1 Conjectures avec la hp prime 2 Démonstrations

La démarche et les valeurs relevées avec la hp prime seront inscrites sur votre copie.
1 Conjectures avec la hp prime
On considère la fonction fdéfinie sur Rpar f(t)=e−0,1tcos(t).
1. Tracer la courbe de la fonction fsur l’intervalle [0; 30].
2. Tracer les courbes des fonctions g:t7−→e−0,1tet h:t7−→−e−0,1tsur le graphique.
3. Conjecturer, par observation du graphique, la limite de la fonction fquand ttend vers l’infini.
Rappeler l’instruction hp prime à utiliser pour calculer cette limite et confirmer ainsi votre
conjecture graphique.
4. On s’intéresse ici aux points de contact entre la courbe Cfet la courbe Cg.
(a) La différence entre les abscisses de deux points consécutifs de l’intersection des courbes
Cfet la courbe Cgsemble-t-elle constante ?
Pour récupérer facilement les abscisses de ces points, dans la vue plot du menu fonctions,
on place le curseur un peu avant une intersection et on utilise Menu/Fcn/Intersection.
(b) A partir d’une observation de la fenêtre graphique, dire si les courbes Cfet Cgsemblent
tangentes en ces points d’intersection (deux courbes présentant un point commun sont
dites tangentes en ce point si elles admettent la même tangente en ce point).
On pourra aussi utiliser l’outil pente.
5. En zoomant sur le voisinage d’un point d’intersection des deux courbes Cfet Cg, vous semble-
t-il que l’image de l’abscisse de ce point d’intersection soit un maximum local de f?
Au lieu de zoomer, on peut également utiliser le menu « extremum » dans la vue plot de
l’application fonctions.
6. Émettre une conjecture sur le rapport des valeurs de deux maximums consécutifs (relever les
valeurs des maximums avec l’outil extremum cité précédemment).
2 Démonstrations
1. Proposer une démonstration de la conjecture émise pour lim
t→+∞ f(t).
2. On s’intéresse ici aux points de contact entre la courbe Cfet la courbe Cg.
(a) Proposer une démonstration de la conjecture émise sur la différence entre les abscisses de
deux points consécutifs de l’intersection des courbes Cfet la courbe Cg.
(b) Proposer une démonstration de la conjecture émise sur les tangentes aux courbes Cfet
Cgen leurs points d’intersection.
3. Par l’observation de la courbe de la fonction f, il est clair que cette fonction n’est pas périodique.
On nommera pseudo-période de fl’écart entre deux points consécutifs de l’intersection des
courbes Cfet Cg.
Quelle est la valeur de cette pseudo-période ?
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4. Rappeler (ou chercher !) ce que signifie la phrase « Pour la fonction pdéfinie sur un intervalle
J, le nombre a∈Jest un maximum local ».
5. Soit pune fonction dérivable sur un intervalle ouvert Jet a∈J. On rappelle que la condition
«p′(a)=0» est une condition nécessaire pour que asoit un extremum local de p. Cette
condition est-elle suffisante ? Expliquer votre réponse.
6. On admet ici que fadmet un extremum local en tout réel atel que f′(a)=0. Déterminer
l’ensemble des réels concernés. On utilisera la calculatrice pour des valeurs approchées. On
pourra introduire (justifier son existence) le nombre ϕtel que cos(ϕ),sin(ϕ)=0,1
p1,01,1 p1,01.
7. Parmi les réels en lesquels fadmet un extremum, dire, par observation graphique, lesquels
correspondent à un maximum local et lesquels correspondent à un minimum local.
8. Quel est l’écart entre deux nombres en lesquels fadmet un maximum local ? Quel est l’écart
entre deux nombres en lesquels fadmet un minimum local ?
9. Proposer une démonstration de la conjecture émise sur le rapport des valeurs de deux maximums
consécutifs.
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Éléments de correction
1 Conjectures
On considère la fonction fdéfinie sur Rpar f(t)=e−0,1tcos(t).
1. Courbe de la fonction f:
2. Courbe des fonctions f,g,h:
3. Il semble que lim
t→+∞ f(t)=0.
Instruction sur hp prime (dans le CAS) :
4. On s’intéresse ici aux points de contact entre la courbe Cfet la courbe Cg.
Ci-dessous, on a utilisé plusieurs fois de suite l’outil intersection (menu fonctions, dans la vue
plot, Menu/Fcn/Intersection). On utilise le curseur entre deux utilisations de ce menu de façon
à placer un point un peu avant une intersection.
On relève ainsi les abscisses de plusieurs points d’intersection :
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(a)
Cette différence semble constante, égale à 2π.
(b) Les courbes Cfet Cgsemblent tangentes en leurs points d’intersection.
Sur la calculatrice, on peut chercher à utiliser l’outil « pente » pour une courbe puis l’autre
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(rappel : le point change de courbe avec les flèches haut et bas du pad et le point se déplace
sur une courbe avec les flèches droite et gauche).
5. Il semble que l’image de l’abscisse d’un point d’intersection entre Cfet Cgne soit pas un
maximum local de f. Le maximum local semble placé un peu avant :
On peut également utiliser l’outil extremum (dans la vue plot de l’application fonctions) et
constater que la valeur d’abscisse retournée est toujours un peu inférieure à celle retournée
pour l’intersection.
6. En utilisant l’instruction extremum citée précédemment et en relevant cette fois les ordonnées,
il semble que le rapport de deux maximums consécutifs soit constant.
2 Démonstrations
1. Pour tout réel t, on a −1⩽cos(t)⩽1.
On a donc pour tout réel t:−e−0,1t⩽f(t)⩽e−0,1t.
lim
t→+∞(−0,1t)= −∞
lim
X→−∞eX=0lim
t→+∞e−0,1t=0.
On en déduit (théorème des gendarmes) : lim
t→+∞ f(t)=0.
2. On s’intéresse ici aux points de contact entre la courbe Cfet la courbe Cg.
(a) Les abscisses des points de l’intersection des deux courbes de fet gsont les solutions de
l”équation f(t)=g(t), soit e−0,1tcos(t)=e−0,1t, équation équivalente à cos(t)=1(puisque
e−0,1t̸=0pour tout t).
Les abscisses des points d’intersection sont donc les réels tk=2kπ,k∈Z.
(b) La fonction gest dérivable sur Ravec, pour tout réel t:g′(t)=−0,1e−0,1t(on a utilisé la
formule (eu)′=u′eu).
La fonction f:t7−→ g(t)cos(t)est dérivable sur Ravec, pour tout réel t:
f′(t)=g′(t)cos(t)+g(t)cos′(t), soit f′(t)=−0,1e−0,1tcos(t)−e−0,1tsin(t), ou encore :
f′(t)=−e−0,1t(0,1 cos(t)+sin(t)).
En un point d’intersection des deux courbes, d’abscisse tk=2kπ(k∈Z), on a :
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