GLMA403 - FICHE N 2A CPUS 2013

GLMA403 - FICHE N◦2A CPUS 2013-2014
GROUPES - G´ EN´ ERALIT´ ES
EXERCICE 1.
Pour chacune des lois suivantes, dire si elle est associative, et/ou commutative et le d´emontrer.
1) Sur R∗, (x, y)7→ x
y.
2) Sur N∗, (a, b)7→ a∧b.
3) Sur N, (n, m)7→ max(n, m) + 3.
4) Sur N, (n, m)7→ ro`u rest le reste de la division de n+mpar 10.
5) Sur R, (x, y)7→ px2+y2.
EXERCICE 2.
Montrer que les couples (G, ?) suivants forment des groupes commutatifs.
1) G=R, et x?y=x+y−2.
2) G=] −1,1[ et x?y=x+y
xy + 1.
3) G=] −1,+∞[ et x?y=x+y+xy.
4) G=Ret x?y=3
px3+y3.
EXERCICE 3.
Soit H={M∈ M2(R)|det(M) = ±1}. Montrer que (H, ×) est un sous-groupe non commutatif de (GL2(R),×).
EXERCICE 4.
Soit G={a, b}un goupe `a deux ´el´ements. Supposons que aest l’´el´ement neutre du groupe. Trouver tous les produits
aa,ab,ba et bb.
EXERCICE 5.
Soit G={e, g1, g2}un groupe `a trois ´el´ements, o`u on a not´e el’´el´ement neutre. Montrer que g1g2=eet g2g1=e. En
d´eduire que g2
1=g2et g2 2=g1. Calculer g3 1et g3 2.
EXERCICE 6.
Soient H1, . . . , Hkdes sous-groupes d’un groupe G. Montrer que
k
\
i=1
Hiest un sous-groupe de G.
EXERCICE 7.
Soient Het Kdeux sous-groupes d’un groupe G. Montrer que H∪Kest un sous-groupe de Gsi et seulement si
H⊂Kou K⊂H.
EXERCICE 8.
Montrer que si tous les ´el´ements d’un groupe v´erifient x2= 1, alors ce groupe est ab´elien.
EXERCICE 9.
Soit Aet Bdeux sous-groupes d’un groupe commutatif G. Montrer que AB ={ab |a∈A, b ∈B}est un sous-groupe
de G.
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GLMA403 - FICHE N◦2B CPUS 2013-2014
GROUPES - GROUPE ENGENDR´ E ET ORDRE
EXERCICE 10.
Soit G={e, a, b, c}un groupe `a quatre ´el´ements, o`u on a not´e el’´el´ement neutre.
1) Montrer que l’ordre de chacun des ´el´ements a, b, c est soit 2 soit 4.
2) Si aest d’ordre 4, montrer que b=a2et c=a3, ou bien b=a3et c=a2.
3) Si a, b et csont tous d’ordre 2, montrer que ab =ba =c,ac =ca =bet bc =cb =a.
4) En d´eduire que tous les groupes d’ordre 4 sont commutatifs.
EXERCICE 11.
Soit Gun groupe `a 5 ´el´ements. Soit el’´el´ement neutre de G. Soit a∈Gun ´el´ement diff´erent de e. Montrer que l’ordre
de aest 5, et que Gpeut s’´ecrire G={e, a, a2, a3, a4}. Quel est l’inverse de a3? En d´eduire que tout groupe d’ordre 5
est commutatif.
EXERCICE 12.
Soit Gl’ensemble des permutations de l’ensemble J1,3K(autrement dit l’ensemble des application bijectives de J1,3K
dans lui-mˆeme). Montrer que, muni de la loi de composition des applications, Gest un groupe non-commutatif `a 6
´el´ements.
EXERCICE 13.
Soit Hl’ensemble form´e des matrices :
1 0
0 1 !, 1 0 0−1!, −1 0
0−1!, −1 0 0 1 !, 0i i0!, 0−i i0!, 0−i −i0!, 0i −i0!.
