Ce qu`il faut savoir en 4ème

Ce qu'il faut savoir en 4ème ...
Droites
caractéristiques
Définition
Intersection des droites
1) Médiane
Demi-droite qui part d'un sommet et qui coupe
le côté opposé en son milieu.
Centre de gravité
(aux 2/3 du sommet)
2) Médiatrice
Droite qui coupe perpendiculairement et en son
milieu un côté.
Centre du cercle circonscrit
3) Bissectrice
Demi-droite qui coupe un angle en deux angles
égaux.
Centre du cercle inscrit
4) Hauteur
Demi-droite qui part d'un sommet et qui coupe
le côté opposé perpendiculairement.
Orthocentre
Théorèmes fondamentaux :
Théorème de Pythagore
I-
Le Th. de Pythagore est utilisé pour calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle dont on ne
connaît pas la mesure.
Th : Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égale à la somme
des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Enoncé : Sachant que ABC est rectangle en B, calculer BC
A
5
4
B
3
C
Rédaction : D’après la propriété de Pythagore dans le triangle ABC,
rectangle en B, on a :
AC² = AB² + BC²
BC² = AC² - AB²
BC² = 5² - 4² = 25 – 16 = 9
BC = √9 = 3
Donc BC mesure 3 cm …
La réciproque sert à démontrer qu’un triangle est rectangle.
Réciproque :
Si le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des 2
autres côtés, alors le triangle est rectangle.
Autre Utilisation de la réciproque de Pythagore :
Pythagore appliqué au cercle :
C
O
A
B
II-
Soit deux points A et B, placés sur le cercle, tels
que [AB] forme un diamètre du cercle. Soit un
troisième point C, placé sur le cercle, non confondu
avec A ou B, alors le triangle formé par ces trois
points est rectangle en C.
Théorème de Thalès
Le théorème de Thalès sert à calculer des longueurs dans un triangle, mais il faut pour pouvoir l’utiliser
se placer dans deux triangles (quelconques), dont l’un est le grandissement (ou la réduction) de l’autre.
Ainsi il y aura un rapport de proportionnalité entre les côtés parallèles.
Th : Soit le triangle ADF réduction du triangle ABC, avec
A, D, C et A, E, B alignés dans cet ordre, et (DE)//(CB),
le théorème de Thalès nous dit que :
AD AE DE
=
=
AC AB CB
A
D
E
B
C
III-
Cosinus d'un angle
Le cosinus est une fonction mathématique qui nous permet de calculer la valeur des angles d'un triangle
rectangle, à partir de la longueur des côtés de ce triangle. La touche "cos" se trouve sur la calculette.
Par définition, on a : (α un angle)
cosα =
longueur du côté adjcent à α
longueur de l'hypoténuse
Exemple : (voir I)
( )
cos BÂC =
longueur du côté adjcent à BÂC AB 4
=
=
longueur de l'hypoténuse
AC 5
soit BÂC = cos-1(4/5) = 37°