Modélisation des actions mécaniques

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Mécaniques
Définition : Une action mécanique est « invisible »
Il est peu commode de donner une définition non abstraite
d'une action mécanique.
Contrairement à d'autres grandeurs mécaniques, une action
mécanique se définit par ses effets :
●
Maintenir un équilibre
Naissance d'un mouvement
●
●
Modification du mouvement
●
Déformation d'un système (gaz, solide déformable,...)
●
Echauffement
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Modélisations :
Une action mécanique peut être défini de différente manières:
Modèle locale : on associe un champ de forces linéique,
surfacique, ou volumique
●
ACTION de CONTACT
Densité surfacique de force
=
Pression de contact P(M)
ACTION à DISTANCE
Densité volumique de force
=
ρ.g
ρ masse volumique
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Modélisations :
Une action mécanique peut être défini de différente manières:
●
Modèle globale : on associe un torseur
ACTION de CONTACT
G
F
Mo
ACTION à DISTANCE
O
Résultante des actions
de pression au centre
de la surface de contact
Résultante des actions
de pesanteur au centre
de gravité
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Modélisations
Si le modèle locale est adapté à la mécanique des milieux
déformables, ce n'est pas le cas du torseur qu'il faut réserver
à la mécanique des solides.
Même Torseur mais pourtant
des effets différents suivant
l'endroit où s'applique l'action
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●
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Le glisseur pour une action mécanique: c'est la
représentation d'une FORCE.
La force a pour support l'axe centrale du
glisseur.
La force ne crée aucun moment sur l'axe
centrale. Par contre elle crée un moment
non nul en dehors de l'axe centrale.

A R(skiper →
corde)

  R(skiper → corde)  
{ T(skiper → corde)} =  M (A,skiper → corde)= 0

A
Axe centrale du
glisseur
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●
Le glisseur pour une action mécanique: c'est la
représentation d'une FORCE.
La notion de point d'application n'a pas
de sens pour un torseur, en effet une
force aura le même effet en mécanique
du solide en tout point de son support.
A'

A R(skiper →
corde)
Axe centrale du
glisseur
A''
Ces trois actions mécaniques sont identiques
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●
Le glisseur : ressentir le moment d'une FORCE.
Pas de torsion
ressentie dans le poignet
On ressent une torsion
dans le poignet
Action de la
main sur la barre
Action de
la barre sur la main
G
POIDS
Ce sont les mêmes actions mécaniques
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●
Moment d'une force:
La force F crée un moment en B que l'on calcul
F
Winch
F
B
M(B)
A
C
R
H
Z
de
r
o
R est le bras de levier
de la force F en B.
C'est la distance
du point B au support
de la force


{Tskiper→ corde}=  F0 =  FM (B)= F ∧ AB = RF.z
A
B
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●
Moment d'une force autour d'un axe:
Des forces de normes identiques n'ont pas le même effet
Axe de rotation
de la porte

u
1
O
P4 point du support de la force 4
2
3
4
d
5
D
6
Toutes les forces ont même
intensité sauf 6
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●
Moment d'une force autour d'un axe:
Des forces de normes identiques n'ont pas le même effet
Axe de rotation
de la porte

u
M3
1
O
Les force 1, 2 et 3
M1 ou M2
sont innopérantes pour
ouvrir la porte
3
4
Explication: Le moment
créé par ces forces en un point
de l'axe est perpendiculaire
d
à l'axe. Ce sont les charnières
qui supportent ces moments.
P4 point du support de la force 4
2
5
6
D
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●
Moment d'une force autour d'un axe:
Des forces de normes identiques n'ont pas le même effet
Les force 4, 5 et 6
sont plus ou moins efficaces.
La 5 est la plus efficace.
Axe de rotation
de la porte

u
La 6 à une intensité plus grande
O
mais mais n'est pas plus efficace
que la 5.
M5 ou M6
Explication: Le moment
créé par ces forces est
suivant l'axe de rotation.
Le bras de levier de 4 est
plus petit que celui de 6 qui
est lui même plus petit que
celui de 5.
1
M4
P4 point du support de la force 4
2
3
4
d
5
6
D
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●
Retenons:
Par définition le moment d’une force autour d’un axe est la projection
suivant la direction de l’axe du moment de la force en un point de l’axe
(
) (
)

