Leçon 24 : Théorème de Thalès. Applications à la géo- métrie

Leçon 24 : Théorème de Thalès. Applications à la géo-
métrie du plan et de l’espace.
Pré-requis :
−Calcul vectoriel
−Mesure algébrique :
Définition. Soient Dune droite et iun vecteur directeur de D. Si Aet Bsont deux points de
D, la mesure algébrique du bipoint (A, B), notée AB, est l’abscisse xdu vecteur AB dans la base i
de D, autrement dit, c’est le réel xtel que AB=x.i. On pose alors AB=x.1
−Droites dans le plan et dans l’espace
Cadre : On considèrera Eun espace affine de dimension 2ou 3(ce sera précisé le cas échéant), et on
notera Eson espace vectoriel associé. On rappelle que la dimension d’un espace affine est la dimension de
l’espace vectoriel associé, que l’on appelle direction de l’espace affine.
Il faut savoir que le théorème de Thalès est un résultat purement affine : Il ne fait intervenir en aucun
cas de notions euclidiennes telles que la distance ou l’orthogonalité. Ne confondons donc pas « mesure
algébrique » et « longueur » ou « distance » (Même s’il faut garder à l’esprit que toutes ces notions sont
liées).
1 Théorème de Thalès
1.1 Dans le plan
On considèrera dans cette partie que Eest un espace affine de dimension 2(un plan affine donc).
Théorème 1. Soient ∆et ∆′deux droites distinctes de E,D1,D2et D3trois droites distinctes de E
telles que D1est parallèle à D2, et elles coupent ∆et ∆′respectivement en trois points distincts A,B,C
et A′,B′,C′. Alors D1est parallèle à D3si, et seulement s’il existe k∈Rtel que A′C′=k.A′B′et AC=
k.AB.
Avant la preuve, un dessin pour illustrer cette configuration :
1. D’autres définitions de la mesure algébrique seront proposées en annexes. Il est nécessaire de bien maîtriser cette
notion pour attaquer cette leçon. M. Mercier aborde très bien toutes les subtilités de celle-ci dans son livre « L’épreuve
d’exposé au CAPES de mathématiques, volume IV », chapitre Théorème de Thalès, que je vous invite à aller consulter.
1

∆′
∆
D2
D1
D3
AA′
BB′
C C ′
Figure 1. Thalès dans le plan
Preuve 1. Montrons que D1est parallèle à D3sous ces conditions. Si c’est le cas, on pourrait trouver
K∈Rtel que CC′=K.AA′. Pour montrer l’existence d’un tel K, utilisons la relation de Chasles sur le
vecteur CC′:
CC′=CA+AA′+A′C′=k.BA+AA′+k.A′B′=k.(BA+AB′) + (1 −k).AA′
=(1) k.BB′+ (1 −k)k′.BB′=K′.BB′=(2) K.AA′
(1) et (2) proviennent de l’hypothèse D1parallèle à D2, donc de la colinéarité de leurs vecteurs directeurs.
Donc D1est bien parallèle à D3.
Réciproquement, puisque A,Bet Csont alignés sur ∆, il existe k∈Rtel que AC=k.AB. De même,
A′,B′et C′étant alignés sur ∆′, il existe k′∈Rtel que A′C′=k′.A′B′. On va montrer que k=k′.
A′C′=k′.A′B′A′A+AC+CC′=k′.(A′A+AB+BB′)
(1 −k′).A′A+k′.B ′B−C′C=k′.AB−AC= (k′−k).AB
or D1,D2et D3sont parallèles, donc A′A,B′Bet C′Csont colinéaires et donc il existe λ∈Rtel que
(1 −k′).A′A+k′.B′B−C′C=λ.AA′, et ainsi, on a
λ.AA′+ (k−k′).AB= 0
or AA′et ABne sont pas colinéaires, donc ces deux vecteurs forment une base de E, ainsi
λ.AA′+ (k−k′).AB= 0 λ=k−k′= 0 k=k′
2Section 1

