2 22 2 =

Correction Devoir surveillé n°5
Exercice 1 : Calculs d'intégrale.
TES
(/3,5)
Calculer les intégrales suivantes :
[
2
x4
1) ∫  x 3 x – 5 dx=
x 3−5 x
4
−1
3
2
1
] 
2
=
−1

  
]    
16
1
1
1
1
9
8−10 − −15 =2− 4 =2− −4=−2− =− =−2,25
4
4
4
4
4
4
[
1
1
2
2
3
3  x 1
3 22 12 3
2
∫ 3 x  x 1dx= 2 ∫ 2 x  x 1dx = 2 2 = 2 2 − 2 = 2 2− 12 = 32 × 32 = 94 =2,25
0
0
0
2
2)
3) On reconnaît la forme
u'
u
dont une primitive est ln u ou ln−u en fonction du signe de u sur
l'intervalle considéré : étudions le signe du polynôme du 2 nd degré t 25 t – 4 ;
t 1=
Δ=2516=410 donc
−5 –  41
−5 41
≃−5,7 et t 2=
≃0,7 ; donc le polynôme est strictement positif (signe du coefficient
2
2
] t2 ;∞ [
de t 2 ) sur
qui contient l'intervalle [ 2 ; 3 ]
3
donc une primitive sur [ 2 ; 3 ]
sera lnu .
2 t5
20
dt=[ lnt 25 t−4 ] 2=ln915−4−ln410−4=ln 20−ln10=ln  =ln 2
∫ t 25
10
t−4
3
2
Exercice 2 : Valeur moyenne d'un action. (/8)
Le cours d'une action cotée en bourse, exprimé en dizaine d'euros est modélisé par une fonction
[1 ; 13] par
f  x =2 x4 – 8 ln x où
1) Étudiez les variations de
x ∈[1 ; 13] ,
Pour tout
f définie sur
x représente le nombre de mois écoulés à partir du 1 er décembre 2005.
f sur [1 ; 13].
f '  x=2 –
Étudions le signe de la fonction
x
8 2x–8
=
.
x
x
2 x –8
x
sur ℝ ∖ {0} pour en déduire les variations de
f sur [1 ; 13] :
8
2 x – 8=0⇔ 2 x=8 ⇔ x= ⇔ x=4
2
f 1=6 et
f 4=12 – 16 ln 2≃0,91 et
−∞
x
f 13=30 – 8 ln 13≃9,5
1
0
13
4
∞
2 x−8
–
|
–
|
–
0
+
|
+
x
–
0
+
|
+
|
+
|
+
2x–8
x
+
||
–
|
–
0
+
|
+
6

Var de
f
12 – 16 ln  2

30 – 8ln 13 
2) À quelle date de l'année 2006 sera-t-il judicieux pour un investisseur d'acheter des actions ? Calculez sa
dépense arrondie à un euros près.
Il sera judicieux pour un investisseur d'acheter des actions le 1er Avril 2006 car la fonction
minimum en
x=4 , ce qui lui coutera environ
3.1) Vérifiez que la fonction
Pour tout
Donc
f 4=12 – 16 ln 2≃0,91 dizaine d'euros c'est à dire 9 euros.
F  x = x 212 x – 8 x ln x est une primitive de
F définie sur [1 ; 13] par

F '  x=2 x12 – 8ln x 
x ∈[1 ; 13] ,
F est une primitive de
f atteint son
f .

8x
=2 x12−8 ln x – 8=2 x4−8 ln x= f  x .
x
f sur [1 ; 13].
3.2) Calculez la valeur moyenne de
f sur l'intervalle [1 ; 13] (Donnez sa valeur exacte puis sa valeur
approchée à 1 euros près).
Cette valeur moyenne est donnée par la formule (unité = une dizaine d'euros) :
13
V m=
13
1
1
1
1
f  x dx= [ F  x ] 1 =   13212×13−8×13 ln 13  −112 =  312−104 ln 13  ≃3,77
∫
13 – 1 1
12
12
12
La valeur moyenne de
f sur l'intervalle [1 ; 13] est donc approximativement de 38 euros.
Commentaire : En économie, on prend souvent cette valeur moyenne comme approximation de la valeur moyenne de l'action au cours d'une année.
Exercice 3 : Calculs d'aire. (/4)
Dans un repère orthonormal O ; i , j d'unité graphique 3 cm, on considère
sur ℝ par
1) Montrer que
Pour tout
1
f  x = x 21 .
3
f est positive sur [1 ; 3].

