Première S Problème de synthèse Probabilités – Second degré

Première S Problème de synthèse
Probabilités – Second degré
1
Une boîte contient 6 boules rouges et n boules blanches. Un jeu consiste à tirer successivement sans remise
deux boules de la boîte.
Si les deux boules ont la même couleur, le joueur gagne 1 euro, si elles sont de couleurs différentes le
joueur perd 1 euro.
1) Dans cette question on suppose n = 3. Calculer les probabilités d’obtenir :
a) deux boules de même couleur ;
b) deux boules de couleurs différentes.
2) Dans cette question, l’entier n est quelconque, supérieur ou égal à 2.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux boules, associe le gain « algébrique » du
joueur.
a) Exprimer, en fonction de n, les probabilités des événements (X = -1) et (X = 1).

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Probabilités – Second degré
2
CORRECTION
1) On tire 2 boules parmi 9.
Le cardinal de l’ensemble de référence est donc :
9
2 = 9×8
2 = 36
a) Pour avoir deux boules de même couleur, on doit tirer deux boules rouges parmi 6 ou bien deux
boules blanches parmi 3.
La probabilité cherchée est donc :
6
2 +
3
2
36 =
6×5
2 + 3×2
2
36 = 15 + 3
36 = 1 2
b) Pour avoir deux boules de couleurs différentes, on doit tirer une boule rouge parmi 6 et une boule
blanche parmi 3.
La probabilité cherchée est donc : 6×3
36 = 1
2
On vérifie que la somme des deux probabilités est bien égale à 1.
2) a) L’événement (X=-1) correspond au tirage de deux boules de couleurs différentes.
P(X=-1) = 6×n
n+6
2
= 6n
(n+6)(n+5)
2
= 12n
(n+6)(n+5)
L’événement (X=1) correspond au tirage de deux boules de même couleur.
P(X=1) =
6
2 +
n
2
n+6
2
=
15+n(n-1)
2
(n+6)(n+5)
2
= 30 + n(n – 1)
(n + 6)(n + 5) = n² - n + 30 (n + 6)(n + 5)
Remarque : on peut vérifier que P(X=-1) + P(X=1) = 1
b) E(X) = 1×P(X=1) + (-1)×P(X=-1)
E(X) = n² - n + 30
(n + 6)(n + 5) - 12n
(n+6)(n+5) = n² - 13n + 30 (n + 6)(n + 5)
c) Le jeu est équitable si E(X) = 0.
C’est à dire si n² - 13n + 30 = 0
Soit si n = 3 ou n = 10
d) Le jeu est défavorable si E(X) < 0
Soit si n² - 13n + 30 < 0
Soit si 3 < n < 10