6e feuille d`exercices Exercice I (Anneaux de Dedekind) Exercice II

Université Paris-Sud 11
Année universitaire 2012/2013
M2 Analyse, arithmétique, géométrie
Théorie des nombres (J.-B. Bost, J. Riou)
6e feuille d’exercices
(19 novembre 2012)
Exercice I (Anneaux de Dedekind)
Montrer qu’un idéal d’un anneau de Dedekind est engendré par deux éléments.
Exercice II (Modules sur les anneaux de valuation discrète)
Soit A un anneau de valuation discrète. On note π une uniformisante de A.
Comment peut-on reformuler le théorème de structure des modules de type fini sur les anneaux
principaux dans le cas particulier de l’anneau A ?
Exercice III (Fonctions holomorphes au voisinage d’un point)
Soit U un ouvert non vide et connexe de C. Soit g : U → Mn (C) une fonction holomorphe. On
suppose que la fonction holomorphe det g n’est pas identiquement nulle.
Soit a ∈ U . Montrer qu’il existe un voisinage ouvert V de a dans U , des fonctions holomorphes
u1 : V → GLn (C), u2 : V → GLn (C) et des entiers d1 ≤ d2 ≤ · · · ≤ dn tels que pour tout z ∈ V ,
on ait :


0
(z − a)d1 0


..
u1 (z)g(z)u2 (z) = 

.
0
0
0
0
(z − a)dn
Exercice IV (Modules projectifs)
Soit A un anneau commutatif.
(1) Soit M un A-module. (Si on le souhaite, on peut éventuellement se placer dans le cas particulier
où M est de type fini.) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Tout morphisme surjectif L → M admet une section M → L.
(ii) Il existe un A-module N tel que M ⊕ N soit un A-module libre.
(iii) Pour toute suite exacte 0 → N 0 → N → N 00 → 0 de A-modules, la suite 0 → HomA (M, N 0 ) →
HomA (M, N ) → HomA (M, N 00 ) → 0 qui s’en déduit est aussi exacte.
Si ces conditions sont vérifiées, on dira que M est un A-module projectif.
(2) Soit 0 → X → M → Y → 0 une suite exacte de A-modules.
(2a) Montrer que si X et Y sont projectifs, alors M aussi.
(2b) Montrer que si M et Y sont projectifs, alors X aussi.
(2c) Si X et M sont projectifs, est-ce aussi le cas de Y ?
(3) Soit A un anneau intègre de corps des fractions K. On suppose que I et J sont deux sous-Amodules de K tels que IJ = A (où IJ est le sous-groupe de K engendré par les produits xy avec
x ∈ I et y ∈ J).
(3a) Montrer que I et J sont des modules projectifs de type fini.
(3b) Montrer que l’on a un isomorphisme canonique I ⊗A J ' A de A-modules.
Exercice V (Torsion)
Soit A un anneau intègre de corps des fractions K.
Soit M un A-module. On note Mtor = {m ∈ M, ∃a ∈ A − {0}, am = 0}. On dit que M est sans
torsion si Mtor = {0}.
(1) Montrer que Mtor est le noyau du morphisme M → K ⊗A M qui à m associe 1 ⊗ m.
(2) Montrer que M est sans torsion si et seulement si le morphisme évident M → K ⊗A M est
injectif.
(3) Montrer que si M est un A-module de type fini sans torsion, alors M est isomorphe à un
sous-module de An pour un certain entier n.
1
2
(4) Soit a un idéal non nul de A. Montrer que l’application K ⊗A a → K qui à x ⊗ a associe xa
est un isomorphisme.
Exercice VI (Lemme de Nakayama)
Soit A un anneau local, c’est-à-dire que A un anneau commutatif possédant un unique idéal
maximal que l’on notera m. On note k = A/m. Soit M un A-module de type fini. Montrer que les
conditions suivantes sont équivalentes :
(i) M = {0}.
(ii) k ⊗A M = {0}.
(Indication : raisonner par récurrence sur le nombre de générateurs de M .)
Exercice VII (Modules projectifs sur les anneaux locaux)
Soit A un anneau local d’idéal maximal m. On note k = A/m.
Soit M un A-module projectif de type fini. Soit m1 , . . . , mn une k-base de M/mM . On note
m1 , . . . , mn des éléments de M relevant les éléments m1 , . . . , mn .