Corollaire 2. Sous les mêmes hypothèses que le théorème 1., on a D1parallèle à D3si, et seulement si
AC
AB=A′C′ A′B′
Preuve 2. D1est parallèle à D3si et seulement s’il existe k∈Rtel que
(AC=k.AB
A′C′=k.A′B′
Au choix d’un repère sur D1et sur D2, on a
AC=k.ABet A′C′=k.A′B′
et ainsi
AC
AB=k=A′C′ A′B′
d’où le résultat. Réciproquement, si on a
r=AC
AB=A′C′ A′B′
Alors A′C′=r.A′B′et AC=r.AB, et comme A,Bet Csont alignés sur ∆et A′,B′et C′le sont sur
∆′, on a
AC=r.ABet A′C′=r.A′B′
d’où le résultat.
Corollaire 3. Soient D1et D2deux droites distinctes de E,∆et ∆′deux droites distinctes de Esécantes
en A. On suppose que D1et D2coupent ∆et ∆′en respectivement B,C,B′et C′. Alors D1est parallèle
àD2si, et seulement si
AC
AB=AC′ AB′=CC′ BB′
Preuve 3. C’est la même preuve que celle faite au corollaire 2. modulo le fait qu’il n’y a pas de troi-
sième droite nommée D3! (En réalité, on peut ramener la configuration du théorème 1. à celle du corol-
laire 3. en translatant la droite ∆′, pour qu’elle intersecte ∆en A′=A)
1.2 Dans l’espace
On considèrera dans cette partie que Eest un espace affine de dimension 3.
Théorème 4. Soient P1,P2, et P3trois plans distincts de Etels que P1soit parallèle à P2, et soient ∆et
∆′deux droites de Etelles qu’aucune des droites ∆et ∆′ne soient contenues dans P1,P2ou P3. Les
deux droites ∆et ∆′coupent P1en Aet A′,P2en Bet B′et P3en Cet C′. Alors, on a P1parallèle à
P3si, et seulement si
AC
AB=A′C′
A′B′
Théorème de Thalès 3

Avant la preuve, un petit dessin :
P1
P2
P3
∆∆′
AA′
BB′
C
C′
Figure 2. Thalès dans l’espace
Preuve 4. On se place dans la configuration suggérée par la preuve du corollaire 3. : Considérons une
droite ∆′′ parallèle à ∆′coupant ∆en A. On peut appliquer le résultat établi dans le plan, puisque du
coup, ∆et ∆′′ sont coplanaires ! Le résultat découle alors immédiatement.
2 Diverses applications
Il existe beaucoup d’applications de ce théorème. En voici deux parmi beaucoup d’autres :
2.1 Théorème de Ménélaüs
Théorème 5. Soient ABCun triangle non aplati du plan Eet P,Q,Rtrois points appartenant respecti-
vement aux droites (BC),(AC)et (AB)et distincts des sommets du triangle. Les points P,Qet Rsont
alignés si, et seulement si
PB
PC×QC QA×RA RB= 1
Avant la preuve, un dessin pour illustrer la situation :
4Section 2

P
C
B
A
R
Q
K
Figure 3. Configuration de Ménélaüs
Preuve 5. Supposons les points P,Qet Ralignés. La parallèle à (QR)passant par Ccoupe (AB)en
K, et le corollaire 3. donne
PB
PC=RB RKet QC QA=RK RA
impliquant
PB
PC×QC QA=RB RK×RK RA=RB RA
d’où
PB
PC×QC QA×RA RB= 1
Réciproquement, posons P′le point d’intersection de (RQ)et de (BC). Ce point existe car si (RQ)et
(BC)étaient parallèles, le corollaire 3. entrainerait que RA
RB=QA QC, impliquant que PB PC= 1, soit B=Cce
qui n’est pas possible. Puisque R∈(AB),Q∈(AC)et P′∈(BC)∩(RQ), on a P′,Ret Qalignés et le
sens direct de ce théorème nous permet d’écrire
P′B
P′C×QC QA×RA RB= 1
Cette dernière égalité liée à l’hypothèse nous permet d’écrire
P′B
P′C=PB PC
soit P=P′, montrant que les points P,Qet Rsont bien alignés.
Diverses applications 5