .
Représenter alors la fonction f sur l'intervalle [−2π, 2π].
(b) Donner la valeur des coecients de Fourier bn (f ) pour tout n ∈ N∗ (on justiera brièvement la réponse).
Calculer les coecients de Fourier a0 (f ) et an (f ) pour tout n ∈ N∗ .
(c) Énoncer le théorème de Parseval (avec ses hypothèses) et justier que :
+∞
X
α(π − α)
sin2 (nα)
=
2
n
2
n=1
(d) Déterminer la valeur de la somme
+∞
X
sin2 (n)
.
n2
n=1
(e) En choisissant une valeur de α convenable, en déduire
+∞
X
1
.
n2
n=1
[CB2exo2]
Exercice 3
Modèles de croissance d'une population
L'objectif de cet exercice est la présentation de modèles simples de croissance de population. On cherche à modéliser
l'évolution d'une population x(t) de sardines au cours du temps t.
La fonction t 7→ x(t) est supposée de classe C 1 sur [0, +∞[.
A Hypothèse malthusienne
On suppose que la croissance des sardines est proportionnelle à leur eectif, c'est à dire :
Il existe un réel a > 0 xé tel que pour tout t > 0, x0 (t) = ax(t) (E1 ).
La population initiale est donnée par x(0) = N .
1. Donner la valeur de x(t) en fonction de N et de a.
2. On suppose que le temps t est exprimé en années, et que a = 0, 2.
Calculez le nombre d'années nécessaires pour que la population soit quadruplée.
3. Le modèle semble t-il correspondre à la réalité ? Argumentez votre réponse.
B Hypothèse de Verhulst
On suppose maintenant que la croissance des sardines est "proportionnelle" à leur eectif, mais restreinte par des
ressources limitées, c'est à dire
Il existe un réel a > 0 xé et un réel m > N tel que pour tout t > 0, x0 (t) = ax(t)(m − x(t)) (E2 ).
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Mercredi 4 Mars
1. Quels sont les états d'équilibre ?
(c'est à dire les solutions de l'équation pour lesquelles la population est constante).
Dans la suite de la partie, on admet que la fonction x0 ne s'annule pas.
2. On suppose que 0 < x(0) < m.
a) Justiez que pour tout t > 0, on a x0 (t) > 0.
b) Que dire de la croissance de la population ? De sa limite ? Justiez.
3. Que peut-on dire si x(0) > m ?
4. On pose, pour t > 0, z(t) =
1
.
x(t)
a) Justier que z est de classe C 1 sur [0, +∞[.
b) Montrer que l'équation (E2 ) est équivalente à l'équation :
z 0 (t) + amz(t) = a
c) En déduire que x(t) =
(F2 )
m
1 + λ0 e−amt
où λ0 est une constante que l'on précisera en fonction de m et x(0).
C
Hypothèse de Lotka-Volterra
On suppose maintenant que la croissance des sardines est limitée par la présence de prédateurs (requins) dont
le nombre en fonction du temps est noté y(t).On suppose que les ressources sont telles que la seule limitation à la
croissance de la population des sardines est la présence des requins. Et on suppose aussi que les requins se nourrissent
uniquement de sardines. Une modélisation de cette situation a été faite par Volterra et Lotka ; elle donne le système
diérentiel autonome suivant :
(
x0 (t) = ax(t) − bx(t)y(t)
y 0 (t) = −cy(t) + dx(t)y(t)
où a, b, c, d sont des constantes strictement positives.
La première équation nous dit qu'en l'absence de prédation (b = 0), les sardines se reproduiraient à une vitesse
proportionnelle à leur nombre : on aurait x0 (t) = ax(t), et donc une croissance illimitée. Le terme −bx(t)y(t) corrige
cette croissance par un terme proportionnel au produit des deux populations : on peut en eet supposer que le
nombres de funestes rencontres sardines-requins est proportionnel au produit des deux populations !
La deuxième équation s'interprète pareillement : en l'absence de nourriture (d = 0), la population des requins
diminuerait exponentiellement (y 0 (t) = −cy(t)), mais cette diminution est corrigée par un terme proportionnel au
nombre de rencontres (et donc de repas . . . ).
