I. Notion de nombres relatifs II. Repérage sur une droite - g

5ème
Nombres relatifs
2010/2011
----> Activité - Découverte des nombres relatifs
Objectifs :
- Je connais la définition des nombres relatifs
-
Je sais comparer deux nombres relatifs
Je sais représenter un nombre relatif sur une droite graduée et dans un repère
Je sais additionner et soustraire des nombres relatifs
Je sais simplifier une expression avec des nombres relatifs
Je sais calculer des sommes algébriques
I. Notion de nombres relatifs
Les nombres relatifs permettent de donner une réponse à toutes les soustractions de nombres décimaux.
Définitions :
• Les nombres positifs sont notés avec le signe + ou sans signe. Ils sont plus grands que zéro.
• Les nombres négatifs sont toujours notés avec un signe –. Ils sont plus petits que zéro.
• Les nombres positifs et les nombres négatifs constituent les nombres relatifs.
On appelle les nombres relatifs qui sont entiers les nombres entiers relatifs.
Remarques :
• Le nombre zéro est le seul nombre qui est à la fois positif et négatif.
Exemples :
Les nombres 1 ; -2 ; +5,3 ; -10,2 ; 0 sont des nombres relatifs
Les nombres -6 ; 2 ; +15 ; -18 ; 0 sont des nombres entiers relatifs
EXERCICES : (Définition des nombres relatifs)
II. Repérage sur une droite graduée
Définition :
On appelle droite graduée une droite sur laquelle on fixe :
➢ Un point appelé origine de la droite graduée
➢ Un sens
➢ Une unité de longueur que l'on reporte régulièrement à partir de l'origine.
Propriété :
Sur une droite graduée :
➢ Chaque point est repéré par un nombre relatif unique appelé l'abscisse du point
➢ A chaque nombre relatif, on associe un unique point.
Exemple :
Le point B a pour abscisse -2,5; le point C 2,5 et le point A 4.
Placer le point D d'abscisse -5 sur la droite graduée.
Définition :
On appelle distance à zéro d'un nombre la distance entre le point d'abscisse correspondant à ce
nombre et l'origine.
Exemple : Calcule la distance à zéro des points A, B, C, D.
Définition :
Deux nombres relatifs qui ont la même distance à zéro et des signes contraires sont des nombres
relatifs opposés.
Exemple : Les nombres relatifs (+2,5) et (-2,5) sont des nombres relatifs opposés. On dit aussi que (-2,5) est
l'opposé de (+2,5) ou que (+2,5) est l'opposé de (-2,5).
Remarques :
• L'opposé d'un nombre positif est négatif ; l'opposé d'un nombre négatif est positif.
• L'opposé de 0 est 0.
• Sur une droite graduée, deux points symétriques par rapport à l'origine ont des abscisses opposés.
EXERCICES : (Repérage sur une droite graduée (rapide))
III. Comparaison de nombres relatifs
Propriétés :
➢ Tout nombre négatif est inférieur à tout nombre positif( sauf 0 qui est à la fois positif et négatif).
➢ Si deux nombres sont positifs, alors le plus petit est celui qui est le plus près de zéro. On dit que c'est
celui qui à la plus petite distance à zéro.
➢ Si deux nombres sont négatifs, alors le plus petit est celui qui est le plus éloigné de zéro. On dit que
c'est celui qui a la plus grande distance à zéro.
Exemples :
-6 < -3 car la distance à 0 de -6 est 6 alors que celle de -3 est 3.
On peut également s'aider de l'axe gradué pour comparer deux nombres relatifs.
EXERCICES : (Comparaison de nombres relatifs)
IV. Repérage dans le plan
Définition :
Deux droites graduées, de même origine et perpendiculaires forment un repère orthogonal du plan.
La droite horizontale est appelée l'axe des abscisses. La droite verticale est appelée l'axe des ordonnées.
Remarque : Les deux axes ont la même origine, mais pas nécessairement la même unité de longueur.
Dans un repère du plan, chaque point peut-être repéré par deux nombres relatifs appelés les coordonnées du
point. Le premier nombre cité est toujours l'abscisse du point et le second est l'ordonnée.
