6e feuille d`exercices Exercice I (Anneaux de Dedekind) Exercice II

Université Paris-Sud 11 M2 Analyse, arithmétique, géométrie
Année universitaire 2012/2013 Théorie des nombres (J.-B. Bost, J. Riou)
6efeuille d’exercices
(19 novembre 2012)
Exercice I (Anneaux de Dedekind)
Montrer qu’un idéal d’un anneau de Dedekind est engendré par deux éléments.
Exercice II (Modules sur les anneaux de valuation discrète)
Soit Aun anneau de valuation discrète. On note πune uniformisante de A.
Comment peut-on reformuler le théorème de structure des modules de type fini sur les anneaux
principaux dans le cas particulier de l’anneau A?
Exercice III (Fonctions holomorphes au voisinage d’un point)
Soit Uun ouvert non vide et connexe de C. Soit g:U→Mn(C)une fonction holomorphe. On
suppose que la fonction holomorphe det gn’est pas identiquement nulle.
Soit a∈U. Montrer qu’il existe un voisinage ouvert Vde adans U, des fonctions holomorphes
u1:V→GLn(C),u2:V→GLn(C)et des entiers d1≤d2≤ ··· ≤ dntels que pour tout z∈V,
on ait :
u1(z)g(z)u2(z) = 
(z−a)d10 0
0...0
0 0 (z−a)dn
Exercice IV (Modules projectifs)
Soit Aun anneau commutatif.
(1) Soit Mun A-module. (Si on le souhaite, on peut éventuellement se placer dans le cas particulier
où Mest de type fini.) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Tout morphisme surjectif L→Madmet une section M→L.
(ii) Il existe un A-module Ntel que M⊕Nsoit un A-module libre.
(iii) Pour toute suite exacte 0→N0→N→N00 →0de A-modules, la suite 0→HomA(M, N 0)→
HomA(M, N )→HomA(M, N 00)→0qui s’en déduit est aussi exacte.
Si ces conditions sont vérifiées, on dira que Mest un A-module projectif.
(2) Soit 0→X→M→Y→0une suite exacte de A-modules.
(2a) Montrer que si Xet Ysont projectifs, alors Maussi.
(2b) Montrer que si Met Ysont projectifs, alors Xaussi.
(2c) Si Xet Msont projectifs, est-ce aussi le cas de Y?
(3) Soit Aun anneau intègre de corps des fractions K. On suppose que Iet Jsont deux sous-A-
modules de Ktels que IJ =A(où IJ est le sous-groupe de Kengendré par les produits xy avec
x∈Iet y∈J).
(3a) Montrer que Iet Jsont des modules projectifs de type fini.
(3b) Montrer que l’on a un isomorphisme canonique I⊗AJ'Ade A-modules.
Exercice V (Torsion)
Soit Aun anneau intègre de corps des fractions K.
Soit Mun A-module. On note Mtor ={m∈M, ∃a∈A−{0}, am = 0}. On dit que Mest sans
torsion si Mtor ={0}.
(1) Montrer que Mtor est le noyau du morphisme M→K⊗AMqui à massocie 1⊗m.
(2) Montrer que Mest sans torsion si et seulement si le morphisme évident M→K⊗AMest
injectif.
(3) Montrer que si Mest un A-module de type fini sans torsion, alors Mest isomorphe à un
sous-module de Anpour un certain entier n.
1

2
(4) Soit aun idéal non nul de A. Montrer que l’application K⊗Aa→Kqui à x⊗aassocie xa
est un isomorphisme.
Exercice VI (Lemme de Nakayama)
Soit Aun anneau local, c’est-à-dire que Aun anneau commutatif possédant un unique idéal
maximal que l’on notera m. On note k=A/m. Soit Mun A-module de type fini. Montrer que les
conditions suivantes sont équivalentes :
(i) M={0}.
(ii) k⊗AM={0}.
(Indication : raisonner par récurrence sur le nombre de générateurs de M.)
Exercice VII (Modules projectifs sur les anneaux locaux)
Soit Aun anneau local d’idéal maximal m. On note k=A/m.
Soit Mun A-module projectif de type fini. Soit m1, . . . , mnune k-base de M/mM. On note
m1, . . . , mndes éléments de Mrelevant les éléments m1, . . . , mn.
