Les probabilités Les probabilités représentent l`essence même des

Les probabilités
Les probabilités représentent l’essence même des statistiques. L’approche fréquentiste et
bayésienne sont basées sur la notion de probabilité. Il devient donc important de bien
saisir les nuances des probabilités. A cet effet, nous attacherons une attention particulière
sur l’identification des caractéristiques propres aux probabilités ainsi qu’aux différentes
caractéristiques des distributions.
Distinctions entre le caractère empirique et théorique des variables. Une variable est
empirique lorsqu’elle est observée et elle est dite théorique lorsqu’elle anticipée. Prenons
l’exemple d’un dé à six faces. Chaque coté porte un chiffre de 1 à 6. En théorie, si le dé
est bien équilibré, chaque chiffre à une chance égale et connue de « sortir » à chaque
tirage. Cette chance est égale à 1/6. Aussi, si nous répétons le lancé du dé 300 fois nous
nous attendons, en théorie, à avoir les résultats suivants :
Chiffre Résultat théorique
1 50
2 50
3 50
4 50
5 50
6 50
Total 300
Le chiffre 50 représente 1/6 du total tel que 6
300 = 50
Ce chiffre représente la valeur théorique ou la fréquence que l’on s’attend à avoir si on
répète 300 fois l’expérience. Bien entendu il est très rare que le nombre théorique est
exactement le même que la fréquence observée que certains appellent également
variables empiriques. Cette distinction entre la fréquence théorique et la fréquence
observée nous servira éventuellement dans le calcul du Khi carré.
La notion du OU et du ET
La première règle dans le calcul des probabilités est celle du OU et du ET. Lorsque la
question comporte la notion du OU on additionne les probabilités alors que lorsque la
question comporte ET on multiplie les probabilités. Il est donc essentiel dans la lecture
d’un problème d’identifier la situation. Pour l’exemple des dés la probabilité que le
chiffre 2 sorte est de 1/6. Il y a une chance sur 6 que cela arrive. Toutefois si la question
est « Quelle est la probabilité que le chiffre 2 OU 3 sorte? » alors la probabilité devient
1/6 ou 1/6 donc 1/6+1/6 = 2/6 (on peut arrondir à 1/3 ou une chance sur trois).

Cependant si la question est « Quelle est la probabilité que sur deux tirages consécutifs le
chiffre 2 sorte deux fois de suite? » nous aurions ici le chiffre 2 au premier tirage ET le
chiffre 2 au deuxième tirage donc 1/6*1/6 =1/36 (une chance sur 36).
Les combinaisons et les permutations
Il est important, dans un premier temps, d’examiner les différentes situations dans la
sélection des éléments d’un échantillon. Ceci aura également un impact sur le calcul des
probabilités. La première étape consiste à identifier ces situations. Il s’agit en fait de
répondre à trois questions :
1) Est-ce que le calcul est basé sur un échantillon ou sur l’ensemble de la population?
2) Est-ce que l’ordre de sélection est important ou non?
3) Est-ce qu’il y a remise ou non?
Pour ce dernier cas il s’agit de déterminer si l’élément peut être sélectionné encore. Par
exemple, un individu est sélectionné au hasard pour participer à une enquête et ce dernier
pourrait être sélectionné encore une fois. Le tableau récapitulatif qui suit illustre le tout :
Tableau des formules
Arrangement
(ordre important et
échantillon)
Permutation (ordre
important et
population)
Combinaison
(Ordre pas
important)
Sans remise
(NPR)
N!
(N-k)!
N!
N!
k! * (N-k)!
Avec remise Nk N
n (N+k-1)!
k! * (N-1)!
Légende: N = Nombre dans la population et k = Nombre de sélection
(NCR)
NpR et NcR représentent les fonctions sur la calculatrice.
Nous introduisons ici le symbole ! qui représente le factoriel. Le factoriel indique que le
chiffre est multiplié par ses précédents. Par exemple 6! = 6*5*4*3*2*1 = 720 alors que
10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 3628800
Exemple :
Dans un bureau il y a quatre employés soit : André, Bernard, Carole et Denise. Le patron
décide de former des équipes de deux personnes. Pour constituer les équipes le patron
décide d’inscrire le nom des quatre employés sur un bout de papier et de mettre le tout
dans un chapeau. Combien d’équipes de 2 personnes le patron peut–il faire avec ces 4
employés s’il n’y a aucune remise de nom, c'est-à-dire que le nom une fois sélectionné ne
peut être pigé de nouveau, et que l’ordre n’est pas important ?