   
 
 
M(O,F).u= M(P,F)+ OP∧ F .u= OP∧ F .u
Propriétés :
Ce moment est nul si le support de
la force est // à l’axe ou coupe l’axe
Fu
●
Ce moment ne dépend pas du
point O choisi sur l’axe
●
Il n'y a que la composante orthoradiale
qui créé un moment selon l'axe
O

u
F
P
●

 
M(O,F).u = Fv.d
Fv
d
F
w
w
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●
Retenons:
Dans le cas d’un problème plan, ce moment autour de l’axe (O,u)
peut aussi s’écrire :
(
)

 
 

M(O,F).u = OP ∧ F .u = ± F .d O,(P,F)
(
O
où d(O,(P,F)) désigne la distance
du support de la force à l’axe (O,u).
C’est le fameux BRAS DE LEVIER
Le signe est donné par
l’orientation du vecteur u.
)
F
d
-
u
+
+ Si le moment de la force tend à faire tourner dans le sens positif
- Si le moment de la force tend à faire tourner dans le sens négatif
P
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●
Le bras de levier permet la multiplication de l'effort
du = Bras de levier de l'utilisateur
Fs
Fu
Fu
Effort de serrage
Fs
Effort de l'utilisateur
ds = Bras de levier
de l'effort de serrage
Fs = du
Fu
ds
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●
Le bras de levier permet la multiplication de l'effort
Winch
Fc
A
B
C
Rc
de
r
o
Effort de la corde
Fc = Ru
Fu
Rc
H
R
u
Fu
Effort de l'utilisateur
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●
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Exemples de glisseurs ou forces
Action de pesanteur : glisseur passant par G et de résultante
verticale descendante
Action d'un fluide sur une coque de bateau : glisseur passant
par le centre de poussée de résultante verticale ascendante
égale au poids du volume d'eau déplacé (principe
d'archimède)
Action d'un cable tendu : glisseur d'axe centrale le cable
Action dans un contact ponctuel avec frottement : glisseur
passant par le point de contact
Action d'un ressort de traction : glisseur d'axe centrale l'axe du
ressort
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●
Le couple pour une action mécanique: c'est la
représentation d'un COUPLE.
F
B
F
O
C
A
Considérons l'action mécanique créée
par deux forces antagonistes de
supports différents.
Si l'on somme ces actions mécaniques
(principe d'additivité des actions
mécaniques), on trouve une résultante
nulle.
L'action équivalente est un couple C.
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●
Le torseur couple
y
F
B
O
 
 
 F= F.y  
F= F.y
{TA}= 
= 


0
A
O MA(O)= F.y∧ OA= RF.z



 
 − F= − F.y
−
F
=
−
F
.
y
{TB}= 
=  


0
B
O MB(O)= − F.y∧ OB= RF .z
A
F
C
R
x
Principe d'additivité des actions mécaniques
{TA}


+ {TB} =   0 
C
=
2
RF
z

O
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●
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Exemples de couples
Action du stator d'un moteur sur son rotor : couple dirigé selon
l'axe du moteur
Action exercée sur le manche d'un tourne vis : couple dirigé
selon l'axe du tourne vis
Action d'un ressort de torsion : couple dirigé selon l'axe du
ressort (ressort en spirale, barre de torsion...)
Action de frottement : couple transmis par un embrayage
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●
Cas générale
Une action mécanique quelconque peut être représenté par
un torseur
Vecteur ne dépendant pas du point

{ T ( S1 → S 2 )} = 

A
 
R = R( S 1 → S 2 )