Montrer que M est un A-module libre de base m1 , . . . , mn .
Exercice VIII (Modules projectifs de type fini)
Soit A un anneau commutatif. Soit M un A-module. Pour tout f ∈ A, on note A[1/f ] le localisé
de A par rapport à la partie multiplicative {f n , n ≥ 0} et on note M [1/f ] = A[1/f ] ⊗A M . Si p
est un idéal premier, on note Mp le Ap -module Mp := Ap ⊗A M où Ap est le localisé de A en p.
(1) Soit M un A-module de présentation finie (pour simplifier, on peut éventuellement supposer
plutôt que A est noethérien et que M est un A-module de type fini).
(1a) Soit p un idéal premier de A. On suppose que Mp est un Ap -module libre de type fini. Montrer
qu’il existe f ∈ A − p tel que M [1/f ] soit un A[1/f ]-module libre.
(1b) Soit N un A-module. Soit f ∈ A. Montrer que l’on a un isomorphisme canonique
HomA (M, N )[1/f ] ' HomA[1/f ] (M [1/f ], N [1/f ]) .
(2a) Soit N un A-module tel que pour tout idéal premier p de A, on ait Np = 0. Montrer que
N = 0.
(2b) Soit N 0 → N un morphisme entre A-modules tel que pour tout idéal premier p de A le
morphisme induit Np0 → Np soit surjectif. Montrer que N 0 → N est surjectif.
(3) Soit M un A-module. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) M est un A-module projectif de type fini.
(ii) M est un module de présentation finie (ou de type fini si on fait l’hypothèse que A est
noethérien) et pour tout idéal premier p de A, le Ap -module Mp est libre de type fini.
(iii) Il existe des éléments f1 , . . . , fn de A tels que l’on ait une égalité d’idéaux A = (f1 , . . . , fn )
et que pour tout i, M [1/fi ] soit un A[1/fi ]-module projectif de type fini.
Exercice IX (Structures des modules sans torsion sur les anneaux de Dedekind)
Soit A un anneau de Dedekind.
(1) Soit M un A-module de type fini sans torsion. On note MK := K ⊗A M . On identifie M à
un sous-A-module de MK (pourquoi est-ce possible ?). Soit m ∈ M − {0} un élément non nul.
Pour tout x ∈ K, on peut considérer xm = x ⊗ m ∈ MK . On note J = {x ∈ K, xm ∈ M } et
M 0 := {xm, x ∈ J} ⊂ M .
(1a) Montrer que J est un idéal fractionnaire contenant A.
(1b) Montrer que J est un A-module projectif de type fini.
(1c) Montrer que M/M 0 est un A-module de type fini sans torsion.
(2) Soit M un A-module de type fini sans torsion. Montrer que M ' a1 ⊕ · · · ⊕ an où les ak sont
des idéaux non nuls de A.
(3) Soit M un A-module de type fini. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) M est un A-module projectif.
(ii) M est un A-module sans torsion.
(iii) M ' a1 ⊕ · · · ⊕ an où les ak sont des idéaux non nuls de A.
3
(4) Si a et b sont deux idéaux non nuls de A, montrer qu’il existe un isomorphisme de A-modules
a ⊕ b ' A ⊕ ab. (On pourra commencer par le cas particulier où A = a + b.)
(5) Montrer que tout A-module projectif de type fini (et non nul) est isomorphe à un module de
la forme An−1 ⊕ a où a est un idéal non nul de A. (On précisera la forme de a quand le module
est de la forme a1 ⊕ · · · ⊕ an comme ci-dessus.)
(6) Montrer que si a et b sont deux idéaux non nuls de A tels que An−1 ⊕ a ' An−1 ⊕ b alors
a et b sont dans la même classe d’équivalence d’idéaux fractionnaires. (On pourra considérer la
puissance extérieure n-ième de ces A-modules.)
Exercice X (Modules de torsion sur les anneaux de Dedekind)
Soit A un anneau de Dedekind.
(1) Soit p un idéal maximal de A. Soit n ≥ 0.
(1a) Soit f ∈ A − p. Montrer que la classe [f ] de f dans A/pn est un élément inversible.
(1b) En déduire un morphisme canonique d’anneaux Ap → A/pn .
(2) Soit M un A-module de torsion (c’est-à-dire que Mtor = M ).
