chapitre IX

Table des matières
IX CHOCS ET PERCUSSIONS ......................................................................................................................................133
DÉFINITIONS ET MODÉLISATION .......................................................................................................................................133
ÉQUATIONS DES CHOCS ....................................................................................................................................................136
APPLICATIONS ..................................................................................................................................................................137
Centre de percussion ..................................................................................................................................................137
Tension dans une corde d’alpinisme lors d’une chute................................................................................................138
Pendule balistique (exercice 9-2) ...............................................................................................................................139
Rebond d’une balle (étude 2D avec frottement) .........................................................................................................140
Étude d’un coup au billard .........................................................................................................................................140
1
Mécanique du solide
2
IX – Chocs et percussions
IX Chocs et percussions
La théorie des chocs dans le cadre de la mécanique des solides indéformables ne s’intéresse
qu’aux états initiaux et finaux. En effet l’évolution du système pendant le choc est très
complexe et fait appel entre autre à des vitesses de déformation très grandes, il faudrait être
capable de modéliser des ondes de contraintes élastiques et plastiques se propageant dans le
milieu (et à l’extérieur : bruit) pendant un intervalle de temps très court.
Nous sommes donc amenés à établir une schématisation du choc basée sur des hypothèses
simplificatrices fortes. Il sera, comme pour le frottement, nécessaire de demander à
l’expérience de fournir les coefficients entrant dans ces lois et précisant les propriétés globales
des phénomènes mis en jeu pendant la durée du choc.
Définitions et modélisation
Définition d'un choc
Toute introduction d’une nouvelle liaison dans un système matériel qui s’effectue
sur un intervalle de temps suffisamment court avec transfert de l’énergie cinétique
en énergie de déformation sera caractérisée par un choc.
L’état avant le choc est appelé état initial noté []L’état après le choc est appelé état final noté []+
Δt = t + − t − tends vers zéro
Remarques :
L’état des vitesses avant le choc n’ayant aucune raison d’être compatible avec la
nouvelle liaison, il y aura discontinuité du champ des vitesses lors du choc.
La suppression même brusque d’une liaison mécanique ne conduit pas à la notion de
choc, en effet le champ des vitesses reste continu, et il n’y a pas de transfert d’énergie
cinétique en énergie de déformation.
Définition d'une percussion
G
A toute force F agissant sur le système on associe sa percussion définie par
G
PF = lim
t + →t −
t+
G
∫ F dt = lim
t−
Δt →0
t +Δt
∫
G
F dt
t −Δt
Remarques :
La percussion n'est pas un effort, cette grandeur à la dimension d'une quantité de
mouvement [M L T-1].
Dans le sens commun une percussion est associée à un effort extrêmement important
agissant sur une durée extrêmement courte. Notre définition est cohérente avec le sens
commun, en effet pour un effort donné fini (pesanteur, ressorts, chargement) la
percussion associée est nulle.
t +Δt
lim
Δt →0
∫
Fd dt = 0
en effet F est une grandeur finie
t −Δt
133
Mécanique du solide
Pour une percussion donnée plus la durée du choc sera supposée courte plus la valeur
maximale de l’effort modélisant le choc sera grande.
G
F
ε
Modèle
petit
P / 2ε
t
t −ε t +ε
Les solides étant supposés infiniment rigides, les ondes ont une vitesse de propagation
infinie, ce qui revient à admettre que tous les points du système sont sollicités au
même instant. Ce qui entraîne que dans toutes les liaisons du système mécanique
apparaissent simultanément à un choc des percussions non nulles qui sont des
inconnues du problème.
t-
t+
L’étude du système pendant cet intervalle de temps très court étant impossible dans le cadre
de la mécanique des solides indéformable. Nous sommes amenés à établir une schématisation
du choc basée sur des hypothèses simplificatrices fortes. Passons maintenant en revue ces
hypothèses de modélisation.
Hypothèse 1 (hypothèse sur les déplacements)
L’intervalle de temps est supposé suffisamment court pour que les déplacements
du système soient négligeables pendant le choc.
