Première S Problème de synthèse Probabilités – Second degré

Première S
Problème de synthèse
Probabilités – Second degré
Une boîte contient 6 boules rouges et n boules blanches. Un jeu consiste à tirer successivement sans remise
deux boules de la boîte.
Si les deux boules ont la même couleur, le joueur gagne 1 euro, si elles sont de couleurs différentes le
joueur perd 1 euro.
1)
Dans cette question on suppose n = 3. Calculer les probabilités d’obtenir :
a)
deux boules de même couleur ;
b)
deux boules de couleurs différentes.
2)
Dans cette question, l’entier n est quelconque, supérieur ou égal à 2.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux boules, associe le gain « algébrique » du
joueur.
a)
Exprimer, en fonction de n, les probabilités des événements (X = -1) et (X = 1).
1
Première S
Problème de synthèse
Probabilités – Second degré
CORRECTION
1)
On tire 2 boules parmi 9.
9 9×8 = 36
Le cardinal de l’ensemble de référence est donc : 2 =
2
a) Pour avoir deux boules de même couleur, on doit tirer deux boules rouges parmi 6 ou bien deux
boules blanches parmi 3.
La probabilité cherchée est donc :
6 + 3 6×5 + 3×2
2 15 + 3
2 2 2
36
=
36
=
36
=
1
2
b) Pour avoir deux boules de couleurs différentes, on doit tirer une boule rouge parmi 6 et une boule
blanche parmi 3.
La probabilité cherchée est donc :
6×3 1
=
36 2
On vérifie que la somme des deux probabilités est bien égale à 1.
2)
a)
L’événement (X=-1) correspond au tirage de deux boules de couleurs différentes.
P(X=-1) =
6×n
6n
12n
=
=
n+6
(n+6)(n+5)
(n+6)(n+5)
 
2
 2 
L’événement (X=1) correspond au tirage de deux boules de même couleur.
6 +n 15+n(n-1)
2
30 + n(n – 1)
n² - n + 30
2 2
P(X=1) =
=
=
=
n+6 (n+6)(n+5) (n + 6)(n + 5) (n + 6)(n + 5)
2
 2 
Remarque : on peut vérifier que P(X=-1) + P(X=1) = 1
b)
E(X) = 1×P(X=1) + (-1)×P(X=-1)
E(X) =
c)
12n
n² - 13n + 30
n² - n + 30
=
(n + 6)(n + 5) (n+6)(n+5) (n + 6)(n + 5)
Le jeu est équitable si E(X) = 0.
C’est à dire si n² - 13n + 30 = 0
Soit si n = 3 ou n = 10
d)
Le jeu est défavorable si E(X) < 0
Soit si n² - 13n + 30 < 0
Soit si 3 < n < 10
2