La formule utilisée serait: )!(!
!
kNk
N
−
Nous avons ainsi pour notre exemple :
)!(!
!
kNk
N
− = )!24(!2
!4
− = 2*2
1*2*3*4 = 4 24 = 6
Il y aurait donc 6 équipes possibles. En utilisant la fonction NcR sur votre calculatrice
vous obtiendrez ce résultat. (Vous inscrivez 6 puis la touche 2nd function puis la touche
NcR puis l chiffre 2.
On peut illustrer cette réponse de la façon suivante :
André Bernard Carole Diane
André X 1 2 3
Bernard X X 4 5
Carole X X X 6
Diane X X X X
L’ordre n’étant pas important les équipes André/Bernard et Bernard/André sont
équivalentes et forment une seule et même équipe. Les équipes avec le même nom sont
impossibles puisqu’il n’y a pas remise.
Si l’ordre est important, par exemple le premier nom sélectionné doit faire une tâche
supplémentaire, alors nous utiliserions la formule suivante :
()
!
!
kN
N
−=
()
!24
!4
−= 1*2
1*2*3*4 =2 24 =12
On peut illustrer cette réponse de la façon suivante :
André Bernard Carole Diane
André X 1 2 3
Bernard 4 X 5 6
Carole 7 8 X 9
Diane 10 11 12 X

En utilisant la fonction NpR sur votre calculatrice vous obtiendrez ce résultat.
S’il est possible que l’employé sélectionné soit de nouveau éligible nous aurions alors
une sélection avec remise. L’employé pourrait, théoriquement, ainsi faire équipe avec lui-
même. Si l’ordre est important (ne demandez pas pourquoi !) alors nous aurions Nk
équipes. Dans ce cas ci 42 ou 16 équipes tel que le tableau suivant illustre. C’est 42 parce
qu’il y a 4 personnes et nous désirons des équipes de deux personnes. Le tableau qui suit
illustre les résultats :
André Bernard Carole Diane
André 1 2 3 4
Bernard 5 6 7 8
Carole 9 10 11 12
Diane 13 14 15 16
S’il y a remise mais que l’ordre n’est pas important alors nous aurions :
)!1(!
)!1(
−
−+
Nk
kN = )!14(!2
)!124(
−
−+ = )!3(!2
!5 = 12 120 = 10
On peut illustrer cette réponse de la façon suivante :
André Bernard Carole Diane
André 1 2 3 4
Bernard X 5 6 7
Carole X X 8 9
Diane X X X 10
Lorsqu’on utilise toute la population
Si tous les éléments d’une population sont utilisés nous utiliseront les formules qui
suivent.
Supposons que lors d’une réunion, le patron veut connaître le nombre de façons
différentes que les employés peuvent se placer devant lui. Ici tous les employés doivent
donc être sélectionnés. (toute la population est ainsi utilisée). Il y a donc N ! manières
différentes de placer les employés. 4 ! = 24
Si l’employé peut être sélectionné à chaque tirage (avec remise) nous aurions alors NN
manières ou 44 = 256
Il est évident que l’utilisation de l’un ou l’autre de ces calculs dépend de la situation.

Les distributions
Il est important de souligner qu’il existe plusieurs types de distributions probabilistes.
Également connu sous le nom de Loi discrètes, ces distributions ont un ensemble de
possibilités qui respectent certaines conditions. Il s’agit donc de reconnaître ces
conditions afin d’être en mesure d’appliquer correctement la loi qui s’y rattache. Nous
nous attarderons cependant aux principales d’entres elles et qui sont au nombre de six.
La distribution binomiale
Afin d’identifier si on a affaire à une distribution binomiale retenons les deux premières
lettre soit bi. Bi veut dire deux. On a affaire à une distribution binomiale lorsqu’il y a
deux possibilités de résultats. Par exemple, un appareil fonctionne ou ne fonctionne pas;
soit nous sommes un homme soit une femme; la réponse à un examen est vraie ou fausse,
nous sommes pour ou contre, un produit est défectueux ou fonctionne, etc.
La formule d’une distribution binomiale est la suivante :
()( )
xnx pp
x
n−
−
1
n signifie le nombre de sélection ou l’échantillon total
x la partie de l’échantillon qui possède la caractéristique recherchée
p la probabilité connue de la caractéristique de la partie de l’échantillon recherché
1-p la probabilité de l’autre partie de l’échantillon. Le 1 représentant ici 100%
n-x La différence entre la taille de l’échantillon et le nombre de sélection qui possède
la caractéristique recherchée
Exemple :
Supposons que l’on désire interroger 20 personnes. Nous voulons connaître la probabilité
que sur ces 20 personnes il y ait exactement 12 femmes. Supposons également que nous
savons que dans la population à l’étude 52% des personnes sont des femmes. Nous
aurions donc :
n = 20 (Nous désirons un échantillon de 20 personnes)
x = 12 (nous désirons 12 femmes)
p = ,52 (il y a 52% de femmes dans la population)
1-p = ,48 (puisqu’il il y a 52% de femmes il y a donc 48% d’hommes (100% - 52% =
48%)
Ainsi :
()( )
xnx pp
x
n−
−
1