Correction du devoir n°7

Correction du devoir n°7
Exercice 1: Trouver la hauteur d'un immeuble à l'aide d'un décamètre et d'un miroir et
son cours de math
Un observateur dont les yeux
sont à 1,80 m du sol se trouve à 32 m
d'un immeuble. Au centre d'un miroir
placé devant lui à 2 m de ses pieds, il
voit le sommet de l'immeuble. Le
schéma ci-contre représente la
situation. Les angles
OMV
et
VMS
sont égaux.
(VM) est perpendiculaire à (PH)
1. Je montrer que les angles
PMO
et
SMH
sont égaux
Le droite (VM) est perpendiculaire à la droite (PH), donc les angles
PMV
et
VMH
sont des angles droits.
PMO
=
PMV
-
OMV
et
SMH
=
VMH
-
VMS
PMO
= 90 -
OMV
SMH
= 90 -
VMS
or les angles
OMV
et
VMS
sont égaux.
Donc
PMO
=
SMH
2. Je calcule la mesure exacte de tan
PMO
Le triangle Pom est rectangle en P , tan
PMO
=
OP
PM
tan
PMO
=
1,8
2
= 0,9
3. J'en déduis la valeur exacte de tan
SMH
.
Les angles
PMO
et
SMH
sont égaux donc tan
SMH
= 0,9
4. En utilisant la tangente de
SMH
dans le triangle SMH, je calcule la hauteur de
l'immeuble.
1. Le triangle MSH est rectangle en H, tan
SMH
=
SH
HM
or d'après la question précédente : tan
SMH
= 0,9
donc
SH
HM
= 0,9
SH
30
= 0,9
SH =
30×0,9
= 27
L'immeuble a une hauteur de 27 m

Autre méthode pour ceux qui n'étaient pas guidés
Montrer que les angles
POM
et
SMH
sont égaux.
Tracer le symétrique du triangle POM par
rapport à la droite (PH) et utiliser la propriété de
thalès dans les triangles SMH et O'PM qui sont
opposés par le sommet M
Les droites (SO') et (PH) se coupent en M et
les droites ( O'P) et (SH) sont erpendiculaires à la
droite (PH) donc sont parallèles
d'après la propriété de Thalès:
O ' M
MS
=
PM
MH
=
O ' P
SH
On a :
PM
MH
=
O ' P
SH
or O'P = OP par symétrie donc
PM
MH
=
OP
SH
2
30
=
1,8
SH
SH =
30×1,8
2
= 27
Autre méthode : On peut utiliser le symétrique du triangle OPM par rapport à (VM)
En travaillant dans le triangle SMH, on peutr utiliser la propriété de Thalès en ayant pris
soin de prouver que les angles
POM
et
SMH
sont égaux et que les droites (SH) et (O'P') sont
parallèles et que MO' = OM et MP' =MP
Exercice 2:
Dans leur dossier sur Pythagore , des élèves de 3 rouge ont évoqué la propriété généralisée
de la propriété de Pythagore ou formule Al-Kashi:
Dans un triangle quelconque ABC , on a la relation suivante:
AB² =AC² BC² – 2×AC ×BC ×cos  C
Vous allez démontrer cette propriété.
Texte de l'exercice: Soit ABC un triangle quelconque et (AH) sa hauteur issue de A.

1) En me placant dans le triangle ABH, j'exprime AH².
Le triangle ABH est rectangle en H, d'après la propriété de Pythagore :
AH² + HB² = AB²
AH² = AB² – BH²
2) En me placant dans le triangle ACH, j'exprime AH².
Le triangle ACH est rectangle en H, d'après la propriété de Pythagore :
AH² + HC² = AC²
AH² = AC² – CH²
3) Je déduis des questions 1 et 2 une relation entre BA , BH , CH et AC.
D'après la question 1 : AH² = AB² – BH²
D'après la question 2 : AH² = AC² – CH²
donc : AB² – BH² = AC² – CH²
4) Je déduis de la question ci-dessus une expression de AB² en fonction de BH, CH et AC
Dans le question précédente, j'ai monntré que : AB² – BH² = AC² – CH²
D'où: AB² = AC² – CH² + BH²
5) Je factorise: BH² – CH² et exprimer le résultat en fonction de BC et de CH.
Pour factoriser BH² – CH², je reconnais le produit remarquable: a² – b² = ( a + b)(a – b)
donc BH² – CH² = ( BH + CH)(BH – CH)
or H est un point de [BC] donc BH + CH = BC et BH = BC – CH
D'où : BH² – CH² =
BC × BC – CH – CH 
BH² – CH² =
BC × BC – 2×CH 
6) Je calcule CH en fonction de AC
Le triangle ACH est rectangle en H, cos
C
=
CH
AC
Donc CH =
AC ×cos  C
7) Je déduis des questions 4, 5 et 6 l'expression de AB² donnée dans l'énoncé.
D'après la question 4 : AB² = AC² – CH² + BH² ou AB² = AC² + BH² - CH²
D'après la question 5 : BH² – CH² =
BC × BC – 2×CH 
D'après la question 6 : CH =
AC ×cos  C
Donc AB² = AC² +
BC × BC – 2×CH 
Je reporte la valeur de CH dans cette égalité

AB² = AC² +
BC × BC – 2×AC ×cos  C
Je développe le produit:
AB² = AC² + BC² –
2×BC ×AC ×cos  C
Comme dans un produit on peut changer les termes de place :
AB² = AC² + BC² –
2×AC ×BC ×cos  C
Exercice 3:
Voici un puzzlesur un carré de
8×8
.
Reproduis le sur une feuille
quadrillée. Découpe les quatre pièces et
assemble les de façon à obtenir un rectangle.
Colle ce rectangle sur ta copie.
1. Je calcule l'aire du carré de départ.
L'aire du carré
8 times 8 = 64
L'aire du carré : 64 cm²
Le rectangle obtenu avec les quatre pièces du puzzle
2. La largeur du rectangle est de 5 cm et sa longueur de 13 cm
Je calcule son aire:
A=L×l
A =
13×5
= 65
L'aire est de 65 cm²

3. Je remarque qu'il y a 1 cm² en plus. J'explique
Le triangle REC est rectangle en E , tan
CRE
=
CE
ER
tan =
CRE
5
13
Le triangle RJP est rectangle en P , tan
JRP
=
PJ
RP
tan =
JRP
3
5
A-t-on :
5
13 =3 5
?
Je fais les produits en croix :
5×5
= 25 et
13×3
= 39
Donc
5
13
n'est pas égal à
5
13
La tangente de l'angle
CRE
n'est pas égale à la tangente de l'angle
JRP
donc les
points R, J et C ne sont pas alignés.