2 22 2 =

Correction Devoir surveillé n°5 TES
Exercice 1 : Calculs d'intégrale. (/3,5)
Calculer les intégrales suivantes :
1)
∫
−1
2
x33x2–5dx=
[
x4
4x3−5x
]
−1
2
=
16
48−10
−
1
4−15
=2−
1
44
=2−1
4−4=−2−1 4=−9 4=−2,25
2)
∫
0
1
3xx21dx=3
2∫
0
1
2xx21dx =3
2
[
x212
2
]
0
1
=3
2
22
2−12 2
=3
2
2−1
2
=3
2×3 2=9 4=2,25
3) On reconnaît la forme
u '
u
dont une primitive est
lnu
ou
ln−u
en fonction du signe de
u
sur
l'intervalle considéré : étudions le signe du polynôme du 2nd degré
t25t – 4
;
Δ=2516=410
donc
t1=−5–
41
2≃−5,7
et
t2=−5
41
2≃0,7
; donc le polynôme est strictement positif (signe du coefficient
de
t2
) sur
]
t2;∞
[
qui contient l'intervalle
[ 2;3 ]
donc une primitive sur
[ 2;3 ]
sera
lnu
.
∫
2
32t5
t25t−4dt=
[ lnt25t−4 ]
2
3=ln915−4−ln410−4=ln20−ln10=ln 20
10 =ln2
Exercice 2 : Valeur moyenne d'un action. (/8)
Le cours d'une action cotée en bourse, exprimé en dizaine d'euros est modélisé par une fonction
f
définie sur
[1 ; 13] par
fx=2x4–8ln x
où
x
représente le nombre de mois écoulés à partir du 1er décembre 2005.
1) Étudiez les variations de
f
sur [1 ; 13].
Pour tout
x∈[1;13]
,
f ' x=2–8
x=2x – 8 x
.
Étudions le signe de la fonction
x2x – 8
x
sur
ℝ ∖{0}
pour en déduire les variations de
f
sur [1 ; 13] :
2x – 8=0⇔2x=8⇔x=8
2⇔x=4
f1=6
et
f4=12 –16 ln2≃0,91
et
f13=30–8ln13≃9,5
x
−∞
0
1
4
13
∞
2x−8
– | – | – 0 + | +
x
– 0 + | + | + | +
2x – 8
x
+ || – | – 0 + | +
Var de
f
6
12 –16 ln2
30 –8ln13

2) À quelle date de l'année 2006 sera-t-il judicieux pour un investisseur d'acheter des actions ? Calculez sa
dépense arrondie à un euros près.
Il sera judicieux pour un investisseur d'acheter des actions le 1er Avril 2006 car la fonction
f
atteint son
minimum en
x=4
, ce qui lui coutera environ
f4=12 –16 ln2≃0,91
dizaine d'euros c'est à dire 9 euros.
3.1) Vérifiez que la fonction
F
définie sur [1 ; 13] par
Fx= x212 x – 8x ln x
est une primitive de
f
.
Pour tout
x∈[1;13]
,
F ' x=2x12 – 8lnx 8x
x
=2x12−8ln x–8=2x4−8ln x= fx
.
Donc
F
est une primitive de
f
sur [1 ; 13].
3.2) Calculez la valeur moyenne de
f
sur l'intervalle [1 ; 13] (Donnez sa valeur exacte puis sa valeur
approchée à 1 euros près).
Cette valeur moyenne est donnée par la formule (unité = une dizaine d'euros) :
Vm=1
13 –1∫
1
13
fxdx=1
12
[ Fx ]
1
13=1
12
13212×13−8×13ln13 −112 =1
12
312−104ln 13 ≃3,77
La valeur moyenne de
f
sur l'intervalle [1 ; 13] est donc approximativement de 38 euros.
Commentaire : En économie, on prend souvent cette valeur moyenne comme approximation de la valeur moyenne de l'action au cours d'une année.
Exercice 3 : Calculs d'aire. (/4)
Dans un repère orthonormal
O ; i , j
d'unité graphique 3 cm, on considère
f
la fonction définie
sur
ℝ
par
fx=1
3x21
.
1) Montrer que
f
est positive sur [1 ; 3].
Pour tout
x∈ℝ
,
x2≥0et 1
30
⇒1
3x2≥1 3×0⇒1 3x2≥0⇒1 3x21≥1≥0
.
Donc, a fortiori,
f
est positive sur [1 ; 3].
2) On considère l'aire A du domaine plan limité par la courbe représentative de
f
, l'axe des abscisses et les
droites d'équations respectives
x=1
et
x=3
. Calculer la valeur exacte de A en ua, puis en donner sa valeur
en cm² approchée à
10−2
près par défaut si besoin est.
Comme
f
est positive sur [1 ; 3], l'aire demandée en ua est donnée par :
A=∫
1
3
fxdx=∫
1
3
1
3x21
dx=
[
x3
9x
]
1
3
=
27
93
−
1
91
=33−1
9−1=5−1 9=44 9
ua
Sachant que
1ua=3×3cm² =9cm²
, cela donne en cm², A
=44
9×9=44cm²