x ∈ℝ ,
Donc, a fortiori,
f la fonction définie
x 2≥0 et

1
1
1
1
1
0 ⇒ x 2 ≥ ×0⇒ x 2≥0 ⇒ x 21≥1≥0 .
3
3
3
3
3
f est positive sur [1 ; 3].
2) On considère l'aire A du domaine plan limité par la courbe représentative de
droites d'équations respectives
f , l'axe des abscisses et les
x=3 . Calculer la valeur exacte de A en ua, puis en donner sa valeur
x=1 et
en cm² approchée à 10−2 près par défaut si besoin est.
Comme
f est positive sur [1 ; 3], l'aire demandée en ua est donnée par :
3
3
1
1
A=∫ f  x dx=∫

 [
] 
3
 
1 2
x3
27
1
1
1 44
ua
x 1 dx=
x =
3 − 1 =33− −1=5− =
3
9
9
9
9
9 9
1
Sachant que 1 ua=3×3cm² =9 cm² , cela donne en cm², A =
44
×9=44 cm²
9
Exercice 4 : Calculs d'aire. (/4,5)
On considère la fonction
f définie sur ] 0 ;∞ [
C f est la courbe représentative de
comme unité en ordonnée) et
par
f  x =2 x – 3
8
.
x2
f dans un repère orthogonal (3 cm comme unité en abscisse et 2 cm
D la droite représentative de la fonction affine g définie par
g  x =2 x – 3 .
(le graphique n'est pas à l'échelle)
1) Étudiez la position de C f par rapport à
Pour cela on étudie le signe sur ] 0 ;∞ [
f  x  – 2 x – 3=
8
0 pour tout
2
x
C f est au dessus de
D sur ] 0 ;∞ [
de la différence entre
x ∈ ] 0 ;∞ [ (car 80 et
(par le calcul).
f  x  et
g x :
2
x 0 pour
D (ce que l'on peut vérifier graphiquement).
x≠0 ). Ainsi sur ] 0 ;∞ [ ,
2) Calculez l'aire du domaine hachuré, d'abord sa valeur exacte en ua, puis sa valeur en cm² approchée à
10−2
près par défaut si besoin est.
D sur ] 0 ;∞ [
Sachant qu'on a C f est au dessus de
5
5
2
2
Aua =∫  f  x – g  x  dx=∫
et a fortiori sur [2 ; 5], on a, en ua, l'aire hachurée :
[ ]   
5
8
8
8
8
8
12
dx= − = − − − =− 4= =2,4 ua
2
x 2
5
2
5
5
x
Or 1 ua=3×2 cm²=6 cm² . Donc
Acm² =2,4×6=14,4 cm²
Exercice Bonus : Pour cent cycles (/1)
Un marchand de cycles vient de vendre deux scooters d'occasion pour la somme totale de 2 100 €. Il a réalisé
10 % de bénéfice sur la vente du premier scooter, mais il a perdu 10 % sur l'autre. Globalement il a réalisé un
bénéfice de 5 %.
Combien avait-il acheté chacun des scooters ?
Notons
p1 le prix du premier scooter acheté par le marchand et
L'énoncé se traduit par :
{
p1 ×1,10 p2 ×0,90=2100 et  p1 p 2×1,05=2100 .
 p1  p 2 ×1,05=2100 ⇔
p1×1,10 p 2 ×0,90=2100
⇔
p2 celui du second scooter.
{
{
2100
p1  p2=2000
⇔
1,05
p1 ×1,1 p 2×0,9=2100
p1 ×1,1 p 2×0,9=2100
{
p1 p 2=
{
{
p 1=2000− p2
p1=2000− p 2
p1=2000− p 2
⇔
⇔
2000− p 2×1,1 p 2×0,9=2100
2000×1,1− p2×1,1 p 2×0,9=2100
2200− p2 ×0,2=2100
{
{
p 1 =2000− p2
p =2000− p 2
⇔
⇔ 1
⇔
2200−2100=0,2 p 2
100=0,2 p2
{
p 1=2000− p 2
p =2000−500
p =1500
⇔ 1
⇔ 1
100
= p2
500= p2
p2=500
0,2
Il avait acheté le premier 1 500 € et le second 500 €.
{
{