1. Justier que les fonctions x et y sont de classe C 2 .
2. Quels sont les états d'équilibre ?
(c'est à dire les solutions de l'équation pour lesquelles les deux populations sont constantes).
3. On pose

 x(t)
=
 y(t)
=
c
+ u(t)
d
.
a
+ v(t)
b
Montrer que le système équivaut à :
(
u0 (t)
=
−αv(t) + bu(t)v(t)
v 0 (t)
=
βu(t) + du(t)v(t)
où α et β sont des constantes strictement positives qu'on précisera en fonction de a, b, c et d.
4. On suppose qu'on est au voisinage du point d'équilibre 6= (0, 0), c'est à dire que u(t) et v(t) sont proches de 0.
On admet qu'on peut alors négliger le terme u(t)v(t) et que le système devient :
(
u0 (t)
0
v (t)
= −αv(t)
=
βu(t)
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a)
b)
c)
d)
e)
D
Montrer que la fonction u vérie une équation diérentielle linéaire du second ordre que l'on précisera.
Résoudre cette équation.
√
Montrer que la solution peut se mettre sous la forme u(t) = λ sin(ωt + ϕ) avec ω = αβ .
En déduire l'expression de v(t) en fonction de α, λ, ω, ϕ et t.
Quelle information peut-on en tirer sur les populations de sardines et de requins lorsqu'on est proche de l'état
d'équilibre ?
Hypothèse de Lokta-Volterra
On suppose maintenant que la croissance des sardines est limitée par les ressources mais aussi par la présence de
prédateurs (requins) dont le nombre en fonction du temps est noté x(t). Et on suppose aussi que les requins se
nourrissent uniquement de sardines. Une modélisation de cette situation a été faite par Volterra et Lotka ; elle donne
le système diérentiel autonome suivant :
(
x0 (t) = x(t)(a − mx(t)) − bx(t)y(t)
y 0 (t) = −cy(t) + dx(t)y(t)
où a, b, c, d sont des constantes strictement positives.
La première équation nous dit qu'en l'absence de prédation (b = 0), les sardines se reproduiraient à une vitesse qui
suit le modèle de Verhulst. Le terme −bx(t)y(t) corrige cette croissance par un terme proportionnel au produit des
deux populations : on peut en eet supposer que le nombres de funestes rencontres sardines-requins est proportionnel
au produit des deux populations !
La deuxième équation s'interprète pareillement : en l'absence de nourriture (d = 0), la population des requins
diminuerait exponentiellement (y 0 (t) = −cy(t)), mais cette diminution est corrigée par un terme proportionnel au
nombre de rencontres (et donc de repas . . . ).
1. Justier que les fonctions x et y sont de classe C 2 .
2. Quels sont les états d'équilibre ?
(c'est à dire les solutions de l'équation pour lesquelles les deux populations sont constantes).
3. On pose

 x(t)
=
 y(t)
=
c
+ u(t)
d
.
a
+ v(t)
b
Montrer que le système équivaut à :
(
u0 (t)
=
−αv(t) + bu(t)v(t)
v 0 (t)
=
βu(t) + du(t)v(t)
où α et β sont des constantes strictement positives qu'on précisera en fonction de a, b, c, d et k.
4. On suppose qu'on est au voisinage du point d'équilibre 6= (0, 0), c'est à dire que u(t) et v(t) sont proches de 0.
On admet qu'on peut alors négliger le terme u(t)v(t) et que le système devient :
(
u0 (t)
0
v (t)
a)
b)
c)
d)
e)
= −αv(t)
=
βu(t)
Montrer que la fonction u vérie une équation diérentielle linéaire du second ordre que l'on précisera.
Résoudre cette équation.
√
Montrer que la solution peut se mettre sous la forme u(t) = λ sin(ωt + ϕ) avec ω = αβ .
En déduire l'expression de v(t) en fonction de α, λ, ω, ϕ et t.
Quelle information peut-on en tirer sur les populations de sardines et de requins lorsqu'on est proche de l'état
d'équilibre ?
[CB2pb]
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