Exercice 4 : Calculs d'aire. (/4,5)
On considère la fonction
f
définie sur
] 0;∞ [
par
fx=2x – 38
x2
.
Cf
est la courbe représentative de
f
dans un repère orthogonal (3 cm comme unité en abscisse et 2 cm
comme unité en ordonnée) et
D
la droite représentative de la fonction affine
g
définie par
gx=2x – 3
.
(le graphique n'est pas à l'échelle)
1) Étudiez la position de
Cf
par rapport à
D
sur
] 0;∞ [
(par le calcul).
Pour cela on étudie le signe sur
] 0;∞ [
de la différence entre
fx
et
gx
:
fx–2x – 3= 8
x20
pour tout
x∈ ] 0;∞ [
(car
80
et
x20
pour
x≠0
). Ainsi sur
] 0;∞ [
,
Cf
est au dessus de
D
(ce que l'on peut vérifier graphiquement).

2) Calculez l'aire du domaine hachuré, d'abord sa valeur exacte en ua, puis sa valeur en cm² approchée à
10−2
près par défaut si besoin est.
Sachant qu'on a
Cf
est au dessus de
D
sur
] 0;∞ [
et a fortiori sur [2 ; 5], on a, en ua, l'aire hachurée :
Aua=∫
2
5
fx– g x dx=∫
2
58
x2dx=
[
−8
x
]
2
5
= −8
5
− −8
2
=−8
54=12 5=2,4 ua
Or
1ua=3×2cm²=6cm²
. Donc
Acm² =2,4×6=14,4 cm²
Exercice Bonus : Pour cent cycles (/1)
Un marchand de cycles vient de vendre deux scooters d'occasion pour la somme totale de 2 100 €. Il a réalisé
10 % de bénéfice sur la vente du premier scooter, mais il a perdu 10 % sur l'autre. Globalement il a réalisé un
bénéfice de 5 %.
Combien avait-il acheté chacun des scooters ?
Notons
p1
le prix du premier scooter acheté par le marchand et
p2
celui du second scooter.
L'énoncé se traduit par :
p1×1,10p2×0,90=2100
et
p1p2×1,05=2100
.
{
p1p2×1,05=2100
p1×1,10p2×0,90=2100 ⇔
{
p1p2=2100
1,05
p1×1,1p2×0,9=2100
⇔
{
p1p2=2000
p1×1,1p2×0,9=2100
⇔
{
p1=2000−p2
2000−p2×1,1p2×0,9=2100⇔
{
p1=2000−p2
2000×1,1−p2×1,1p2×0,9=2100 ⇔
{
p1=2000−p2
2200−p2×0,2=2100
⇔
{
p1=2000−p2
2200−2100=0,2 p2
⇔
{
p1=2000−p2
100=0,2 p2
⇔
{
p1=2000−p2
100
0,2 =p2
⇔
{
p1=2000−500
500=p2
⇔
{
p1=1500
p2=500
Il avait acheté le premier 1 500 € et le second 500 €.