M A = M A ( S1 → S 2 )
Résultante des actions
mécaniques de S1 sur S2
Vecteur dépendant du point
Moment résultant des actions
mécaniques de S1 sur S2
On a la propriété du champ des moments d'un torseur :


 
M B ( S1 → S2 ) = M A ( S1 → S2 ) + BA ∧ R( S1 → S2 )
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●
Champ des moments d'une force
Une action mécanique
quelconque
peut être décomposé en:
une force de support (∆)
●
un couple de direction (∆)
●
C'est une action mécanique
de « VISSAGE ».
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●
Passage du modèle locale au modèle globale
Considérons une force élémentaire dF(1->2) qui s'exerce de 1 sur 2 au point Q
à travers une surface élémentaire ds .
Cette force crée en O un moment élémentaire :





dM(O,dF(1→ 2)) = dM(Q,dF(1→ 2)) + OQ ∧ dF(1→ 2)
Car l'action élémentaire est une
force passant par Q
dS
dF(1->2)
Q
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●
Expression du torseur résultant
Par additivité des actions mécanique, l'action résultante de 1 sur 2 est la somme des
actions de contact élémentaires,


dF(1→ 2)
∫∫

{T1→ 2} =  
0 ∫∫ dM(O,dF(1→ 2))
Ou encore
dS
dF(1->2)
Q


dF(1→ 2)
∫
∫

{ T1→ 2} = 
0 ∫ ∫ OQ ∧ dF(1→ 2)
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●
Densité de force
L' actions de contact élémentaires dF, s'exprime en fonction d'une densité linéique,
surfacique ou volumique de force.
EXEMPLES:
dF(Q,1->2) = µ(x).dx
dF(Q,1->2) = p(x).dS
µ(x)
Q
dS
p(x)
dx
Q
µ(x) =Densité linéique de force
P(x) =Densité surfacique de force
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●
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Exemple de calcul dimensionnement d'un
coussinet de guidage à la pression
Pression uniforme P
Hypothèses : on suppose une pression de contact uniforme
s'exerçant sur un demi cylindre
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●
Paramétrage cylindrique
R
1
2
Z
y
z
Q
Q
dF
x
●
θ
u
x
Ecriture de l'action élementaire en Q



dF(Q,1→ 2) = p.dS.u = p.R.dθ .dz.u
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●
Écriture du torseur des actions mécaniques de 1->2
R
1
2
O
O
Z
y
z
Q
Q
dF
x
θ
u


 dF(1→ 2)
= ∫∫ − p.u.dS
∫∫

{T1→ 2} = 
 

0 ∫∫ OQ ∧ dF(1→ 2)= ∫∫ ( Ru+ Zz) ∧ − p.u.dS
x
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●
Calcul de la résultante
L
des actions mécaniques de 1->2
R
1
2
O
O
Z
y
z
Q
Q
dF
x
θ
u
x
− π /2

  L/ 2 

R(1→ 2)= − p∫∫ u Rd θ dZ= − pR ∫  u ∫ dZ  dθ
− π / 2 − L / 2

Intégration à θ constant
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●
Calcul de la résultante
des actions mécaniques de 1->2
R
1
2
Z
y
Q'
z
Q
Q
dF
x
θ
u
x
− π /2
− π /2




R(1→ 2)= − pRL ∫ ( u )dθ = − pRL ∫ ( cosθ .x+ sin θ .y)dθ
− π /2
− π /2
Attention, le vecteur u dépend du paramètre angulaire
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●
Calcul de la résultante de 1->2
Par symétrie , on voit que les composantes
sur y se compensent. Le calcul est inutile.
− π /2
− π /2

