
1
1. Introduction
On consid`ere un polynˆome P∈R[X] unitaire, scind´e `a racines simples.
Le but de ce m´emoire est de calculer le genre des surfaces r´eelles d’´equation :
P(x)−y2+z2= 0.
Dans tout ce qui suit, nous travaillons dans R3, et on appelle surface toute vari´et´e diff´erentiable de
dimension 2.
Dans cette introduction nous pr´esentons (sans preuve) les outils utilis´es dans la suite : le th´eor`eme
de classification des surfaces ( `a bords, compactes, connexes et orientables), les fonctions de Morse
et la caract´eristique d’Euler-Poincar´e d’une surface.
Enfin nous donnons la trame du calcul expos´e dans la suite du rapport.
Pour les d´etails de tout ce qui suit on renvoit `a [H].
1.1. Les surfaces `a bords compactes, connexes, orientables.
D´efinition 1.1. rajout d’une anse.
On consid`ere une surface M, le disque D2et un plongement f
f:{−1,1} × D2→M.
L’image de f est une paire de disques disjoints de M.
On consid`ere
M0={0} × ([−1,1] ×S1)∪ {1} × (M−int(f({−1,1} × D2)))
∼
o`u ∼est la relation d’´equivalence identifiant pour tout x∈ {−1,1} × S1, (0,x) et (1,f(x)).
Usuellement on note
M0= (M−int(f({−1,1} × D2))) ∪f([−1,1] ×S1)
avec
f:{−1,1} × S1→S2.
G´eom`etriquement, on a ot´e l’int´erieur des disques puis on a coll´e le cylindre [−1,1] ×S1sur
M−int(f({−1,1} × D2)) le long des bords. On dit que l’on a attach´e une anse `a M.
M’ munie de la structure diff´erentielle induite par celle de M−int(f({−1,1} × D2)) et celle de
[−1,1] ×S1est une surface.
D´efinition 1.2. Surfaces orientables de genre p, `a b bords.
On dit qu’une surface compacte connexe orientable M est de genre p avec k bords, pour p, k ∈N,
si elle est diff´eomorphe `a la sph`ere S2`a laquelle on a successivement ajout´e p anses et ot´e l’int´erieur
de k disques disjoints.
Si une surface connexe non compacte orientable est diff´eomorphe `a l’int´erieur d’une surface de genre
p `a k bords, alors on dit que cette surface est de genre p.
On a le th´eor`eme de classification suivant :
Th´eor`eme 1.3. Classification des surfaces `a bords compactes connexes et orientables.
Soit M une surface `a bords compacte connexe et orientable. On suppose que ∂M a k composantes,
alors il existe un unique entier p≥0tel que M soit diff´eomorphe `a une surface orientable de genre p
`a k bords.