- C - Caractéristiques de dispersion et de forme d`une distribution

- C -
Caractéristiques de dispersion et de forme
d’une distribution statistique
Les caractéristiques de tendance centrale donnent des
informations sur les valeurs importantes de la distribution :
- celles qui concentrent au maximum les individus (modes),
- celles qui partagent la population en groupes de même effectif
(médiane et quantiles)
- celle qui pourrait remplacer toutes les valeurs si celles-ci se
compensaient (moyenne).
Les caractéristiques de dispersion et de forme ont pour objectif
de rendre compte de la diversité des valeurs et de leur
répartition entre les valeurs extrêmes.
Introduction
1. Étendue, intervalle interquartile, écart interquartile
L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite
des modalités.
Comme cette caractéristique est très sensibles aux valeurs
aberrantes, on lui préfère les écarts interquantiles :
- l’intervalle interquantile est délimité par le premier et le dernier
quantile ;
- l’écart interquantile est la longueur de cet intervalle.
L’intervalle interquartile comporte 50% de la population,
l’intervalle interdécile 80% et l’intervalle intercentile 98%.
Ces paramètres indiquent entre quelles valeurs sont
fréquemment réparties les modalités, mais n’indiquent pas si les
modalités sont fréquemment éloignées ou proches des valeurs
centrales.
I. Caractéristiques de dispersion
2. Écart absolu, écart quadratique
a) Comment exprimer la dispersion ?
On cherche à mesurer l’écart des modalités à une valeur
centrale.
À chaque fois qu’une valeur est différente de cette valeur
centrale, elle contribue à la dispersion des modalités. On cherche
à calculer cette dispersion, en moyenne.
Exemple :
Considérons le caractère « nombre d’élèves » d’une population
de cinq collèges.
Les modalités de la variable sont : 270, 290, 300, 370, 520.
La moyenne est (270+290+300+370+520) / 5 = 350.
On obtient le tableau des écarts :
Modalité 270 290 300 370 520 Total
Écarts à la moyenne -80 -60 -50 +20 +170 0
Ce qui donne un total attendu... mais pas très intéressant !
I. Caractéristiques de dispersion

2. Écart absolu, écart quadratique
Ce qui crée la compensation globale, c’est qu’il y a des
différences positives et négatives.
Deux possibilités sont envisageables : soit supprimer purement
et simplement les “ signes moins ”, soit calculer le carré de
chaque différence.
b) Écart absolu moyen
Commençons par la première possibilité, on obtient le tableau :
Modalité 270 290 300 370 520 Total
Écarts absolus 80 60 50 20 170 380
Le total des écarts absolu n’a pas la même signification suivant la
taille de la population (ici le nombre de collèges).
Il faut donc rapporter ce total au nombre de collèges c’est-à-dire
calculer la moyenne des écarts absolus. On obtient 76.
L’effectif des collèges varie entre 270 et 520 élèves, l’effectif
moyen est de 350 avec un écart absolu moyen de 76.
I. Caractéristiques de dispersion
2. Écart absolu, écart quadratique
c) Écart quadratique moyen
Avec la seconde possibilité, on obtient le tableau :
Modalité 270 290 300 370 520 Total
Écarts quadratiques 6400 3600 2500 400 28900 41800
Pour la même raison, il faut rapporter ce total (SCE) au nombre
de collèges c’est-à-dire calculer la moyenne des carrés des
écarts. On obtient 8 360.
L’unité n’est pas adaptée à l’interprétation, on calcule donc la
racine carrée de cette moyenne qui est égale à 91.
L’effectif des collèges varie entre 270 et 520 élèves, l’effectif
moyen est de 350 avec un écart quadratique moyen de 91.
Le même travail pourrait être fait pour la médiane ou le mode.
Comment choisir entre écarts absolus et écarts quadratiques ?
I. Caractéristiques de dispersion
2. Écart absolu, écart quadratique
d) Variance et écart type ?
•Premier argument
Si on avait calculé les différences par rapport à la médiane, on
aurait obtenu :
- un écart absolu moyen de 66 élèves
- un écart quadratique moyen de 104 élèves.
Si l’on choisit l’écart absolu moyen pour exprimer la dispersion,
alors la valeur obtenue avec la moyenne comme référence est
supérieure à la valeur obtenue avec la médiane comme référence
(76 contre 66),
en revanche si l’on choisit l’écart quadratique moyen pour
exprimer la dispersion, alors la valeur obtenue avec la moyenne
comme référence est inférieure à la valeur obtenue avec la
médiane comme référence (91 contre 104).
Les statisticiens ont démontré que, de façon générale :
-la médiane rend minimal l’écart absolu moyen ;
-la moyenne rend minimal l’écart quadratique moyen.
I. Caractéristiques de dispersion
2. Écart absolu, écart quadratique
d) Variance et écart type ?
•Deuxième argument
Considérons deux élèves A et B dont les notes sur 20 sont :
A : 08, 08, 08, 08, 12, 12, 12, 12
B : 02, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 18
Pour A et B, la moyenne est 10 et l’écart absolu moyen est 2.
L’écart quadratique moyen met en valeur la présence de
modalités extrêmes, en effet, pour A il est 2 alors que pour B il
est de 4.
•Troisième argument
Dans les calculs mathématiques, l’écart quadratique est plus
facile à manipuler que l’écart absolu.
I. Caractéristiques de dispersion