Montrer que, pour la multiplication des matrices dans M2(C), Hest un sous-groupe non commutatif `a 8 ´el´ements.
EXERCICE 14.
Soient aet bdeux ´el´ements d’un groupe Gd’ordres respectifs met net tels que met nsont premiers entre eux.
Montrer que, si ab =ba, alors l’ordre de ab est mn.
EXERCICE 15.
Soient xet ydeux ´el´ements d’un groupe G. Montrer que xy et yx ont le mˆeme ordre.
Indication : Distinguer les cas des ordres finis et infinis.
EXERCICE 16.
Soient Gun groupe et Hune partie non vide finie de G. On suppose que HH ⊆H.
1) Montrer que, si x∈H, alors pour tout n∈N∗,xn∈H.
2) Utiliser le principe des tiroirs pour montrer que 1 ∈H.
3) Montrer enfin que Hest un sous-groupe de G.
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GLMA403 - FICHE N◦2C CPUS 2013-2014
GROUPES - MORPHISMES
EXERCICE 17.
Soit G= (R∗,×) et h:(G→G
x7→ x2. Montrer que hest un morphisme de groupes et trouver son noyau.
EXERCICE 18.
Soit G= (C∗,×) et h:(G→G
x7→ x6. Montrer que hest un morphisme de groupes et d´eterminer l’ordre de son
noyau.
EXERCICE 19.
Soit Gun groupe. Donner une condition n´ec´essaire et suffisante pour que x7→ x−1soit un endomorphisme de G.
EXERCICE 20.
Soit a∈R. On d´efinit sur R\{a}la loi de composition x ? y =xy −ax −ay +a2+a= (x−a)(y−a) + a. Montrer que
(R\{a}, ?) est un groupe ab´elien isomorphe `a (R∗,×).
EXERCICE 21. D´eterminer tous les endomorphismes du groupe (Z,+).
EXERCICE 22.
Soient Gun groupe ab´elien et H,Kdeux sous-groupes de G. Montrer que f: (h, k)7→ hk est un morphisme de
H×Kdans G. D´ecrire le noyau de f, et montrer qu’il est isomorphe au groupe H∩K.
EXERCICE 23.
Soit Gun groupe.
1) Si g∈G, on pose fg:G→Gd´efinie par fg(x) = gxg−1. Montrer que fgest un automorphisme de G. On appelle
un tel automorphisme un automorphisme int´erieur de G, et on note Int(G) l’ensemble des automorphismes
int´erieurs de G.
2) Montrer que fgg0=fg◦fg0, et en d´eduire que Int(G) est un sous-groupe de Aut(G).
3) On pose F:(G→Aut(G)
g7→ fg
. Montrer que le noyau de Fest le centre Zde G.
EXERCICE 24.
Montrer que les groupes (Q,+) est (Q∗
+,×) ne sont pas isomorphes (indication : penser `a √2).
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GLMA403 - FICHE N◦2D CPUS 2013-2014
GROUPES - GROUPE QUOTIENT
EXERCICE 25.
Soit Al’ensemble de toutes les droites affines du plan.
1) La relation “xRysi xest orthogonale `a y” est-elle r´eflexive ? sym´etrique ? transitive ?
2) Montrer que la relation “xR0ysi xest soit orthogonale soit parall`ele `a y” est une relation d’´equivalence.
3) Soit Xune classe d’´equivalence pour cette relation R0. Sur Xon d´efinit une relation d’´equivalence en posant
“xR00ysi xest parall`ele ou ´egale `a y”. Quel est le cardinal de X/R00 ?
EXERCICE 26.
Soient G,G0deux groupes commutatifs, el’´el´ement neutre de G. Posons H=G×G0et H0={e} × G0. Montrer que
H/H0est isomorphe `a G.
EXERCICE 27.
Soit Gun groupe, posons H=G×G.
1) Montrer que H0={(g, g), g ∈G}est un sous-groupe de H.
2) Montrer que H0est isomorphe `a G.
3) Montrer que si Gest commutatif, H/H0est isomorphe `a G.
EXERCICE 28.