(2a) Soit p un idéal maximal de A. On note M [p∞ ] le sous-A-module de M formé des éléments
de M annulés par une puissance de l’idéal p. Montrer que M [p∞ ] est naturellement muni d’une
structure de Ap -module.
(2b) Montrer que M = ⊕p M [p∞ ] où la somme directe est indexée par l’ensemble des idéaux
maximaux p de A.
(2c) Montrer que pour tout idéal maximal p, on a un isomorphisme canonique M [p∞ ] ' Mp où
Mp := Ap ⊗A M .
Exercice XI (Spec(O[X]))
Soit O un anneau de valuation discrète, de corps de fractions K. On note π une uniformisante
de O, v sa valuation. On note k := O/(π) le corps résiduel de O. On se propose de décrire le
spectre et le spectre maximal de l’anneau O[X].
(1) Montrer que Spec O[X] est constitué exactement des idéaux suivants :
– Iη := {0}.
– Iπ := (π) = π · O[X].
– si p est un polynôme irréductible dans k[X] et si p̃ désigne un relèvement de p dans O[X],
Ip := (π, p̃).
Pd
– si P = i=0 ai X i désigne un polynôme dans O[X] irréductible dans K[X] tel que min0≤i≤d v(ai ) =
0, IP := (P ) = P · O[X].
(2) Montrer que parmi ces idéaux premiers, ceux qui sont maximaux sont exactement ceux du
type Ip et ceux du type IP quand P ∈ O× + πX · O[X].
(3) Quelles sont les parties fermées irréductibles de Spec(O[X]) et de Specmax(O[X]) ?
Exercice XII (Valuation)
Soit n ≥ 2. Déterminer la valuation 2-adique de x :=
Pn
1
i=1 i .
En déduire que x 6∈ Z.
Exercice XIII (Eisenstein)
Soit A un anneau de valuation discrète de corps de fractions K. On note π une uniformisante
de A. Soit P ∈ A[X] un polynôme d’Eisenstein. On pose B := A[X]/(P ) et x := [X] ∈ B.
∼
(1) Montrer que l’on a un isomorphisme canonique A/πA → B/xB.
(2) Montrer que xB est l’unique idéal maximal de B.
(3) En déduire que B est un anneau de valuation discrète dont x est une uniformisante. Dans B,
quelle est la valuation de π ?
Exercice XIV (Un groupe de Galois non résoluble)
Soit p un nombre premier impair. Soit m un entier naturel non nul. Soit (n1 , . . . , np−2 ) un
Qp−2
p − 2-uplet d’entiers relatifs distincts. On pose f = (X 2 + m) i=1 (X − ni ).
(1) Montrer que pour tout réel ε de valeur absolue suffisamment petite, le polynôme f + ε ∈ R[X]
admet p − 2 racines réelles simples et deux racines complexes conjuguées.
4
(2) Pour tout nombre premier `, on considère le polynôme P` = `p f ( X` ) + `. Montrer que pour
` assez grand, le polynôme P` ∈ Q[X] est un polynôme irréductible ayant p − 2 racines réelles
simples et deux racines complexes conjuguées.
(3) Montrer qu’alors, le groupe de Galois de l’extension de Q engendrée par les racines complexes
de P` , que l’on voit comme un groupe de permutation de ces racines, contient un p-cycle et une
transposition. En déduire qu’il s’agit de Sp tout entier.
(4) En déduire que l’ensemble des classes d’isomorphismes d’extensions de Q de groupe de Galois
Sp est infini.
√
−7))
Exercice XV (Q(
√
On pose K = Q( −7). Montrer que l’anneau des entiers OK est principal
√
Exercice XVI √(Q( −13))
√
On pose K = Q( −13). On note x := −13 ∈ K. On note OK l’anneau des entiers de K.
Déterminer le groupe de classes Cl(K). Comment Gal(K/Q) agit-il sur Cl(K) ?
√
Exercice XVII√(Q( −26))
√
On pose K = Q( −26). On note x := −26 ∈ OK .
(1) Déterminer la structure du groupe de classes de K.
(Indication : pour des entiers N bien choisis, comparer le nombre de solutions entières à l’équation a2 + 26b2 = N et le nombre d’idéaux de OK de norme N qui se trouveraient être principaux.)
(2) Comment Gal(K/Q) agit-il sur Cl(K) ?