Master en sciences mathématiques THÉORIE DE LA MESURE

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THÉORIE DE LA MESURE
Répétition 1, octobre 2010
Exercice 1. Soit Xun ensemble. Déterminer si les systèmes suivants sont des algèbres ou
des σ-algèbres :
1. si Xest infini, A:= {A⊆X:Aest fini};
2. si Xest infini, B:= {A⊆X:Aest fini ou Acest fini};
3. si Xn’est pas dénombrable, C:= {A⊆X:Aest dénombrable };
4. D:= {A⊆X:Aest dénombrable ou Acest dénombrable };
5. si X=Rd,E:= {A∈Bd:Aest dénombrable ou Acest dénombrable },
6. si X=R,F:= {A⊆R:Aest un intervalle ou Acest un intervalle}
A-t-on D=P(X)? Pourquoi ?
Exercice 2. Soit Xun ensemble et A1,...,Anune partition finie de X. Décrire la σ-algèbre
engendrée par ce système.
Exercice 3. Soit Xun ensemble infini. Décrire la σ-algèbre engendrée par la classe des
parties finies de X(resp. par les singletons de X). Qu’en est-il si Xest fini ?
Exercice 4 (Sous-σ-algèbre).Soit (X, A)un espace mesurable et Aun sous-ensemble non
vide de X. Démontrer que
A|A={A∩B:B∈ A}
est une σ-algèbre sur A.
Exercice 5. a) Montrer, à l’aide d’un exemple, que la réunion de deux σ-algèbres n’est
en général pas une σ-algèbre.
b) Soient Aet Bdeux σ-algèbres sur X. Démontrer que l’on a
σ(A ∪ B) = σ({A∪B:A∈ A, B ∈ B})
=σ({A∩B:A∈ A, B ∈ B}).
Exercice 6. Donner un exemple de suite décroissante d’ensembles (An)n∈Ntelle que pour
tout n,Anest infini et Tn∈NAn=∅.
Exercice 7. Soit Xun ensemble. Démontrer qu’un système D ⊆ P(X)est une classe de
Dynkin si et seulement si
•X∈ D,
•si A,B∈ D et A⊆B, alors B\A∈ D,
•si (An)nest une suite croissante d’ensembles de D, alors ∪nAn∈ D.

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THÉORIE DE LA MESURE
Répétition 2, octobre 2010
Exercice 1. Soit Xun ensemble fini non vide. Démontrer que la loi
P:P(X)→[0,+∞[A7→ #A/#X
est une probabilité sur (X, P(X)) (appelée probabilité de Laplace).
Exercice 2. Soit(X, A)un espace mesurable et x0∈X.
1. Démontrer que la loi
δx0:A → {0,1}A7→ χA(x0)
est une mesure sur (X, A)(appelée mesure de Dirac).
2. Démontrer que si µest une mesure sur (X, A)telle que µ(A) = 0 pour tout A∈ A
vérifiant x0/∈A, alors µest un multiple (dans R) de δx0.
Exercice 3. On considère sur Rla σ-algèbre
A={A∈ P(R) : Aest dénombrable ou Acest dénombrable}.
Soit µ:A → [0,+∞]définie par
µ(A) = 0si Aest dénombrable,
1sinon.
Montrer que µest une probabilité sur (R,A).
Exercice 4. Nous considérons l’ensemble R2et le système
A={A∈ P(R2) : Aou Acest inclus dans une union dénombrable de droites}.
1. Montrer que (R2,A)est un espace mesurable.
2. Soit µ:A → [0,+∞]définie par
µ(A) = 0si Aest inclus dans une union dénombrable de droites,
1sinon.
L’application µest-elle une probabilité sur (R2,A)?
Exercice 5. 1. Soit (X, A)un espace mesurable et (µn)n∈N0une suite croissante de
mesures : pour tout A∈ A et pour tout n∈N0, on a µn(A)≤µn+1(A). Démontrer
que µ(A) := limn→+∞µn(A)définit une mesure sur (X, A).
2. Soit (µn)n∈N0une suite arbitraire de mesures sur (X, A). Déterminer si l’application
µ(A) = +∞
n=1 µn(A)définit une mesure sur (X, A).
3. Sur l’espace mesurable (N,P(N)), on définit pour tout n∈N,νn(A) = #(A∩
[n, +∞]). Montrer que (νn)∈Nest une suite de mesures décroissante sur (N,P(N)).
4. Soit ν:P(N)→[0,+∞]définie par ν(A) = infn∈Nνn(A). S’agit-il d’une mesure
sur (N,P(N)) ? Déterminer ν(N)ainsi que ν({k})pour tout k∈N. On demande de
caractériser complètement ν.
Exercice 6. Est-il correct d’affirmer qu’il existe des ouverts denses dans Rde mesure de
Lebesgue non nulle aussi petite ou aussi grande que l’on veut ? Pourquoi ?

