chapitre 5 : Equations

Chapitre 5 : Equations
Elles servent à résoudre des problèmes et à trouver un nombre que l’on
cherche.
Exemple : Sur un mur de 8,20 mètres de large, quelle est la largeur de
chacune des trois fenêtres espacées entre elles et du mur de 1 mètre ?
(1,4m)
1) Expression littérale :
Une expression littérale (du mot littérature) est un calcul avec des lettres,
comme l’aire d’un rectangle :
lAire (rectangle) = L  l = Longueur x largeur
Cette formule peut être utilisée pour TOUS les rectangles.
On remplace les lettres par des nombres pour un rectangle particulier,
comme un rectangle de longueur L = 5 mètres et de largeur l = 3 mètres :
Aire(rectangle) = L x l
A = 5  3 = 15 m²
On peut aussi utiliser d’autres lettres, x par exemple comme dans la formule
B = 4  x donnant l’aire d’un rectangle de longueur 4 mètres et de largeur x.
Pour une largeur de 3 mètres, x = 3 et
B = 4  x
B = 4  3 = l12 m² .
Remarque : Attention, x est écrit en lettre arrondie pour ne pas confondre
avec le symbole  de la multiplication.

2) Ecriture simplifiée :
Pour simplifier l’écriture, on supprime le symbole  dès que c’est possible
c’est-à-dire quand il y a une lettre ou des parenthèses.
On écrit toujours le nombre DEVANT la lettre ou la parenthèse pour ne pas
confondre avec les puissances.
Exemples :
2  x s’écrit 2x.
Attention, x  2 ne s’écrit pas x2 mais 2x aussi.
2(x + y) et (x + y)x2 s’écrivent 2(x + y) qui se lit « 2 facteur de x + y »
5(x + 2) veut dire 5( x + 2)
1  x = 1x = x
2x + 3x = 5x
Remarques :
● Attention, le symbole  ne peut pas être supprimé entre deux nombres :
2  4 ≠ 24 !
● Quand on remplace une lettre par un nombre, il faut obligatoirement
rajouter le symbole  : pour x = 4, on a 2x = 2 x 4 = 8
● Quand le nombre est négatif, il faut aussi rajouter des parenthèses car on
ne peut pas écrire deux symboles opératoires l’un à côté de l’autre :
Pour x = -4 2x = 2 x (-4) = -8.
● On recopie toujours l’expression sur sa feuille avant de remplacer la lettre
par le nombre.
● Le symbole x peut aussi être remplacé par un point :
A.B = A x B

3) Solution d’une équation :
Une équation est une égalité dans laquelle se trouve un nombre inconnu
désigné par une lettre.
Exemple : 3x - 6 = 0 est une équation.
x est l’ inconnue
Le nombre correspondant s'appelle la solution de l'équation.
Pour vérifier qu’un nombre est solution d’une équation, on remplace x par ce
nombre sans oublier de rajouter le signe « multiplié », on calcule l’expression
et on regarde si on obtient le résultat de l’énoncé :
Le nombre 1 est-il solution de l’équation 3x - 6 = 0 ?
3 x 1 - 6
= 3 - 6
= - 3
- 3 ≠ 0 donc 1 n’est pas solution de l’équation.
Le nombre 2 est-il solution de l’équation 3x - 6 = 0 ?
3 x 2 - 6
= 6 – 6
= 0 donc 2 est solution de l’équation.

4) Résoudre une équation :
Résoudre une équation, c’est trouver x.
Pour trouver x, on l’isole à gauche du symbole =
On peut faire la même opération à gauche et à droite du symbole =
On commence toujours par l’addition ou la soustraction pour isoler x.
Exemple :
Résoudre l’équation 3x - 5 = 0
3x - 5 = 0
3x - 5 + 5 = 0 + 5
3x = 5
3x
3 = 5 3
lx = 5
3
lLa solution de l’équation est x = 5
3
On a d’abord éliminé la soustraction, ici – 5, en ajoutant 5 aux DEUX
membres de l’égalité.
Ensuite on a éliminé la multiplication en divisant par 3 les DEUX membres de
la nouvelle égalité.

Autre exemple :
Résoudre l'équation 7x – 5 = 3x + 8
7x – 5 = 3x + 8
7x - 3x – 5 = 3x - 3x + 8
4x – 5 = 8
4x – 5 + 5 = 8 + 5
4x = 13
4x
4 = 13
4
x = 13
4
La solution de l'équation est x = 13
4
Lorsque x est de chaque côté du signe =, on commence par faire une
soustraction ( ici - 3x) pour placer tous les x à gauche du symbole =.