G G
lim ΔP = 0
Δt →0
Remarque :
Cette hypothèse assure la continuité du champ des déplacements elle ne tient pas
compte des déformations du système pendant le choc.
Hypothèse 2 (hypothèse sur les percussions)
On admet que les propriétés relatives au torseur des efforts s’appliquent de façon
identique au torseur des Percussions
Remarques :
Cette hypothèse entraîne que la percussion dans une liaison parfaite possèdera les
mêmes propriétés que le torseur des efforts de liaison. Or physiquement rien n’assure
que pour des efforts extrêmement important l’hypothèse de liaison parfaite reste
valable sur la durée du choc.
Suivant cette hypothèse il est possible d’appliquer les lois de frottement sur les
percussions. Or il est impossible de connaître les conditions de contact durant le choc
alors comment supposer qu’il y a glissement ou non glissement ?
134
IX – Chocs et percussions
G
F
Surface = Percussion
Il y aura probablement une zone de
non glissement
(pression de contact importante)
Mais où se situe-t-elle ?
tétat de vitesse
connu
t+
t
Peut-on supposer le non
glissement en sortie ?
En écrivant les lois de frottement sur les percussions nous formulerons une hypothèse
de glissement ou de non glissement sur l’état des vitesses en sortie de choc, c’est à dire
après le choc. Alors que la percussion représente une valeur globale de l’effort sur la
durée du choc. Cette contradiction fait que ce modèle simple ne peut donner que des
résultats approchés pour des problèmes complexes.
Moyennant ces deux premières hypothèses peut-on résoudre le simple problème du rebond.
Prenons le cas d'une sphère venant en contact avec le sol à un instant t. Les conditions de
contact sont quelconques, nous supposerons simplement qu'il reste ponctuel.
G
P qcq
G
{V }
G
−
donnée
G
{V }
G
M (I ) = 0
+
inconnue
I
Torseurs cinématiques – et +
percussions sur la sphère
Bilan :
⎧
⎧3 vitesses : u + , v + , w+
⎧6 PFD
⎪6 paramètres ⎨
+
+
+
9 inconnues : ⎨
pour 8 équations : ⎨
3 rotations : p , q , r
⎩
G
⎩ 2 Lois de frottement
⎪
P
3
efforts
percussion
⎩
Il nous manque une information, pour pouvoir résoudre ce problème. Cette équation
supplémentaire correspond à la troisième hypothèse ou loi de restitution de Newton.
Hypothèse 3 (hypothèse sur les vitesses)
Après le choc la vitesse relative des deux points P1 et P2 des solides S1 et S2
venant en contact en un point géométrique P (lieu du choc) est inversement
proportionnelle à celle d’avant le choc
G
G
G +
G −
⎡V12 ( P ).n ⎤ = − r ⎡V12 ( P ).n ⎤
⎣
⎦
⎣
⎦
r est le coefficient de restitution
Remarques :
Cette hypothèse nous donne une équation qui introduit une discontinuité de l’état
des vitesses entre les instants t- et t+. Elle permet de traduire la restitution de
135
Mécanique du solide
l’énergie cinétique emmagasinée en partie sous forme d’énergie de déformation
pendant la durée du choc. En fait pendant le choc il faudrait considérer deux phases :
Phase de déformation : durant laquelle l’énergie cinétique se transforme en
énergie de déformation,
Phase de restitution : qui restitue partiellement ou intégralement l’énergie de
déformation sous forme d’énergie cinétique.
Le Coefficient de restitution r dépend du comportement des matériaux venant en contact. Il
est déterminé expérimentalement en laissant tomber d’une hauteur « h » une bille constituée
d’un des matériaux sur un bloc massif constitué de l’autre matériau. La masse du bloc étant
très grande devant celle de la bille, nous pouvons considérer qu’il reste immobile. On mesure
la hauteur « h’ » à laquelle remonte la bille après le choc.
G
G −
⎡V12 ( P ).n ⎤ = 2 gh
h'
⎣
⎦
Î
en pratique 0 ≤ r < 1
r
=
G
G +
h
⎡V12 ( P ).n ⎤ = 2 gh '
⎣
⎦
Le cas r = 1 est un cas limite idéal : choc parfaitement élastique
Le cas r = 0 est un cas particulier dit du choc mou. Dans ce cas particulier la liaison
entre deux éléments du système subsiste après le choc pour donner naissance à un
élément unique. On conservera cependant la notion d’intervalle de temps du choc pour
caractériser les vitesses avant et après le choc.