2. Écart absolu, écart quadratique
Pour indiquer la dispersion des modalités d’une distribution
statistique, on choisira donc :
- l’écart absolu moyen par rapport à la médiane ;
ou
- l’écart quadratique moyen par rapport à la moyenne.
Comme on se réfère souvent à la moyenne, on a simplifié le
vocabulaire :
- l’écart quadratique moyen par rapport à la moyenne est
appelé écart type (sigma).
- le carré de l’écart type, qui est la moyenne des carrés des
écarts à la moyenne, est appelé variance.
I. Caractéristiques de dispersion
2. Écart absolu, écart quadratique
Exemple :
La moyenne est 11 712 ppa$ et l’écart type est 3 477 ppa$.
Remarque : l’écart type représente 30% environ de la moyenne.
I. Caractéristiques de dispersion
2. Écart absolu, écart quadratique
Exemple (suite) :
Dans l’intervalle [8 235 ; 15 189] des valeurs comprises entre la
moyenne plus ou moins un écart type, on trouve 14 pays sur les
19 c’est-à-dire près de 75% d’entre eux.
Ainsi les pays contribuent d’une façon analogue (la dépense
moyenne à 30% près) pour les trois quarts d’entre eux.
L’Espagne, l’Islande et l’Italie contribuent sensiblement moins,
alors que les États-Unis et la Suisse contribuent sensiblement
plus.
L’écart-type a permis de dégager trois groupes d’individus : les
individus typiques, les individus atypiques forts et les individus
atypiques faibles.
I. Caractéristiques de dispersion
3. Coefficient de variation
Exemple (suite et fin) :
L’usage, quand on décrit une variable, est de donner son écart-
type après avoir donné sa moyenne.
L’écart-type de la série des dépenses d’éducation est 3 500 ppa$.
Cet écart ne décrit pas la même dispersion lorsque la moyenne
12 000, 120 000 ou 1 200.
Le rapport entre écart-type et moyenne est le coefficient de
variation, il s’exprime généralement en %.
Il est aussi très utile lorsqu’on compare deux distributions
statistiques : il n’y a qu’à imaginer qu’on étudie la taille en mm
des fourmis et celle des girafes pour s’en convaincre !
L’écart type indique donc de manière absolue la dispersion des
modalités, son unité est celle des modalités de la variable.
Le coefficient de variation indique la grandeur relative (en
pourcentage) de cette dispersion.
I. Caractéristiques de dispersion

L’habitude de lire des histogrammes ou plus généralement des
courbes de distribution de fréquence (représentation graphique
de la densité de fréquence) rend sensible à la « forme » de la
courbe.
Les statisticiens ont explicité deux critères pour décrire la forme
d’une telle courbe : sa symétrie et son aplatissement.
Par abus de langage, ces termes qui s’appliquent à la courbe sont
généralement employés pour qualifier la distribution elle-même.
II. Caractéristiques de forme
1. Symétrie d’une distribution
Si la courbe d’une distribution de fréquence qui représente une
variable unimodale est symétrique, alors les valeurs sont
réparties dans les mêmes proportions autour du mode, et donc la
moyenne et la médiane seront égales au mode.
Exemple 1 :
C’est approximativement le cas des performances en saut.
II. Caractéristiques de forme
1. Symétrie d’une distribution
Exemple 2 :
La distribution des notes au DNB des élèves de 3e générale
admis en 2nde GT est symétrique. Les valeurs centrales sont
approximativement égales à 11,5.
II. Caractéristiques de forme
1. Symétrie d’une distribution
Exemple 3 :
La courbe de tous les élèves de 3e générale n’est pas
symétrique, elle est plus « étalée » à droite. Le mode est 9,5
mais la médiane et la moyenne sont supérieures à 9,5.
II. Caractéristiques de forme

1. Symétrie d’une distribution
Généralisation : la
moyenne est plus
sensibles aux
valeurs extrêmes
que la médiane donc
la moyenne est plus
éloignée du mode
que la médiane
La moyenne et la
médiane sont du
même côté par
rapport au mode :
celui de l’étalement.
La médiane est en
position
intermédiaire.
II. Caractéristiques de forme
2. Aplatissement d’une distribution
Dans le cas d’une
variable unimodale,
- plus les valeurs sont
dispersées, plus la
courbe de distribution
apparaît aplatie
- plus les valeurs sont
concentrées autour du
mode, moins la courbe
de distribution apparaît
aplatie.
Une définition rigoureu-
se de l’aplatissement
est hors de portée de
ce cours.
II. Caractéristiques de forme
1. Exemple d’une distribution liée au hasard
Une évaluation est proposée à des élèves. Pour chaque question, un
élève quelconque a une chance sur deux de répondre correctement !
Cette évaluation est notée par le pourcentage de réussite au
questionnaire de l’évaluation.
Si l’évaluation comporte une question, le plus probable est que 50%
des élèves aient la note 100% et que 50% obtiennent la note 0%.
III. La distribution de référence : la loi normale
1. Exemple d’une distribution liée au hasard
Si l’évaluation comporte deux questions, il y aura quatre
possibilités pour chaque élève : réussite et réussite, réussite et
échec, échec et réussite, et enfin échec et échec. Donc 3 notes.
Le plus probable est que 25% des élèves obtiennent la note
100%, 50% élèves obtiennent la note 50% et 25% élèves
obtiennent la note 0%.
III. La distribution de référence : la loi normale