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THÉORIE DE LA MESURE
Répétition 3, octobre 2010
Nous pouvons définir la notion de mesurabilité pour des applications dont le domaine
et l’image sont des ensembles quelconques de la manière suivante.
Soient (X, A)et (Y, B)deux espaces mesurables et A∈ A. Une application f:A→Y
est une application mesurable par rapport à Aet Bsi f−1(B)∈ A pour tout B∈ B.
Exercice 1. Soient (X, A),(Y, B)et (Z, C)des espaces mesurables. Soient f: (Y, B)→
(Z, C)et g: (X, A)→(Y, B)des applications mesurables (au sens de la définition donnée
ci-dessus). Démontrer que la composition f◦g: (X, A)→(Z, C)est encore mesurable.
Exercice 2. Soient (X, A)et (Y, B)deux espaces mesurables et Cune collection de
sous-ensembles de Ytelle que σ(C) = B. Montrer qu’une application f:X→Yest
mesurable par rapport à Aet Bsi et seulement si f−1(B)∈ A pour tout B∈ C (il suffit
donc de vérifier la mesurabilité sur un générateur pour démontrer qu’une application est
mesurable).
Exercice 3. En conclure que la continuité entraîne la mesurabilité, c’est-à-dire si (X, B(X))
et (Y, B(Y)) sont deux espaces mesurables et f:X→Yune application continue, alors
fest mesurable par rapport à B(X)et B(Y).
Exercice 4. Soient (X, A)et (Y, B)des espaces mesurables et (fk)kune suite d’applica-
tions mesurables de (X, A)dans (Y, B). Si (Ak)kest une suite d’ensembles disjoints de A
tels que ∪kAk=X, démontrer que l’application définie au cas par cas par
f:X→Y x 7→ fk(x)si x∈Ak
est encore mesurable.
Exercice 5. Soient (Y, d)un espace métrique et (X, A)un espace mesurable. Si (fk)kest
une suite d’applications de Xdans Ymesurables par rapport à Aet B(Y)qui converge
ponctuellement vers une fonction f, démontrer que la limite fest encore mesurable.
Exercice 6. On définit une σ-algèbre particulière sur la droite étendue Rpar B={B∪C:
B∈B, C ⊆ {−∞,+∞}}. Démontrer que l’on a
B=σ({[−∞, x] : x∈R}).
Soient (X, A)un espace mesurable, A∈ A et fune application de Adans R. Montrer
que l’application fest A-mesurable (au sens vu au cours théorique) si et seulement si elle
est mesurable par rapport à Aet B(au sens défini ci-dessus).
Exercice 7. Soient (X, A)un espace mesurable et fune application de Xdans Rd. Si
(fk)d
k=1 désignent les composantes de f, c’est-à-dire f= (f1, ..., fd), démontrer que fest
mesurable par rapport à Aet Bdsi et seulement si les applications fksont A-mesurables.
Exercice 8. Soit ξ⊆P(X)un système quelconque. Démontrer que l’on a
σ(ξ) =
F⊆ξdénombrable
σ(F).

Rd
f g :R→R
RLR
(xn)n∈N0µ(R,B)
µ=+∞
n=1 δxnf g :R→Rµ
f(xn) = g(xn)n∈N0
f:R→R
f(x) = 1x∈Q
0x /∈Q
g: [0,1] →[0,1]
g(x) =
1
qx=p qp q q > 0
0x= 0 x /∈Q
L
(X, A, µ) (Y, B, ν)E⊆X
µ x ∈E Ax⊆Y ν
x∈EAx
E F Rd
E+F={x+y:x∈E, y ∈F}
(X, A, µ)f g L1(X, A, µ, R)
f∧g f ∨gL1(X, A, µ, R)
(X, A, µ) (Am)m∈N0A
(cm)m∈N0
fc:= +∞
m=1 cmχAmX
fc
+∞
m=1 |cm|µ(Am)
fcdµ =
+∞
m=1
cmµ(Am)|fc|dµ =
+∞
m=1
|cm|µ(Am).

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THÉORIE DE LA MESURE
Répétition 5, novembre 2010
Exercice 1. Soit la fonction fdéfinie sur ]0,1]×]0,1] par
f(x, y) = x2−y2
(x2+y2)2
Démontrer sur cet exemple que l’on ne peut impunément intervertir les intégrales.
Exercice 2. Soit (X, T)un espace topologique. Considérons une mesure µsur l’espace
mesurable (X, B(X)). On définit le support (ou spectre) de µpar
supp(µ) = {x∈X:∀V∈ Vx∩ T , µ(V)>0}
où Vxdésigne le système des voisinages de X. Démontrer que
1. tout ouvert non vide est de mesure µstrictement positive si et seulement si supp(µ) =
X,
2. le support de µest un fermé de X,
3. si Xest un espace métrique séparable et si A∈ B(X)vérifie A⊆X\supp(µ), alors
µ(A) = 0,
4. si Xest un espace métrique séparable, pour toute fonction f:X→Rµ-intégrable,
on a
X
fdµ =
supp(µ)fdµ,
5. si Xest un espace métrique séparable, démontrer qu’une définition équivalente du
support de µest donnée comme étant le plus grand fermé Cde Xvérifiant
Ω∈ T et Ω∩C6= 0 ⇒µ(Ω ∩C)>0,
6. déterminer le support de la mesure de Lebesgue et de Dirac sur R,
7. déterminer si la réciproque du point 3. est correcte ou non (avec justifications),
8. caractériser l’ensemble des fonctions définies sur Rqui sont δx-intégrables (x∈R)
ainsi que les valeurs des intégrales.
Exercice 3. Soit (X, A)un espace mesurable tel que {x} ∈ A pour tout x∈X. Une
mesure µsur (X, A)est dite diffuse si µ({x}) = 0 ∀x∈X. Elle est dite purement atomique
si ∃S∈ A :µ(Sc) = 0 et µ({x})>0∀x∈S.
1. Montrer qu’une mesure purement atomique et diffuse est nulle.
2. En considérant l’espace mesurable (R,B), donner un exemple de mesure purement
atomique et un exemple de mesure diffuse (non identiquement nulle).