30 janvier 2012 A#16 Ppcm

LycéeA.Dumas–PortauPrince–Haïti‐
30janvier2012A#16 Ppcm
Définition
Soitaetbdeuxentiersnaturelsnonnuls.L'ensembledesmultiplescommunsstrictementpositifsdeaet
bn'estpasvide,puisqu'ilcontientaumoinsl'entierab.Lepluspetitmultiple(positif)commundeaetb
s'appellelePPCM(PlusPetitCommunMultiple)deaetdebetsenote);( baPPCM ouparfoisba .
ExempleLesmultiplespositifsde24sont24,48,72,96,120,144,168,192,216,240,...
Lesmultiplespositifsde36sont:36,72,108,144,180,216,252,...
Lepluspetitdesmultiplescommunsde24et36est72.
Remarque
OnpeutprolongerladéfinitionduPPCMdefaçonlogiqueenposant0);0()0;(
aPGCDaPGCD sia
estunentiernaturel.Enparticulier:0)0;0(
PPCM .
Onpeutétendreladéfinitionàtouslesentiersrelatifsenposant:);();( baPGCDbaPGCD .
Théorème
L'ensembledesmultiplescommunsentredeuxentiersaetbestl'ensembledesmultiplesdeleurPPCM.
Plussymboliquement,quelquesoitl'entierc:ca etcb sietseulementsicbaPPCM );( .
Démonstration
Soitaetbdeuxentiersnaturelsnonnuls,dleurPGCD.aetbs'écriventdonc:ada 
etbdb ,aveca
etbpremiersentreeux.
Considéronslenombrebadbaba
d
ab
m  .Toutmultipledemestunmultiplecommundeaetdeb.
Réciproquement,sicestunmultiplecommundeaetdeb.bdkbkadkakc 
2211 .
D'où:bkak 
21 .adivisebk 
2etaetb
sontpremiersentreeux,donc,d'aprèslethéorèmedeGauss,
adivise2
k:akk 
32 d'oùfinalement mkbakbkc 332
.
Onvoitdoncquelesmultiplescommunsdeaetbsontlesmultiplesdem.
Cecimontrequem(quiestpositif)estlePPCMdeaetdeb.
Enrésumé:
aetbdeuxentiersnaturelsnonnuls,dleurPGCD,mleurPPCM.
Onpeutécrire:
ada  etbdb  ,avecaetbpremiersentreeuxetbadbaba
d
ab
m  .
Onadoncenparticulierabmd c'est‐à‐dire:abbaPPCMbaPGCD
);();( .
RemarqueSideuxentiersaetbsontpremiersentreeux,leurPPCMestégalàab .
Propriétés
Soita,bdeuxentiers.kunentiernaturelnonnul.
 );();( abPPCMbaPPCM 
 );();( baPPCMkkbkaPPCM  
 Siaetbsontdivisiblespark:kbaPPCM
k
b
k
a
PPCM );( );( 

LycéeA.Dumas–PortauPrince–Haïti‐
AutreméthodedecalculduPGCDetduPPCM
Soitdeuxentiersnaturelsk
a
k
aa pppn 
21 21
etk
b
k
bb pppm 
21 21
décomposésenutlisantles
mêmesnombrespremiers(quitteàcompléteravecdesexposantsnuls).
LePGCDdenetdemestl'entierk
c
k
cc ppp 
21 21 oùi
cestlepluspetitdesentiersi aeti bpourtouti
comprisentre1etk.
LePPCMdenetdemestl'entierk
d
k
dd ppp 
21 21 oùi
destleplusgranddesentiersi aeti bpourtout
icomprisentre1etk.
Exemple01213 131173293612  et10122 13117322763  .
LePGCDde12936et3276estdonc00112 131173284  .
LePPCMde12936et3276estdonc11223 1311732504504  .
Ex16.1DécomposerlesnombressuivantsenproduitdefacteurspremierspourendéduirelePPCM:
9et12  40et50 150et441
980et42 40et63 35280et59400
Ex16.2Quelestlepluspetitentiernaturelnsupérieurà3qui,divisépar12oupar18,donnelemême
reste3?
Ex16.3Enremarquantque17083317
 calculerlePPCMdesnombressuivants:
17et8 17et70 33et8 33et70
Ex16.4CalculerlePGCDdesnombressuivantspourendéduirelePPCM.
84et63  1764et151212936et1584
48et44  432et2881600et1568
Ex16.5CalculerlePGCDetlePPCMdesnombresnonnulsaetbdéfinispar:
nn
a55 2 etnn b77 2 oùnestunentiernaturel.
Ex16.6Résoudredansl'ensembledesentiersnaturelslessystèmes:
1.
252),(
1512
yxPPCM
xy 2.
60),(
300
yxPPCM
xy 3.
4401),(
276
yxPPCM
yx 
4.
24),(
12816
yxPGCD
xy
5.
17),(
7341
yxPGCD
xy 
Ex16.7Résoudrel'équation111);(7);(2
baPPCMbaPGCD oùaetbdésignentdesentiers
naturels.
Ex16.8Trouvertouslescouples);( ba d'entiersnaturels(ba
)vérifiant:
78);(3);(2  baPGCDbaPPCM ettelsqueanedivisepasb.
Ex16.9a)Quelssontlesentiersnaturelsdontlecarréestundiviseurde1980?
b)SoitaetbdesentiersnaturelsnonnulsdontlePGCDestnotédetlePPCMestnotém.Détermineraet
bsachantquea.