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Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux
- Section i-Prépa -
Chapitre 10 : Oscillateurs mécaniques (II)
5. Oscillateur mécanique libre amorti :
En présence de frottements, il n’y a plus conservation de l’Em , celle-ci se dissipe sous forme de
chaleur.
a) Régime pseudo-périodique :
Dans le cas où les frottements sont faibles (
, la période reste sensiblement la même que
celle de l’oscillateur libre amorti, l’amortissement influe uniquement sur l’amplitude.
Plus les frottements augmentent, plus les oscillations sont amorties : on observe alors également une
influence sur la période, elle devient légèrement supérieure à
Modélisation :
Système : {le dispositif solide-ressort}
Référentiel : terrestre considéré comme galiléen
,
Bilan des forces :
2ème Loi de Newton :
Projection sur
:
Les solutions sont de la forme :
ou
Avec :
· Aspect énergétique :
L’Energie Mécanique n’est plus conservée au cours des oscillations, elle est dissipée par les
frottements sous forme de chaleur.
b) Régime critique et apériodique :
Encas de frottements très importants (forte viscosité du fluide), le solide revient à sa position
d’équilibre sans même osciller une fois.
·
L’amortissement critique correspond à la durée la plus courte pour que le système revienne à
l’équilibre sans osciller.
L’amortissement critique est une phase intermédiaire entre le régime pseudo-périodique et le
régime apériodique. ( ≈ régime intermédiaire entre « encore une oscillation » et « plus aucune
oscillation »).
·
Régime apériodique : le système n’effectue plus aucune oscillation, selon l’intensité des
frottements, il met plus ou moins de temps pour revenir à l’équilibre (système au-dessus des
lourdes portes des bâtiments publics pour éviter qu’elles ne claquent)
Résumé
6. Oscillations forcées ; régime entretenu
On part d’un oscillateur amorti. Si on le laisse libre d’osciller, progressivement il va perdre de
l’énergie et les oscillations vont diminuer jusqu’à devenir nulles.
Pour compenser les pertes d’Energie Mécanique occasionnée par les frottements, on peut entretenir les
oscillations par un agent extérieur composé d’un moteur de fréquence réglable : celui-ci applique une
force motrice périodique de la forme
t)
L’amplitude
des oscillations du système appelé résonateur dépend alors de la fréquence de rotation
de l’excitateur.
Lorsque la fréquence de l’excitateur est voisine de la fréquence propre du résonateur , celui-ci oscille
avec une amplitude maximale : on dit que le système se trouve à la résonance
Pour un faible amortissement, la courbe de résonance est aigüe (résonance pointue).
Pour un fort amortissement, la courbe est plus aplatie, la résonance est dite « floue » et l’on constate
que la fréquence de résonance est plus faible que la fréquence propre du résonateur.
Pour des amortissements très élevés, il est impossible à l’excitateur de faire entrer le résonateur en
résonance.
II. Pendule simple :
Un pendule simple est constitué d’un solide de petites dimensions, de masse m, suspendu à un point
fixe O par une tige ou un fil inextensible l de masse négligeable.
Ecarté de sa position d’équilibre, il oscille dans le champ de pesanteur terrestre g.
Oscillations « libres » car le pendule écarté de sa position d’équilibre est abandonné à lui-même.
: abscisse angulaire
Etude du mouvement :
En l’abscence de frottements, le système est conservatif, donc
avec
or, si
= mgh + ½ mv² = mgl (1 – cos
:
+ ½ mv²
angulaire des oscillations du pendule pesant
Cette équation différentielle est de la forme d’un oscillateur harmonique,
d’expression générale :
D’où, ici, l’expression de la pulsation propre :
Période propre du pendule pesant simple :
exemple :
a) quelle est, sur Terre où g = 9,81 m/s², la longueur d’un pendule battant la seconde ?
b) Quelle serait la période de ce même pendule sur la Lune (
Loi des masses : la période
ne dépend aucunement de la masse qui
lui est accrochée
Loi d’isochronisme : pour des petites oscillations (
la période est constante ; quelque soit
l’angle duquel on lâche le pendule, la période restera la même (à condition que cet angle soit petit, c-àd < 20°)
Conclusion : la période d’un pendule pesant simple est indépendante de la masse et de l’angle de
lâcher (avec
Enoncé des exercices sur Oscillateurs Mécaniques (II)
exercice 1 : Energies d’un système {solide – ressort}
On dispose d'un système solide-ressort constitué d'un mobile de masse m = 250 g accroché à
l'extrémité d'un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur k = 10 N.m-l.
Le mobile assimilé à son centre d'inertie G peut osciller horizontalement sur une tige parallèlement à
l'axe Ox (figure 1).
On étudie son mouvement dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le point O coïncide avec la
position de G lorsque le ressort est au repos.
m
O
r
i
G
x
Figure 1
Partie A : Dans un premier temps, on néglige les frottements du mobile sur son rail de guidage.
1. Faire l'inventaire des forces exercées sur le mobile ; sur la figure 1 sur la copie et représenter
les différents vecteurs forces sans souci d'échelle.
2. Etablir l'équation différentielle du mouvement.
æ k
ö
.t + j ÷ est solution de cette équation différentielle quelles que
÷
è m
ø
3. Vérifier que x = xM cos ç
ç
soient les valeurs des constantes xM et j.
4. Le mobile est écarté de sa position d'équilibre et lâché à l'instant t = 0 s, sans vitesse initiale,
de la position x0 = + 2,0 cm, et xM > 0. Déterminer numériquement xM et j.
5. Calculer la période propre T0 du mouvement.
Partie B : On suppose maintenant que les frottements ne sont plus négligeables et peuvent être
modélisés par une force dont la valeur est proportionnelle à celle de la vitesse et dont le sens est
opposé à celui du mouvement :
(m > 0).
