TSI2
no3
f E f Ker f={0}
Im f=E
Ker fIm f=E, p = 1
n= 3 B= (e1, e2, e3)E f
EB
A=
41 5
211
4 1 5
u=xe1+ye2+ze3X=
x
y
z
u
BuKer f f(x) = 0 AX = 0
AX = 0
4xy+ 5z= 0
2xyz= 0
4x+y5z= 0
4xy+ 5z= 0
6x+ 6z= 0 L2L2L1
AX = 0 z=x
y=x
x
y
z
=
x
x
x
=x
1
1
1
(e0
1)=(e1e2e3) Ker f
Im f
f(e1), f(e2), f(e3)=4e12e24e3,e1e2+e3,5e1e25e3
dim Im f= 2
(e0
2, e0
3) = (4e12e24e3,e1e2+e3) Im f
detB(e0
1, e0
2, e0
3) = 0
e0
1=1
3(e0
2+e0
3)
(e0
1, e0
2, e0
3)EKer fIm f
E
p= 1
Bf2
A2=
2 2 4
2 2 4
22 4
u=xe1+ye2+ze3Ker f
2x+ 2y4z= 0
x
y
z
=
y2z
y
z
=y
1
1
0
+z
2
0
1
(e00
1, e00
2) = (e1+e2,2e1+e3) Ker f2
Im f2= Vect f2(e1), f2(e2), f2(e3)= Vect(2e12e2+ 2e3)
(e00
3) = (e1+e2e3) Im f2
det
B(e00
1, e00
2, e00
3) =
12 1
1 0 1
0 1 1
=26= 0
(e00
1, e00
2, e00
3)E
E= Ker f2+ Im f2dim E= dim Ker f2+ dim Im f2
E= Ker f2Im f2
p= 2
m n = 4 B= (e1, e2, e3, e4)E f
EB
Am=
01 0 0
0m0 0
1 0 m1
0 1 0 0
u=xe1+ye2+ze3+te4Ker f
Am
x
y
z
t
= 0
y= 0
my = 0
xmz t= 0
y= 0
y= 0 x=mz +t
x
y
z
t
=
mz +t
0
z
t
=z
m
0
1
0
+t
1
0
0
1
(me1+e3, e1+e4) Ker f
TSI2
(e0
1, e0
2)=(me1+e3, e1+e4) Ker f
f(e1), f(e2), f(e3), f(e4)Im f
(e0
3, e0
4) = (e3,e1+me2+e4) Im f
p= 1 (e0
1, e0
2, e0
3, e0
4)E
detB(e0
1, e0
2, e0
3, e0
4)6= 0
det
B(e0
1, e0
2, e0
3, e0
4) =
m1 0 1
0 0 0 m
1 0 1 0
0 1 0 1
=
m11
0 0 m
0 1 1
=mm1
0 1 =m2
detB(e0
1, e0
2, e0
3, e0
4)6= 0 m6= 0
p= 1 m6= 0
p(1) m= 0
A0=
01 0 0
0 0 0 0
1001
0 1 0 0
A2
0=
0 0 0 0
0 0 0 0
02 0 0
0 0 0 0
(e1, e3, e4) Ker f2(e3) Im f2
Ker f2Im f2p6= 2 A3=
0 (e1, e2, e3, e4) Ker f3Ker f3Im f3=E
m= 0 p= 3
f E
kN
?Ker fkKer fk+1
xKer fkfk(x)=0 fk+1(x) = ffk(x)=f(0) = 0
xKer fk+1
?Im fk+1 Im fk
yIm fk+1 xE y =fk+1(x)
y=fkf(x)=fk(z)z=f(x)
yIm fk
kNKer fkKer fk+1 Im fk+1 Im fk
kNak= dim Ker fk
kNKer fkKer fk+1 dim Ker fk6dim Ker fk+1
kNak6ak+1
(ak)kNN
(ak)n= dim E E
E
k ak+1 > akak
ak+1 >ak+ 1
k ak>k+a0
an+1 >n+1+a0>n+ 1
FNak=ak+1
F
N
F
p[[1, n]] F F ap=ap+1
k < p ak6=ak+1 p[[1, n]]
• ∀k[[0, p 1]] dim Ker fk6= dim Ker fk+1
dim Ker fp= dim Ker fp+1
p[[1, n]]
• ∀k[[0, p 1]] Ker fk6= Ker fk+1
Ker fp= Ker fp+1
k>pk[|p, +[|Ker fk= Ker fp
? k =p
? k p Ker fk= Ker fp
Ker fkKer fk+1 Ker fpKer fk+1
xKer fk+1 f(x)Ker fkf(x)Ker fp
fpf(x)=0=fp+1(x)xKer fp+1
Ker fp= Ker fp+1 xKer fp
Ker fk+1 Ker fp
?
k[|p, +[|Ker fk= Ker fp
E= Ker fpIm fp
? x Ker fpIm fpfp(x) = 0 yE x =fp(y)
f2p(y) = fpfp(y)=fp(x) = 0
yKer f2pKer f2p= Ker fp
yKer fp
x=fp(y)=0
Ker fpIm fp={0}
?dim Ker fp+ dim Im fp= dim E
TSI2
E= Ker fpIm fp
q p 6q
Ker fq= Ker fq+1 Im fq= Im fq+1
Im fqIm fq+1
yIm fqxE y =fq(x)
(x1, x2)Ker fq×Im fqx=x1+x2
y=fq(x) = fq(x1) + fq(x2) = fq(x2)
x2Im fqx0
2E x2=fq(x0
2)
y=f2q(x2) = fq+1fq1(x0
2)Im fq+1
p6q
p
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