MÉTHODES EN GÉOMÉTRIE

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MÉTHODES EN GÉOMÉTRIE
I. PROBLÈMES D’ALIGNEMENT
Exercice 1
ABCD est un carré. L est le point situé à l’intérieur du carré ABCD tel que le triangle BAL est
équilatéral. E est le point situé à l’extérieur du carré ABCD tel que le triangle BEC est équilatéral. Les
points D, L et E sont-ils alignés ?
Exercice 2
On considère la figure composée du carré ACTE de 8 cm de côté autour
duquel on a construit le triangle rectangle LEA dont les côtés
perpendiculaires mesurent 5 cm et 8 cm, et le triangle OTE dont les côtés
perpendiculaires mesurent 13 cm et 8 cm. Additionner les aires de ces trois
figures puis calculer l’aire du triangle COL. Où est passé le demi-cm² ?
II. DÉMONTRER QUE DES DROITES SONT PERPENDICULAIRES
Exercice 3
On considère la figure constituée par les éléments suivants. Un point C est marqué à l’intérieur du disque
limité par un cercle de diamètre [AB], le point C n’appartenant pas à ce diamètre. La demi-droite [AC)
coupe le cercle en D. La demi-droite [BC) coupe le cercle en E. Les demi-droites [AE) et [BD) se coupent
au point F. Démontrer que (CF) et (AB) sont perpendiculaires.
III. DÉMONTRER UNE ÉGALITÉ DE MESURE D’ANGLES
Exercice 4
On considère le triangle ABC, rectangle en B tel que : AB = 12 cm et BC = 16 cm.
Soit M le point de [BC] tel que BM = 6 cm.
Dessiner la figure et mesurer les angles
n
BAC et
n
BAM . Que peut-on en déduire ?
La parallèle à (AB) passant par M coupe (AC) en P. Démontrer que la demi-droite [AM) est la bissectrice
n
BAC (on prouvera que le triangle APM est isocèle).
IV. RÉSOUDRE UN PROBLÈME DE CONSTRUCTION
Exercice 5 (D’après CERPE, Lyon 2003)
Imaginons quatre pièces de monnaie identiques mises en contact.
Construire les deux cercles tangents à ces quatre pièces comme
indiqué sur la figure. Calculer leur rayon si celui des pièces est égal
à 1 cm. Déterminer les propriétés géométriques des points
remarquables : les centre des cercles et les points de contact.
Prenons le problème à l’envers : on part d’un cercle et on cherche à
tracer à l’intérieur quatre cercles tangents. Choisir un point A du
grand cercle qui soit un point de contact avec l’un des quatre petits,
construire les autres points remarquables de la figure et les cercles.
Exercice 6
Le triangle ABC dépasse du cadre.
Sans prolonger la figure, en mesurant ou en dessinant ce que vous
voulez à l’intérieur de ce cadre, proposez un moyen de déterminer
les longueurs des côtés et les mesures des angles du triangle, et de
construire la médiane issue de A.
V. RÉSOUDRE UN PROBLÈME D’OPTIMISATION
Exercice 7
Maud est sur la plage, au point M et construit un château de sable. Son frère Philippe est au point P avec
le seau, vide. Maud lui demande de remplir le seau d’eau et de le lui apporter. Le bord de mer est
représenté par la droite d. Quel est le plus court chemin pour aller de P à M en passant par d ?
A
L
C T O
E
5
8
13

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VI. ÉTUDE D’UNE FAMILLE DE QUADRILATÈRES
Exercice 8 (D’après CERPE, Rouen 2002)
Un quadrilatère ABCD est appelé isocervolant en A si
l
A 90
=
° et si (AC) est axe de symétrie.
Partie A
1. Construire un quadrilatère ABCD qui est un isocervolant en A. Construire un quadrilatère EFGH qui
admet un axe de symétrie mais qui n’est pas un isocervolant.
2. Les affirmations suivantes sont elles vraies ou fausses ? Justifier.
- Tout carré est un isocervolant.
- Tout isocervolant est convexe.
- Tout rectangle est un isocervolant.
- Tout isocervolant dont les diagonales se coupent en leur milieu est un carré.
Partie B
On considère ABCD un isocervolant en A tel que : AB = 4 cm, BC = 3 cm et AC < BC.
1. Construire l’isocervolant ABCD à la règle et au compas.
2. Montrer que ABD est inscrit dans un demi-cercle. Calculer BD.
3. Déterminer l’aire du triangle ABD et l’aire du quadrilatère ABCD.
4. Sur la figure prédédente, construire à la règle et au compas la parallèle à (BC) passant par C. Elle
coupe [AB] en E et [AD] en F.
5. Démontrer que CE = 22 1− et en déduire l’aire du quadrilatère BDFE.
VII. ÉTUDE D’UNE FIGURE QUI N’EST NI UN POLYGONE NI UN CERCLE…
Exercice 9 (D’après CERPE, Rouen 2000)
Voici le programme de construction d’une figure appelée « ove » en raison de sa forme ovoïde.
- Tracer un segment [AB] de milieu I et construire un point C de sa médiatrice tel que IC = AB/2.
- Tracer le petit arc de cercle de centre B et de rayon AB délimité par les demi-droites [BA) et
[BC). Noter E le point d’intersection de cet arc avec la droite (BC).
- Tracer de même le petit arc de cercle de centre A et de rayon AB délimité par les demi-droites
[AB) et [AC). Noter F le point d’intersection de cet arc avec la droite (AC).
- Tracer le demi-cercle de diamètre [AB] ne contenant pas le point C.
- Tracer l’arc
p
EF du cercle de centre C de rayon EC et situé à l’extérieur du triangle ABC.
1. Tracer un segment [AB] de longueur, puis, à la règle et au compas seuls, tracer l’ove.
2. Dans cette question et les suivantes : AB = 4cm. Quelle est la nature de ABC ? Calculer AC et BC.
3. Calculer
n n n
FCE , EBA et FAB. Calculer la valeur de FC puis le périmètre de l’ove.
4. Soit 1
11
21
22
α =+
+
+
.Simplifier l’écriture de α. En prenant α comme approximation de 2 et 22/7
comme approximation de π, calculer une approximation fractionnaire du
périmètre de l’ove puis donner sa valeur approchée à 10-4 près par défaut.
VIII. COMPLÉMENTS SUR LE NOMBRE D’OR ET LE PENTAGRAMME
Exercice 10
On rappelle que 15
2
φ
+
= et que 21
φ
φ =+.
Fig. 1. On note r =AC/AB.
Montrer que r =AC/AE = AE/AG = AG/BG et
que r = EB/EG = 1 + BG/EG.
En déduire que r
φ
=.
Monter que si OA = 1 alors AB =3
φ
−.
Fig. 2. Montrer que la construction du
pentagramme est correcte en vérifiant que si
OA = 1 alors AB = NA = 3
φ
−
.
Fig. 1. Fig. 2.