Un dispositif d'acquisition de données permet de connaître à chaque instant la position du mobile .
(figure 2).
Un logiciel de traitement fournit les courbes de variation, en fonction du temps, de l'énergie
mécanique (Em) , de l'énergie cinétique (Ec) et de l'énergie potentielle élastique (Ep) du système solideressort (figure 3).
1. À l' aide de la figure 2, déterminer la pseudo-période T du mouvement. Comparer sa valeur à
celle de la période propre calculée Partie A.
2. Identifier par leur lettre (A ou B) les courbes Ec(t) et Ep(t) de la figure 3 en justifiant les
réponses.
3. Pourquoi l'énergie mécanique du système diminue-t-elle au cours du temps ?
4. Sur les figures 2 et 3 de l'annexe sont repérés deux instants particuliers notés t1 et t2.
En utilisant la figure 2 et en justifiant la réponse, indiquer auquel de ces instants la valeur de
la vitesse du mobile est :
a) maximale
b) nulle
5. Que peut-on en conclure quant à la valeur de la force de frottement à chacun de ces instants ?
20
Figure 2
x (10–3 m)
15
10
5
t1
0
0,2
t (s)
t2
0,4
0,8
0,6
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
-5
-10
-15
2,0 Ec, Ep, Em
Figure 3
(mJ)
1,5
Em(t)
1,0
B
0,5
A
t (s)
0
0,2 t1
0,4
t2 0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
exercice 2 :
Un palet P1 de masse m1 est propulsé le long d'une piste à coussin d'air. La piste comporte une rampe
AB de longueur L inclinée d'un angle a sur l'horizontale, suivie d'un trou T afin de recevoir ce palet.
Le palet P1 est propulsé grâce à un choc avec un palet P2, de masse m2 = 4 m1.
Le palet P2 est lui même relié à un ressort R horizontal, de masse négligeable et de constante de
raideur k. L'autre extrémité du ressort est fixe en O. A l'équilibre, la position du centre d'inertie du
palet P2 est notée G0 telle que OG0 = l0.
Données : m1 = 50 g ; m2 = 200 g ; k = 20 N/m ; l0 = 24 cm ; g = 10 m/s² ; a = 30°.
Tous les frottements sont négligés ; le ressort exerce une force proportionnelle à sa déformation.
I. Etude du mouvement du palet P2 :
Un joueur comprime le ressort : la nouvelle position du centre d'inertie G2 du palet devient G1 telle
que OG1 = 0,25 l0 = . Puis ce même joueur le lâche à un instant pris comme origine des dates, sans
communiquer de vitesse initiale à P2.
1. Etablir l'équation différentielle du mouvement du centre d'inertie du palet P2. L'origine sur
l'axe x'x est G0.
2. L'équation du mouvement de G2 est : x(t) = A sin (w0t + f) où x est l'abscisse de G2 sur [G0x)
a)
b)
c)
d)
e)
Quelle est la nature du mouvement de G2 ?
Préciser la signification physique de A, w0, f.
Déterminer les valeurs des constantes A et f.
Etablir l'expression littérale de w0, de la période T0 ; faire l’application numérique
En déduire numériquement l'équation horaire x(t)
3. a) Donner l'expression littérale et numérique de la vitesse v(t) de G2.
b) A quel instant t0, le centre d'inertie G2 du palet passe-t-il en G0 ?
c) Déterminer la valeur de la vitesse lors du passage en G0.
4. Exprimer l'énergie mécanique du système ressort et palet à un instant t quelconque en
fonction de A et k ; la calculer
a) Que vaut cette énergie à l'instant t0 ?
b) En déduire de manière littérale puis numérique la vitesse v0 du palet à l'instant t0 ;
cette valeur est-elle en accord avec celle trouvée en 3 ?
II. Etude du mouvement du palet P1
Le choc entre les palets a lieu lorsque le centre d'inertie G2 du palet P2 passe en G0. Lors du choc, on
considère que le palet P2 transmet intégralement son énergie cinétique au palet P1 ;
1. Calculer la vitesse v1 acquise par du le centre d'inertie G1 du palet P1 au moment du choc.
2. En déduire la vitesse vA du centre d'inertie G1 du palet P1 au passage en A.
3. Calculer la vitesse vB au passage au sommet de la rampe, sachant que B est situé à une
hauteur hB = 25 cm au dessus du plan horizontal passant par A.
4. Quelle doit être la longueur minimale Lmin de la rampe ? Donner l’expression littérale en
fonction de vA , g et ; faire l’application numérique
5. Déterminer l'équation de la trajectoire du centre d'inertie G1 du palet P1 au delà de B, dans le
repère O'xz.
6. A quelle distance du point O' faut-il percer le trou ?
7. Déterminer l'expression littérale, puis numérique, de la vitesse du palet P1 retombant sur le
sol.
exercice 3:
Un enfant de masse m= 30 kg est assis sur une balançoire. On considère ce système équivalent à un
pendule simple de longueur OM = 3m. On choisit comme origine de l 'énergie potentielle de pesanteur
le plan horizontal qui contient le centre de gravité de l'enfant lorsqu'il est au repos (point S).
A l'instant t = 0 on propulse à la vitesse v0 = 1,7 m/s l'enfant qui était au repos.
1. A quelle hauteur maximum z1 le centre de gravité de l'enfant s'élève t-il?
2. Quelle l'amplitude angulaire a des oscillations?
3. Déterminer la période T0 des petites oscillations.
4. Après quelques oscillations on met une butée en B raccourcissant ainsi la longueur du
pendule : BM =1 m
a) Jusqu'à quelle hauteur l'enfant s'élève t-il?
b) Peut-on considérer les oscillations comme petites ?