devoir 1 (hiver 2015) Alg`ebre II Le devoir est `a remettre au plus

devoir 1 (hiver 2015)
Algèbre II
Le devoir est à remettre au plus tard lundi le 23 février avant 17h00. Vous pouvez faire
le devoir en équipe de 5 ou moins.
Exercice 1
(1) Soit R un anneau intègre (donc commutatif) et soit f, g ∈ R[x] des polynôme
différents de 0. Alors montrer que
(0.1)
deg(f g) = deg(f ) + deg(g).
(2) Donner un exemple d’un anneau commutatif R (nécessairement pas intègre) pour
lequel il existe f, g ∈ R[x] tels que deg(f g) < deg(f ) + deg(g).
Exercice 2 Soit A un anneau unitaire et Mn (A), l’anneau des matrices n × n à entrées
dans A. On a une inclusion naturelle ι : A → Mn (A) donnée par a 7→ aIn où In est la
matrice identité n × n. Le but de cet exercice est de montrer que
C(Mn (A)) = C(A)In := {λIn : λ ∈ C(A)}.
On pose eij pour la matrice indicatrice n × n ayant des zéros partout sauf en ij où
l’entrée est l’élément 1 ∈ A. Remarquons que chaque élément a ∈ Mn (A) admet une
unique écriture de la forme
X
a=
aij eij avec aij ∈ A.
1≤i,j≤n
Pour cet exercice vous pouvez prendre pour acquis (il s’agit de la définition même de la
multiplication de matrices!) les règles du produit matriciel pour les eij , à savoir que
eij ekℓ = δjk eiℓ
où δjk est le symbole de Kronecker. Noter que pour tout a ∈ A ⊆ Mn (A) on a que
aeij = eij a.
P
(1) Montrer que In = ni=1 eii correspond bel et bien à l’identité 1A de Mn (A).
P
(2) Soit a = i,j aij eij ∈ Mn (A) où aij ∈ A. Soit ekℓ avec k 6= ℓ. Calculer aekℓ et ekℓ a.
En déduire que si aekℓ = ekℓ a, alors aℓk = 0 (notez que les indices k et ℓ ont été
permutés).
(3) En utilisant le (2) montrer que si a ∈ C(Mn (A)) alors a est une matrice diagonale.
(4) Soit d = d11 e11 + . . . dnn enn ∈ Mn (A) une matrice diagonale. Montrer que si deij =
eij d, alors dii = djj . En déduire qui si d ∈ C(Mn (A)) alors d est une matrice scalaire.
1
(5) Déduire que C(Mn (A)) = C(A)In .
Exercice 3 Soit A un anneau unitaire pas nécessairement commutatif. Soit S ⊆ A un
sous-ensemble non vide. On définit le centralisateur de S comme étant
C(S) := {a ∈ A : ∀s ∈ S, as = sa}.
Montrer que que C(S) est un sous-anneau de A.
Exercice 4 Soit A ∈ Mn (C) et C(A) := C({A}) le centralisateur de la matrice A (ici
A est une matrice et non un anneau). On pose
( N
)
X
C[A] :=
λk Ak ∈ Mn (C) : λk ∈ C, N ∈ Z≥1 .
k=0
(0)
Montrer que C[A] =
Pn−1
k
et donc que dimC C[A] ≤ n.
λ
A
∈
M
(C)
:
λ
∈
C,
k
n
k
k=0
Notons que C(A) ⊇ C[A]. À partir de maintenant, on supposera que A ∈ Mn (C) est
une matrice ayant n valeurs propres distinctes.
(1) Montrer qu’il existe un automorphisme d’anneaux ϕ : Mn (C) → Mn (C) tel que ϕ(A)
est une matrice diagonale D dont les entrées correspondent aux valeurs propres de A.
(2) Conclure que ϕ(C(A)) = C(D).
(3) Montrer que C(D) = {B ∈ Mn (C) : B est une matrice diagonale}.
(4) Montrer que C(D) = C[D].
(5) Conclure que C(A) = C[A].
Exercice 5 Soit A un anneau commutatif et I, J, K ⊆ A trois idéaux.
(1) Montrer que I(J + K) = IJ + IK.
(2) Montrer que (IJ)K = I(JK).
Exercice 6 Est-ce que tout les idéaux à gauche de Mn (R) sont nécessairement de type
fini? Vous devez justifier votre réponse.
Exercice 7 Construire un isomorphisme d’anneaux explicite pour chaque paire d’anneaux
suivants:
(1) L’anneau quotient Q[x]/(x) et le corps Q.
2
(2) L’anneau quotient Q[x, y]/(y) et l’anneau Q[x].
(3) L’anneau quotient R[x]/(x2 + 1) et C.
(4) L’anneau quotient C[x]/(x2 + 1) et l’anneau produit C × C.
Vous pouvez simplement écrire l’application qui donne l’isomorphisme sans donner la justification qu’il s’agit bel et bien d’un isomorphisme.
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