Montrer que Mest un A-module libre de base m1, . . . , mn.
Exercice VIII (Modules projectifs de type fini)
Soit Aun anneau commutatif. Soit Mun A-module. Pour tout f∈A, on note A[1/f]le localisé
de Apar rapport à la partie multiplicative {fn, n ≥0}et on note M[1/f] = A[1/f]⊗AM. Si p
est un idéal premier, on note Mple Ap-module Mp:= Ap⊗AMoù Apest le localisé de Aen p.
(1) Soit Mun A-module de présentation finie (pour simplifier, on peut éventuellement supposer
plutôt que Aest noethérien et que Mest un A-module de type fini).
(1a) Soit pun idéal premier de A. On suppose que Mpest un Ap-module libre de type fini. Montrer
qu’il existe f∈A−ptel que M[1/f]soit un A[1/f]-module libre.
(1b) Soit Nun A-module. Soit f∈A. Montrer que l’on a un isomorphisme canonique
HomA(M, N )[1/f]'HomA[1/f](M[1/f], N[1/f]) .
(2a) Soit Nun A-module tel que pour tout idéal premier pde A, on ait Np= 0. Montrer que
N= 0.
(2b) Soit N0→Nun morphisme entre A-modules tel que pour tout idéal premier pde Ale
morphisme induit N0
p→Npsoit surjectif. Montrer que N0→Nest surjectif.
(3) Soit Mun A-module. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Mest un A-module projectif de type fini.
(ii) Mest un module de présentation finie (ou de type fini si on fait l’hypothèse que Aest
noethérien) et pour tout idéal premier pde A, le Ap-module Mpest libre de type fini.
(iii) Il existe des éléments f1, . . . , fnde Atels que l’on ait une égalité d’idéaux A= (f1, . . . , fn)
et que pour tout i,M[1/fi]soit un A[1/fi]-module projectif de type fini.
Exercice IX (Structures des modules sans torsion sur les anneaux de Dedekind)
Soit Aun anneau de Dedekind.
(1) Soit Mun A-module de type fini sans torsion. On note MK:= K⊗AM. On identifie Mà
un sous-A-module de MK(pourquoi est-ce possible ?). Soit m∈M− {0}un élément non nul.
Pour tout x∈K, on peut considérer xm =x⊗m∈MK. On note J={x∈K, xm ∈M}et
M0:= {xm, x ∈J} ⊂ M.
(1a) Montrer que Jest un idéal fractionnaire contenant A.
(1b) Montrer que Jest un A-module projectif de type fini.
(1c) Montrer que M/M0est un A-module de type fini sans torsion.
(2) Soit Mun A-module de type fini sans torsion. Montrer que M'a1⊕ ··· ⊕ anoù les aksont
des idéaux non nuls de A.
(3) Soit Mun A-module de type fini. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Mest un A-module projectif.
(ii) Mest un A-module sans torsion.
(iii) M'a1⊕ ··· ⊕ anoù les aksont des idéaux non nuls de A.

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(4) Si aet bsont deux idéaux non nuls de A, montrer qu’il existe un isomorphisme de A-modules
a⊕b'A⊕ab. (On pourra commencer par le cas particulier où A=a+b.)
(5) Montrer que tout A-module projectif de type fini (et non nul) est isomorphe à un module de
la forme An−1⊕aoù aest un idéal non nul de A. (On précisera la forme de aquand le module
est de la forme a1⊕ ··· ⊕ ancomme ci-dessus.)
(6) Montrer que si aet bsont deux idéaux non nuls de Atels que An−1⊕a'An−1⊕balors
aet bsont dans la même classe d’équivalence d’idéaux fractionnaires. (On pourra considérer la
puissance extérieure n-ième de ces A-modules.)
Exercice X (Modules de torsion sur les anneaux de Dedekind)
Soit Aun anneau de Dedekind.
(1) Soit pun idéal maximal de A. Soit n≥0.
(1a) Soit f∈A−p. Montrer que la classe [f]de fdans A/pnest un élément inversible.
(1b) En déduire un morphisme canonique d’anneaux Ap→A/pn.
(2) Soit Mun A-module de torsion (c’est-à-dire que Mtor =M).
