MÉTHODES EN GÉOMÉTRIE
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MÉTHODES EN GÉOMÉTRIE I. PROBLÈMES D’ALIGNEMENT Exercice 1 ABCD est un carré. L est le point situé à l’intérieur du carré ABCD tel que le triangle BAL est équilatéral. E est le point situé à l’extérieur du carré ABCD tel que le triangle BEC est équilatéral. Les points D, L et E sont-ils alignés ? Exercice 2 L On considère la figure composée du carré ACTE de 8 cm de côté autour 5 duquel on a construit le triangle rectangle LEA dont les côtés E A perpendiculaires mesurent 5 cm et 8 cm, et le triangle OTE dont les côtés 8 perpendiculaires mesurent 13 cm et 8 cm. Additionner les aires de ces trois figures puis calculer l’aire du triangle COL. Où est passé le demi-cm² ? C T 13 II. DÉMONTRER QUE DES DROITES SONT PERPENDICULAIRES Exercice 3 On considère la figure constituée par les éléments suivants. Un point C est marqué à l’intérieur du disque limité par un cercle de diamètre [AB], le point C n’appartenant pas à ce diamètre. La demi-droite [AC) coupe le cercle en D. La demi-droite [BC) coupe le cercle en E. Les demi-droites [AE) et [BD) se coupent au point F. Démontrer que (CF) et (AB) sont perpendiculaires. III. DÉMONTRER UNE ÉGALITÉ DE MESURE D’ANGLES Exercice 4 On considère le triangle ABC, rectangle en B tel que : AB = 12 cm et BC = 16 cm. Soit M le point de [BC] tel que BM = 6 cm. n et BAM n . Que peut-on en déduire ? Dessiner la figure et mesurer les angles BAC La parallèle à (AB) passant par M coupe (AC) en P. Démontrer que la demi-droite [AM) est la bissectrice n (on prouvera que le triangle APM est isocèle). BAC IV. RÉSOUDRE UN PROBLÈME DE CONSTRUCTION Exercice 5 (D’après CERPE, Lyon 2003) Imaginons quatre pièces de monnaie identiques mises en contact. Construire les deux cercles tangents à ces quatre pièces comme indiqué sur la figure. Calculer leur rayon si celui des pièces est égal à 1 cm. Déterminer les propriétés géométriques des points remarquables : les centre des cercles et les points de contact. Prenons le problème à l’envers : on part d’un cercle et on cherche à tracer à l’intérieur quatre cercles tangents. Choisir un point A du grand cercle qui soit un point de contact avec l’un des quatre petits, construire les autres points remarquables de la figure et les cercles. Exercice 6 Le triangle ABC dépasse du cadre. Sans prolonger la figure, en mesurant ou en dessinant ce que vous voulez à l’intérieur de ce cadre, proposez un moyen de déterminer les longueurs des côtés et les mesures des angles du triangle, et de construire la médiane issue de A. V. RÉSOUDRE UN PROBLÈME D’OPTIMISATION Exercice 7 Maud est sur la plage, au point M et construit un château de sable. Son frère Philippe est au point P avec le seau, vide. Maud lui demande de remplir le seau d’eau et de le lui apporter. Le bord de mer est représenté par la droite d. Quel est le plus court chemin pour aller de P à M en passant par d ? PE1 MÉTHODES EN GÉOMÉTRIE 1/2 O VI. ÉTUDE D’UNE FAMILLE DE QUADRILATÈRES Exercice 8 (D’après CERPE, Rouen 2002) l = 90° et si (AC) est axe de symétrie. Un quadrilatère ABCD est appelé isocervolant en A si A Partie A 1. Construire un quadrilatère ABCD qui est un isocervolant en A. Construire un quadrilatère EFGH qui admet un axe de symétrie mais qui n’est pas un isocervolant. 2. Les affirmations suivantes sont elles vraies ou fausses ? Justifier. - Tout carré est un isocervolant. - Tout isocervolant est convexe. - Tout rectangle est un isocervolant. - Tout isocervolant dont les diagonales se coupent en leur milieu est un carré. Partie B On considère ABCD un isocervolant en A tel que : AB = 4 cm, BC = 3 cm et AC < BC. 1. Construire l’isocervolant ABCD à la règle et au compas. 2. Montrer que ABD est inscrit dans un demi-cercle. Calculer BD. 3. Déterminer l’aire du triangle ABD et l’aire du quadrilatère ABCD. 4. Sur la figure prédédente, construire à la règle et au compas la parallèle à (BC) passant par C. Elle coupe [AB] en E et [AD] en F. 5. Démontrer que CE = 2 2 − 1 et en déduire l’aire du quadrilatère BDFE. VII.ÉTUDE D’UNE FIGURE QUI N’EST NI UN POLYGONE NI UN CERCLE… Exercice 9 (D’après CERPE, Rouen 2000) Voici le programme de construction d’une figure appelée « ove » en raison de sa forme ovoïde. - Tracer un segment [AB] de milieu I et construire un point C de sa médiatrice tel que IC = AB/2. - Tracer le petit arc de cercle de centre B et de rayon AB délimité par les demi-droites [BA) et [BC). Noter E le point d’intersection de cet arc avec la droite (BC). - Tracer de même le petit arc de cercle de centre A et de rayon AB délimité par les demi-droites [AB) et [AC). Noter F le point d’intersection de cet arc avec la droite (AC). - Tracer le demi-cercle de diamètre [AB] ne contenant pas le point C. p du cercle de centre C de rayon EC et situé à l’extérieur du triangle ABC. - Tracer l’arc EF 1. Tracer un segment [AB] de longueur, puis, à la règle et au compas seuls, tracer l’ove. 2. Dans cette question et les suivantes : AB = 4cm. Quelle est la nature de ABC ? Calculer AC et BC. n , EBA n et FAB n . Calculer la valeur de FC puis le périmètre de l’ove. 3. Calculer FCE 1 . Simplifier l’écriture de α. En prenant α comme approximation de 2 et 22/7 4. Soit α = 1 + 1 comme approximation de π, calculer une approximation fractionnaire du 2+ 1 périmètre de l’ove puis donner sa valeur approchée à 10-4 près par défaut. 2+ 2 VIII. COMPLÉMENTS SUR LE NOMBRE D’OR ET LE PENTAGRAMME Exercice 10 On rappelle que φ = 1+ 5 et que φ 2 = φ + 1 . 2 Fig. 1. On note r =AC/AB. Montrer que r =AC/AE = AE/AG = AG/BG et que r = EB/EG = 1 + BG/EG. En déduire que r = φ . Monter que si OA = 1 alors AB = 3 − φ . Fig. 2. Montrer que la construction du pentagramme est correcte en vérifiant que si OA = 1 alors AB = NA = 3 − φ . PE1 Fig. 1. MÉTHODES EN GÉOMÉTRIE Fig. 2. 2/2