R(1→ 2)= − pRL

∫ ( u )dθ = − pRL
− π /2
− π /2

R(1→ 2)= − pRL
[− sinθ ]
R
1
2
Q'
y
Q
dF
θ
π /2
− π /2



x= p.2LR x= p.Spx
Surface projetée
O
x


∫ ( cosθ .x+ sinθ .y)dθ
u
L
2R
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●
Remarque : ce résultat est valable pour tout champ de
pression uniforme
Résultante des forces de pression
dans la direction x
Fx=p.Sxp
x
Sxp
P
Les forces se compensent sur une partie de la surface projetée
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●
Calcul du moment résultant des actions mécaniques
de 1->2
R
1
2
O
O
Z
y
z
Q
Q
dF
x
θ
u
x
Il est claire que ce champ de pression ne tend pas
à « faire tourner » autour de O.
Les moments élémentaire se compensent par symétrie.
Le calcul donnerait donc M(O,1->2)=0
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●
Conclusion
F
O

p.Sp.x

{T1→ 2}=  0
0
Pression uniforme P
L'action de 1->2 est une force de support
la droite (O,x)
Il est maintenant possible de relier la charge radiale F supportée par le coussinet à la pression p
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●
Passage du modèle globale au modèle locale
R
1
2
y
Q
x
P=Po.cos θ
θ
Cette repartition de pression correspond au même torseur que
celui calculé précédement. Il n'est pas possible de déterminer
de manière unique la densité surfacique de force connaissant le
torseur résultant.
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●
Actions mécaniques de contact avec frottement
µ=|T|/|N|
Bogie de TGV
N
T
=Roue bloquée
évolution du facteur de freinage μ en fonction du glissement relatif
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●
Modélisation des actions de frottement
µ=|T|/|N| sans dimension
Bogie de TGV
Coefficient d'adhérence
Coefficient de frottement
Vitesse de
glissement
Les Actions
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●
Modélisation des actions de frottement
Animation mécamédia
LOIS de COULOMB
Il y a mouvement relatif
Il n'y a pas de mouvement relatif
Cône
ou ded'adhérence
frottement
ou de frottement
en
L'action tang
µo
vement
u
o
m
u
a
e
s
o
tielle s'opp
µ
µo coefficient d'adhérence
≥ µ coefficient de frottement
Les Actions
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●
Modélisation des actions de frottement – Modèle locale
Cône de frottement
S'il y a mouvement relatif :
n
µ = tan ϕ
V(M,2/1) ≠ 0
dT(1->2).V(M,2/1) < 0
l'action tangentielle
est opposé à la vitesse
2
de glissement
et
|dT|=µ.|dN|
1
dF(1->2)
dT(1->2)
dN(1->2)
V(M,2/1
)
M
Les Actions
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●
Modélisation des actions de frottement – Modèle locale
Cône d'adhérence
S'il n'y a mouvement relatif :
n
µο = tan ϕο
V(M,2/1) = 0
pas d'information sur
la direction et le sens
de l'action tangentielle
dF(1->2)
dN(1->2)
2
mais
|dT|≤µο.|dN|
1
dT(1->2)
M
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●
Les Actions
Mécaniques
Quelques valeurs de coefficient de frottement de
adhérence
Le coefficient de frottement dépend de certains paramètres :
● nature des matériaux en contact
● rugosité des surfaces
● lubrification (ou non ) des surfaces
Par contre, il est dans une grande mesure indépendant de la forme des surfaces, de
la vitesse de glissement ou de la valeur de l’effort normal au contact.
Les Actions
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●
Modélisation des actions de contact sans frottement
Si l'on peut négliger les frottements,
l'action tangentielle est nulle
dT=0
n
l'action élémentaire dF est normale
a la surface de contact
dF(1->2)
2
1
M
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●
torseur transmissibles dans une liaison parfaite
Intuitivement, quand il y a une translation relative possible
d'un solide par rapport à l'autre, on ne peut pas
transmettre de force dans la direction de la translation.
Inversement si une translation est bloquée, on peut
transmettre une force.
Translation
bloquée
X
Translation
possible
force
transmissible
Liaison pivot glissant
X
Pas de force
transmissible
Les Actions
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●
torseur transmissibles dans une liaison parfaite
De même, quand il y a une rotation relative possible d'un
solide par rapport à l'autre, on ne peut pas transmettre de
couple autour de l'axe de rotation.
Inversement si une rotation est bloquée, on peut
transmettre un couple.
Rotation
bloquée
X
Rotation
possible
Couple
transmissible
Liaison pivot glissant
X
Pas de couple
transmissible
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●
Les Actions
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torseur transmissibles dans une liaison parfaite
Attention à bien croiser!
(rotation<->couple)
Liaison pivot glissant
 0 0 
{V(2/1)}=  Ω y Vy    
A 0 0  ( x,y,z)
 Fx Mx 
{T(1→ 2)} =  0 0    
A Fy My ( x,y,z)
y
A
(translation<->force)
x
Cela revient à dire que la liaison ne dissipe pas d'énergie (liaison parfaite),
voir complément à la fin de ce document.
Les Actions
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●
torseur transmissibles dans une liaison parfaite
On pourrait retrouver ce résultat à partir de la particularité
de la densité surfacique de force en l'absence de
frottement:
A
dF perpendiculaire à y
dF ne crée pas de moment
selon l'axe (O,y)
dF