Soit Gle sous-groupe des racines n`emes de l’unit´e de C∗.
1) Montrer que Gest isomorphe `a Z/nZ.
2) Si Hest un sous-groupe d’ordre nde C∗, montrer que H=G.
3) Montrer que C∗/G est isomorphe `a C∗.
EXERCICE 29.
Soit Gun groupe commutatif et T(G) l’ensemble des ´el´ements de Gd’ordre fini.
1) Montrer que T(G) est un sous-groupe de G.
2) Montrer que le seul ´el´ement d’ordre fini de G/T (G) est l’´el´ement neutre.
3) Montrer que si Hest un sous-groupe de Gtel que le seul ´el´ement d’ordre fini de G/H soit l’´el´ement neutre, alors
T(G)⊂H.
4) Calculer T(R/Z).
EXERCICE 30.
Soit Gun groupe commutatif, et soient Het Kdeux sous-groupes de G.
1) Montrer que HK est un sous-groupe de G.
2) Montrer que Kest un sous-groupe de HK.
3) Montrer que H∩Kest un sous-groupe de H.
4) Montrer que les groupes HK/K et H/H ∩Ksont isomorphes.
EXERCICE 31.
Soient Get G0deux groupes commutatifs, Het H0des sous-groupes de Get G0respectivement. Soit ϕ:G→G0un
morphisme de groupes tel que ϕ(H) = H0. Si x∈G, notons xsa classe dans G/H, et si y∈G0, notons ˆysa classe
dans G0/H0. Montrer que φ:G/H →G0/H0, x 7→ [ ϕ(x) est bien d´efini, que φest un morphisme de groupes, que son
noyau est ´egal `a ϕ−1(H0)/H et son image `a Im ϕ/H0.
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GLMA403 - FICHE N◦2E CPUS 2013-2014
GROUPES - INDICATRICE D’EULER ET GROUPES CYCLIQUES
EXERCICE 32.
Calculer ϕ(24), ϕ(224), ϕ(256), ϕ(10!).
EXERCICE 33.
1) Trouver un n∈N∗tel que ϕ(n+ 1) < ϕ(n).
2) Trouver un n∈N∗tel que ϕ(n+ 1) >2ϕ(n).
3) Trouver un n∈N∗tel que ϕ(n+ 1) + 12 6ϕ(n).
EXERCICE 34.
Exprimer ϕ(2n) en fonction de ϕ(n).
EXERCICE 35.
Montrer que si n∈N∗est pair, alors ϕ(n)6n
2. Donner un exemple de nombre pair n > 40 tel que ϕ(n) = n 2.
EXERCICE 36.
Soit n∈N∗impair. Soient Pn={k∈N∗|k < n et k∧n= 1}et P2n={k∈N∗|k < 2net k∧2n= 1}. On d´efinit
une application f:
Pn→P2n
k7→ ksi kest impair
k7→ n+ksi kest pair.
Montrer que fest bien d´efinie et que c’est une bijection.
EXERCICE 37.
Montrer que pour tout entier n>3, ϕ(n) est un nombre pair.
EXERCICE 38.
Soient n∈N∗et Gun groupe `a n´el´ements. Soit f:G→C∗un morphisme de groupe.
1) Montrer que f(G)⊆Un.
2) Montrer qu’il existe un diviseur dde ntel que f(G) = Ud.
EXERCICE 39.
Soit Gle groupe (C∗,×).
1) Quel est le sous-groupe de Gengendr´e par U6∪U9?
2) Quel est le sous-groupe de G´egal `a U6∩U9?
EXERCICE 40.
Soit G1=Z/6Z×Z/2Zet G2=Z/4Z×Z/3Z.G1est-il cyclique ? G2est-il cyclique ?
EXERCICE 41.
Soient m, n ∈N∗tels que m∧n= 1 et Gun groupe cyclique d’ordre mn. Soient Gm={x∈G, xm= 1}et
Gn={x∈G, xn= 1}. Montrer que l’application ϕ:Gm×Gn→Gqui `a (x, y) associe xy est un isomorphisme de
groupes.
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