Citons quelques ordres de grandeur de r :
Bois-bois
Acier-acier
Verre-verre
0,5
0,6
0,9
Équations des chocs
La mise en équations relative à l’étude des chocs en mécanique des solides indéformables a
pour unique objectif l’étude des mouvements du système matériel après le choc, connaissant
la cinématique du système avant. En effet comme nous venons de le préciser, la durée du choc
et ce qui se passe pendant cet intervalle de temps ne peut pas être modélisé dans le cadre de ce
cours.
Nous devons donc écrire le principe fondamental sous forme impulsionnelle, c’est à dire
pouvoir intégrer le torseur des quantités d’accélération pour se ramener à la variation du
torseur cinétique entre les instants « t-« et « t+ ».
Les moments seront donc toujours calculés soit en G centre de masse du système matériel,
soit par rapport à un point O fixe dans le repère galiléen considéré.
⎧t + G
G
+
⎪ ∫ m γ o (G) dt = ⎡⎣ m Vo (G)⎤⎦
−
⎪t −
Ainsi nous avons : ⎨
t+
⎪ G
G
+
⎪ ∫ δ o (G ou O, S) dt = [σ o (G ou O, S)]−
⎪⎩t −
En considérant la percussion de tous les efforts extérieurs appliqués au système, nous
obtenons les 6 équations correspondant à la forme impulsionnelle du PFD :
136
IX – Chocs et percussions
Équations : en un point fixe ou au centre de masse du système.
G
+
⎧ PG
= ⎡⎣ mV (G ) ⎤⎦
Σ
Fext
/
⎪
−
La forme impulsionnelle du PFD : ⎨ G
G
+
⎪ M (O, PFext / Σ ) = ⎡σG g (O, Σ) ⎤
⎣
⎦−
⎩
Applications
Centre de percussion
Par définition le centre de percussion est le point où il faut appliquer une percussion pour que
les répercussions soient nulles.
G
yo
Pour illustrer cette notion prenons l’exemple d’un coup de
marteau sur un clou. La question est de déterminer la
distance à laquelle il faut tenir le marteau pour qu’il n’y ait
θ
A
pas de répercussion dans le poignet.
Il faut que le point d’impact sur le clou soit le centre de
G
percussion du marteau.
Ce problème est schématisé sur la figure ci-contre. Le
contact est supposé ponctuel et le choc est sans rebond.
G
G
⎧⎪V o−(O) = 0
L’état de vitesse avant est connu : ⎨ G
G
−
⎪⎩Ω = ω zo
G
G
⎧⎪V o+(O) = 0
L’état de vitesse après est nul : ⎨ G
G
+
⎪⎩Ω = 0o
G
yo
La figure ci-contre précise les dimensions du marteau et
le torseur des efforts de percussion en A et O.
La percussion en A est considérée comme une donnée du
problème. Nous chercherons les conditions à vérifier pour
annuler toutes les composantes du torseur de la
percussion en O, c’est à dire dans le poignet (celui-ci est
modélisé par un pivot parfait).
G
xo
O
xA
G
RA
G
G
M ( A) = 0
θ
A
G
yA
A
Les efforts extérieurs donnés sont le champ de pesanteur
et le couple appliqué par le poignet sur le marteau pour
imposer la vitesse de rotation ω avant le choc. La
percussion associée aux efforts donnés est nulle.