Fx
Mx



d
F
(
1
→
2
)


∫∫

{T1→ 2} = 
=  0 0  
A ∫∫ AQ ∧ dF(1→ 2) A Fz Mz  ( x,y,z)
y
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●
Les Actions
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Torseur des AM transmissibles dans les liaison normalisées
Les Actions
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●
Torseur des AM transmissibles dans les liaison normalisées
Les Actions
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Complément : puissance dissipée dans une liaison
1
2
dF(1->2)
Q
,2
/1
)
Q
V(
●
Exprimons la puissance développée
par les actions mécaniques de contact.
Ce sera la puissance dissipée dans la
liaison 1-2.
Les Actions
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Complément : puissance dissipée dans une liaison
la puissance élementaire en Q s'écrit
1
2


dP(Q,1→ 2/1)= dF(1→ 2).V(Q,2/1)
dF(1->2)
Q
,2
/1
)
Q
V(
●
Sommons sur la surface de contact S:
Les Actions
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Complément : puissance dissipée dans une liaison
,2
/1
)
1
V(
Q
●
Q
2
Grace au champ des vitesses, on fait apparaître
un point A de 2
dF(1->2)
S
A
(



P(Q,1→ 2/1)= ∫∫ dF(1→ 2). V(A,2/1)+ Ω (2/1)∧ AQ
(
)




= ∫∫ dF(1→ 2).V(A,2/1)+ ∫∫ dF(1→ 2). Ω (2/1)∧ AQ
S
S
(




= V(A,2/1).∫∫ dF(1→ 2)+ Ω (2/1).∫∫ AQ∧ dF(1→ 2)
S
Moment du
torseur cinématique
S
Résultante du Résultante du Moment du
torseur d'AM
torseur d'AM
torseur
cinématique
)
)
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●
Les Actions
Mécaniques
Résultat : Puissance dissipée dans une liaison
V(
Q
,2
/1
)
1
2
Grace au champ des vitesses, on fait apparaître
un point A de 2
dF(1->2)
Q
A




P(1→ 2/1)= V(A,2/1).R(1→ 2)+ Ω (2/1).M(O,1→ 2)


 Ω (2/1)
 R(1→ 2)
P(1→ 2/1)= {T1→ 2}⊗ { V2/1} = 
⊗ 
A M(A,1→ 2) A V(A,2/1)
C'est ce que l'on appelle le commoment de deux torseurs
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●
Les Actions
Mécaniques
Résultat : Pour une liaison parfaite la puissance
dissipée doit être nulle d'où
 Ω x Vx 
 Fx Mx 
{V(2/1)}⊗ {T(1→ 2)} =  Ω y Vy     ⊗  Fy My   
A Ω z Vz  ( x,y,z) A Fz Mz  ( x,y,z)
= Vx.Fx+ Vy.Fy+ Vz.Fz+ Ω x.Mx + Ω y.My+ Ω z.Mz= 0
Cette propriété est vérifiée pour toutes les liaisons normalisées