Correction du devoir n°7
publicité
Correction du devoir n°7 Exercice 1: Trouver la hauteur d'un immeuble à l'aide d'un décamètre et d'un miroir et son cours de math Un observateur dont les yeux sont à 1,80 m du sol se trouve à 32 m d'un immeuble. Au centre d'un miroir placé devant lui à 2 m de ses pieds, il voit le sommet de l'immeuble. Le schéma ci-contre représente la situation. Les angles OMV et VMS sont égaux. (VM) est perpendiculaire à (PH) 1. Je montrer que les angles PMO et SMH sont égaux Le droite (VM) est perpendiculaire à la droite (PH), donc les angles PMV et VMH sont des angles droits. PMO = OMV PMV - PMO = 90 - OMV or les angles et SMH = VMS VMH - SMH = 90 - VMS OMV et VMS sont égaux. Donc PMO = SMH 2. Je calcule la mesure exacte de tan PMO Le triangle Pom est rectangle en P , tan PMO = tan PMO = OP PM 1,8 2 = 0,9 3. J'en déduis la valeur exacte de tan SMH . Les angles et sont égaux donc tan PMO SMH SMH = 0,9 4. En utilisant la tangente de SMH dans le triangle SMH, je calcule la hauteur de l'immeuble. SH 1. Le triangle MSH est rectangle en H, tan SMH = HM or d'après la question précédente : tan SMH = 0,9 donc SH = 0,9 HM SH = 0,9 30 SH = 30×0,9 = 27 L'immeuble a une hauteur de 27 m Autre méthode pour ceux qui n'étaient pas guidés Montrer que les angles POM et SMH sont égaux. Tracer le symétrique du triangle POM par rapport à la droite (PH) et utiliser la propriété de thalès dans les triangles SMH et O'PM qui sont opposés par le sommet M Les droites (SO') et (PH) se coupent en M et les droites ( O'P) et (SH) sont erpendiculaires à la droite (PH) donc sont parallèles d'après la propriété de Thalès: O' M PM O' P = = MS MH SH PM O' P On a : = or O'P = OP par symétrie donc MH SH 2 1,8 = 30 SH 30×1,8 SH = = 27 2 PM MH = OP SH Autre méthode : On peut utiliser le symétrique du triangle OPM par rapport à (VM) En travaillant dans le triangle SMH, on peutr utiliser la propriété de Thalès en ayant pris soin de prouver que les angles POM et SMH sont égaux et que les droites (SH) et (O'P') sont parallèles et que MO' = OM et MP' =MP Exercice 2: Dans leur dossier sur Pythagore , des élèves de 3 rouge ont évoqué la propriété généralisée de la propriété de Pythagore ou formule Al-Kashi: Dans un triangle quelconque ABC , on a la relation suivante: AB² = AC² BC² – 2× AC×BC×cos C Vous allez démontrer cette propriété. Texte de l'exercice: Soit ABC un triangle quelconque et (AH) sa hauteur issue de A. 1) En me placant dans le triangle ABH, j'exprime AH². Le triangle ABH est rectangle en H, d'après la propriété de Pythagore : AH² + HB² = AB² AH² = AB² – BH² 2) En me placant dans le triangle ACH, j'exprime AH². Le triangle ACH est rectangle en H, d'après la propriété de Pythagore : AH² + HC² = AC² AH² = AC² – CH² 3) Je déduis des questions 1 et 2 une relation entre BA , BH , CH et AC. D'après la question 1 : AH² = AB² – BH² D'après la question 2 : AH² = AC² – CH² donc : AB² – BH² = AC² – CH² 4) Je déduis de la question ci-dessus une expression de AB² en fonction de BH, CH et AC Dans le question précédente, j'ai monntré que : AB² – BH² = AC² – CH² D'où: AB² = AC² – CH² + BH² 5) Je factorise: BH² – CH² et exprimer le résultat en fonction de BC et de CH. Pour factoriser BH² – CH², je reconnais le produit remarquable: a² – b² = ( a + b)(a – b) donc BH² – CH² = ( BH + CH)(BH – CH) or H est un point de [BC] donc BH + CH = BC et BH = BC – CH D'où : BH² – CH² = BC × BC – CH – CH BH² – CH² = BC × BC – 2×CH 6) Je calcule CH en fonction de AC Le triangle ACH est rectangle en H, cos C = Donc CH = CH AC AC ×cos C 7) Je déduis des questions 4, 5 et 6 l'expression de AB² donnée dans l'énoncé. D'après la question 4 : AB² = AC² – CH² + BH² ou AB² = AC² + BH² - CH² D'après la question 5 : BH² – CH² = BC× BC – 2×CH D'après la question 6 : CH = AC ×cos C Donc AB² = AC² + BC × BC – 2×CH Je reporte la valeur de CH dans cette égalité AB² = AC² + BC × BC – 2×AC ×cos C Je développe le produit: AB² = AC² + BC² – 2×BC × AC ×cos C Comme dans un produit on peut changer les termes de place : AB² = AC² + BC² – 2×AC ×BC ×cos C Exercice 3: Voici un puzzlesur un carré de 8×8 . Reproduis le sur une feuille quadrillée. Découpe les quatre pièces et assemble les de façon à obtenir un rectangle. Colle ce rectangle sur ta copie. 1. Je calcule l'aire du carré de départ. L'aire du carré 8 times 8 = 64 L'aire du carré : 64 cm² Le rectangle obtenu avec les quatre pièces du puzzle 2. La largeur du rectangle est de 5 cm et sa longueur de 13 cm Je calcule son aire: A= L×l A = 13×5 = 65 L'aire est de 65 cm² 3. Je remarque qu'il y a 1 cm² en plus. J'explique Le triangle REC est rectangle en E , tan CRE = CE ER tan = CRE 5 13 Le triangle RJP est rectangle en P , tan JRP = PJ RP tan = JRP 3 5 5 3 = ? 13 5 Je fais les produits en croix : 5×5 = 25 et 13×3 = 39 5 5 Donc n'est pas égal à 13 13 La tangente de l'angle CRE n'est pas égale à la tangente de l'angle JRP donc les points R, J et C ne sont pas alignés. A-t-on :