Calculons le torseur cinétique en O avant le choc (après il est nul)
G
⎧V o−(G) = −Aω xGo
⎪
⎪
⎡ A − F − E ⎤ ⎧ 0 ⎫ ⎧ − Eω ⎫
G− ⎢
⎨
⎪ Î
⎥⎪ ⎪ ⎪
⎪ J (O, S )Ω = ⎢ − F B − D ⎥ ⎨ 0 ⎬ = ⎨ − Dω ⎬
⎪
⎢⎣ − E − D C ⎥⎦ ⎪⎩ω ⎪⎭ ⎪⎩ Cω ⎪⎭
⎩
G
RO
O
G
xo
G G
M O . zo = 0
+
G
⎧⎡ G
⎤
⎪ ⎣V o (G)⎦ − = Aω xo
⎪⎪
⎧ Eω ⎫
⎨ G
+
⎪[σ o (O, S)] = ⎪⎨ Dω ⎪⎬
−
⎪
⎪−Cω ⎪
⎩
⎭
⎩⎪
Calculons le moment en O des Percussions
137
Mécanique du solide
⎧ Lo ⎫ ⎧− x A ⎫ ⎧ X A ⎫ ⎧ Lo + y A Z A
⎫
G
G
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
M (O, Pext / Σ ) = ⎨ M o ⎬ + ⎨ y A ⎬ Λ ⎨ YA ⎬ = ⎨ M o + x A Z A
⎬
⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ Z ⎪ ⎪− x Y − y X ⎪
A A⎭
⎩ ⎭ ⎩
⎭ ⎩ A⎭ ⎩ A A
⎧
⎧ X o + X A = M Aω
⎪
⎪
⎪ résultantes : ⎨Yo + YA = 0
⎪Z + Z = 0
⎪⎪
A
⎩ o
D’où les 6 équations déduites du PFD : ⎨
⎧ Lo + y A Z A = Eω
⎪
⎪ moments : ⎪⎨ M + x Z = Dω
o
A A
⎪
⎪ − x Y − y X = −Cω
⎪⎩
A A
⎩ A A
Pour avoir (Yo , Z o ) = (0, 0) les équations 2 et 3 Î (YA , Z A ) = (0, 0)
La percussion doit être horizontale (// à la vitesse du centre de masse à l’impact)
X o = 0 Î X A = M Aω
relation (1)
⎧ Lo = Eω
G G
⎪
La percussion Ro = 0 , utilisons maintenant les équations de moments : ⎨ M o = Dω
⎪− y X = −Cω
⎩ A A
Pour avoir ( Lo , M o ) = (0, 0) les équations 4 et 5 Î ( D, E ) = (0, 0)
L’axe de rotation du marteau doit être principal d’inertie,
ce sera le cas si le point d’impact appartient au plan de symétrie du marteau.
La dernière équation compte tenu de la relation (1) nous donne Î y A =
e
G
A
Nous pouvons donc calculer la distance entre le point d’impact et le
poignet pour que la répercussion dans le poignet soit nulle.
Le moment d’inertie en G du marteau est de la forme :
CG = Mk 2 avec k rayon de giration.
D’où
Exercice 9-1
C
MA
C = Mk 2 + M A 2 Î y A = A +
k2
=A+e
A
Déterminer le centre de percussion d’une raquette de tennis
schématisée par une tige de masse m de longueur A , et un anneau
de masse M de rayon R.
Application m=M et A = 2R .
Tension dans une corde d’alpinisme lors d’une chute
Examinons le cas où un grimpeur situé en haut d’une cordée dévisse. Il chute d’une hauteur h,
avant que la corde ne se tende formant un angle α avec la verticale. Nous noterons A la
longueur de la corde entre le dernier mousqueton et le grimpeur ayant chuté, et β l’angle que
fait la corde entre les mousquetons.
138
IX – Chocs et percussions
Problème modélisé par Î
G
yo
G
g
A
β
h
A
α
(P)
G
xo
La corde est supposée parfaite (inextensible), et le grimpeur est modélisé par une masse
ponctuelle M
G
j
⎧1 paramètre α
Analyse : 2 inconnues ⎨
⎩1 percussion τ
pour 2 équations (problème plan)
G
yo
A
Moment par rapport au point A Î équation du mouvement
Le moment de la percussion est nulle /à A
G
Résultante suivant j Î percussion (tension) dans le fil τ
G
G
G
G
Calculs : V − = − 2 gh yo et V + = α i
A
α
τ
G
i
(P)
⎧⎪α = − 2 gh sin α o
⎪⎧m aα + m 2 gh a sin α o = 0
Équations : ⎨
Î⎨
⎪⎩τ = m 2 gh cos α o
⎪⎩τ = m 2 gh cos α o
Remarque : Le calcul de l’effort subit par le dernier mousqueton doit tenir compte des deux
brins de la corde.