(2a) Soit pun idéal maximal de A. On note M[p∞]le sous-A-module de Mformé des éléments
de Mannulés par une puissance de l’idéal p. Montrer que M[p∞]est naturellement muni d’une
structure de Ap-module.
(2b) Montrer que M=⊕pM[p∞]où la somme directe est indexée par l’ensemble des idéaux
maximaux pde A.
(2c) Montrer que pour tout idéal maximal p, on a un isomorphisme canonique M[p∞]'Mpoù
Mp:= Ap⊗AM.
Exercice XI (Spec(O[X]))
Soit Oun anneau de valuation discrète, de corps de fractions K. On note πune uniformisante
de O,vsa valuation. On note k:= O/(π)le corps résiduel de O. On se propose de décrire le
spectre et le spectre maximal de l’anneau O[X].
(1) Montrer que Spec O[X]est constitué exactement des idéaux suivants :
–Iη:= {0}.
–Iπ:= (π) = π· O[X].
– si pest un polynôme irréductible dans k[X]et si ˜pdésigne un relèvement de pdans O[X],
Ip:= (π, ˜p).
– si P=Pd
i=0 aiXidésigne un polynôme dans O[X]irréductible dans K[X]tel que min0≤i≤dv(ai) =
0,IP:= (P) = P· O[X].
(2) Montrer que parmi ces idéaux premiers, ceux qui sont maximaux sont exactement ceux du
type Ipet ceux du type IPquand P∈ O×+πX · O[X].
(3) Quelles sont les parties fermées irréductibles de Spec(O[X]) et de Specmax(O[X]) ?
Exercice XII (Valuation)
Soit n≥2. Déterminer la valuation 2-adique de x:= Pn
i=1 1
i. En déduire que x6∈ Z.
Exercice XIII (Eisenstein)
Soit Aun anneau de valuation discrète de corps de fractions K. On note πune uniformisante
de A. Soit P∈A[X]un polynôme d’Eisenstein. On pose B:= A[X]/(P)et x:= [X]∈B.
(1) Montrer que l’on a un isomorphisme canonique A/πA ∼ →B/xB.
(2) Montrer que xB est l’unique idéal maximal de B.
(3) En déduire que Best un anneau de valuation discrète dont xest une uniformisante. Dans B,
quelle est la valuation de π?
Exercice XIV (Un groupe de Galois non résoluble)
Soit pun nombre premier impair. Soit mun entier naturel non nul. Soit (n1, . . . , np−2)un
p−2-uplet d’entiers relatifs distincts. On pose f= (X2+m)Qp−2
i=1 (X−ni).
(1) Montrer que pour tout réel εde valeur absolue suffisamment petite, le polynôme f+ε∈R[X]
admet p−2racines réelles simples et deux racines complexes conjuguées.

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(2) Pour tout nombre premier `, on considère le polynôme P`=`pf(X
`) + `. Montrer que pour
`assez grand, le polynôme P`∈Q[X]est un polynôme irréductible ayant p−2racines réelles
simples et deux racines complexes conjuguées.
(3) Montrer qu’alors, le groupe de Galois de l’extension de Qengendrée par les racines complexes
de P`, que l’on voit comme un groupe de permutation de ces racines, contient un p-cycle et une
transposition. En déduire qu’il s’agit de Sptout entier.
(4) En déduire que l’ensemble des classes d’isomorphismes d’extensions de Qde groupe de Galois
Spest infini.
Exercice XV (Q(√−7))
On pose K=Q(√−7). Montrer que l’anneau des entiers OKest principal
Exercice XVI (Q(√−13))
On pose K=Q(√−13). On note x:= √−13 ∈K. On note OKl’anneau des entiers de K.
Déterminer le groupe de classes Cl(K). Comment Gal(K/Q)agit-il sur Cl(K)?
Exercice XVII (Q(√−26))
On pose K=Q(√−26). On note x:= √−26 ∈OK.
(1) Déterminer la structure du groupe de classes de K.
(Indication : pour des entiers Nbien choisis, comparer le nombre de solutions entières à l’équa-
tion a2+ 26b2=Net le nombre d’idéaux de OKde norme Nqui se trouveraient être principaux.)
(2) Comment Gal(K/Q)agit-il sur Cl(K)?