Exemple : Dans ce repère orthogonal :
A a pour abscisse 4 et ordonnée 2, on écrit donc
A ( +4 ; +2 )
B a pour abscisse -3,5 et ordonnée 0, on écrit donc
B ( -3,5 ; 0 )
C a pour abscisse 2 et ordonnée -3, on écrit donc
C ( 2 ; -3 )
D a pour abscisse -3 et ordonnée 1, on écrit donc
D ( -3 ; 1 )
EXERCICES : (Repérage dans le plan)
V. Opérations sur les nombres relatifs
→ Activité - Somme de nombres relatifs à coller
1. Somme de deux nombres relatifs
Propriété :
Pour additionner deux nombres de même signe,
• on écrit le signe commun aux deux nombres
• on écrit la somme des distances à zéro.
Exemples :
( + 3,6 ) + ( + 6,4 ) = + 10
( - 3,6 ) + ( - 6,4 ) = - 10
Propriété :
Pour additionner deux nombres de signes contraires :
• on écrit le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
• on écrit la différence entre la distance à zéro la plus grande par rapport à la plus petite.
Exemples :
(+ 2,6 ) + ( - 3,9 ) = - 1,3
( + 3,9 ) + ( - 2,6 ) = + 1,3
( + 7,7 ) + ( - 6,6 ) = + 1,1
( - 5,5 ) + ( + 1,1 ) = - 4,4
EXERCICES : (Somme de nombres relatifs)
2. Différence de deux nombres relatifs
Propriété :
Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.
Exemples :
• ( -5 ) - ( + 20 ) = ( - 5 ) + ( - 20 ) = - 25
Soustraire ( + 20 ), c'est ajouter ( - 20 ).
• ( - 3 ) - ( - 18 ) = ( - 5 ) + ( + 18 ) = + 15
Soustraire ( - 18 ), c'est ajouter ( + 18 ).
Définition :
Sur une droite graduée, la distance de deux points d'abscisses données est égale à la différence entre
l'abscisse la plus grande et l'abscisse la plus petite.
Pour calculer la distance entre A et B, on regarde laquelle des deux abscisses est la plus grande, c'est A et on
fait AB = ( + 4 ) – ( + 1,5 ) = 2,5. Calculer BC, CD, AC et BD.
Remarque : La distance de deux points est toujours positive.
EXERCICES : (Distance de deux points avec soustractions)
3. Calcule d'une somme algébrique
Propriété :
Calculer une expression algébrique non simplifiée, on commence à écrire une somme. Ensuite, on peut
modifier l'ordre des termes d'une addition et les regrouper, sans que cela change leur somme.
Exemple :
Calcule
A = ( - 23 ) + ( + 8,25 ) – ( + 10 ) – ( - 0,75 ) + ( - 27 )
A = ( - 23 ) + (+ 8,25) + ( - 10) + ( + 0,75) + ( - 27)
A = ( + 8,25 ) + ( + 0,75 ) + ( - 23) + ( - 10 ) + ( - 27 )
A = ( + 9 ) + ( - 60 )
A = - 51
On va simplifier les écritures des nombres relatifs à l'aide des règles suivantes :
Règles :
• On écrit 2 au lieu de (+2), 1,2 au lieu de (+1,2) …
• L'écriture simplifiée d'un nombre relatif s'obtient en supprimant les parenthèses et en ne notant plus
le signes +.
Dans une addition ou une soustraction de nombres relatifs, on applique la règle des signes suivantes :
▪ si deux signes identiques se suivent, on obtient +.
▪ si deux signes contraires se suivent, on obtient -.
Exemples :
• Premier cas : ( -100 ) + ( + 75 ) = - 100 + + 75 = - 100 + 75 = - 25.
• Deuxième cas : ( + 12,5 ) - ( + 0,3 ) = 12,5 - + 0,3 = 12,5 – 0,3 = 12,2.
• Troisième cas : 3,5 - ( - 2 ) = 3,5 - - 2 = 3,5 + 2 = 5,5.
• Quatrième cas : ( -8 ) + ( - 12 ) = - 8 + – 12 = - 8 – 12 = - 20.
EXERCICES : (Sommes algébriques)
EXERCICES : (Bilan et problèmes)