G
RA
A
τ
τ
β
α
Pendule balistique
Exercice 9-2
G
yo
G
xo
α
G
Vo
(P)
Le pendule balistique est un pendule qui permet de mesurer la
vitesse d’une balle à partir de l’amplitude des oscillations d’un
pendule.
La cible est constituée d’un matériau mou qui absorbe l’énergie
cinétique de la balle.
1- Déterminer la vitesse de rotation du pendule juste après le
choc.
2- En déduire l’amplitude des oscillations
3- Calculer la percussion
139
Mécanique du solide
A vous de définir les grandeurs qui interviennent dans la résolution de ce problème.
Pour simplifier les expressions nous assimilerons ensuite le pendule à un pendule pesant
de longueur l de masse M en supposant M très grande devant la masse m de la balle.
Rebond d’une balle (étude 2D avec frottement)
Exercice 9-3
1- Effectuez un bilan « inconnues – équations »,
ω
V
2- Déterminer l’état de vitesse avant le choc,
G
g
3- Exprimer le PFD, et la loi de restitution,
G
yo
4- Résolvez en supposant le contact avec le sol parfait,
h
G
xo
G
I
5- Résolvez en supposant qu’il y a non glissement, à
quelle condition la balle repart-elle vers l’arrière.
Étude d’un coup au billard
Il ne semble pas raisonnable de traiter des problèmes de chocs en mécanique des solides
indéformables sans aborder une seule fois un problème de billard. C’est ce que nous allons
faire pour terminer ce chapitre.
L’objectif est l’étude de l’effet obtenu sur la boule blanche
lorsque la queue la frappe horizontalement en un point situé à
une certaine hauteur h du plan méridien vertical.
G
yo
P J
h
r
G
G
xo
I
Analyse :
La percussion est une donnée du problème
(force horizontale dans le plan méridien)
⎧ 2 paramètres : x + , θ +
⎧3 PFD
G
Les 4 inconnues sont : ⎨
, pour 4 équations ⎨
⎩1 loi de frottement
⎩ 2 efforts PI percussion en I
G
G
G
On peut résoudre, posons PI = T xo + N yo
Équations :
⎧mx + = P + T
⎪
Le PFD : ⎨0 = N
⎪ Iθ + = − P(h − r )
⎩
Compte tenu de I =
et la loi de frottement T ≤ f N Î T = 0
2 2
5 h−r +
mr Î θ + = −
x
2 r2
5
Soit une vitesse de glissement en I : x + + rθ + =
140
7r − 5h +
x
2r
IX – Chocs et percussions
Analyse :
Selon la hauteur du point d’impact, 4 cas peuvent être considérés en fonction des signes de
xI et θ .
⎧ x < 0
Si h > 75 r « coup haut » Î ⎨ I+
⎩θ < 0
Les lois de frottement : x I < 0 ⇒ T > 0
Cela aura pour effet d’augmenter la vitesse de
translation de la boule, et de diminuer sa vitesse de
rotation.
Il existe un instant t1 où la boule roulera sans glisser x I = 0 .
Si h =
7r
5
⎧ x = 0
« coup haut » Î ⎨ I+
⎩θ < 0
A l’instant initial la boule roule sans glisser
Si h < 75 r « coup bas »
x I > 0 les lois de frottement Î T < 0
Si h > r ⇒ θ < 0
Le frottement a pour effet d’augmenter la vitesse de
rotation de la boule, et de diminuer sa vitesse de
translation.
Si h < r ⇒ θ > 0
Le frottement a pour effet de diminuer la vitesse de
rotation et la vitesse de translation.
Ce dernier cas donne un effet rétro1 lors du choc de la boule
blanche avec la première boule rencontrée.
1
−
+
τ
I
cte
cte
I
+
−
τ
I
−
I
−
τ
Effet rétro : les deux boules roulent en sens inverse après le choc
141