Calcul du genre des surfaces réelles du type P(x)

Rapport de Stage de Master 2
Calcul du genre des surfaces réelles d’équation
P (X) − y 2 + z 2 = 0
via des fonctions de Morse.
Michel Raibaut
Mars 2006 - Juin 2006
Responsable du stage : Alexandru Dimca
1
1. Introduction
On considère un polynôme P ∈ R[X] unitaire, scindé à racines simples.
Le but de ce mémoire est de calculer le genre des surfaces réelles d’équation :
P (x) − y 2 + z 2 = 0.
Dans tout ce qui suit, nous travaillons dans R3 , et on appelle surface toute variété différentiable de
dimension 2.
Dans cette introduction nous présentons (sans preuve) les outils utilisés dans la suite : le théorème
de classification des surfaces ( à bords, compactes, connexes et orientables), les fonctions de Morse
et la caractéristique d’Euler-Poincaré d’une surface.
Enfin nous donnons la trame du calcul exposé dans la suite du rapport.
Pour les détails de tout ce qui suit on renvoit à [H].
1.1. Les surfaces à bords compactes, connexes, orientables.
Définition 1.1. rajout d’une anse.
On considère une surface M, le disque D2 et un plongement f
f : {−1, 1} × D2 → M.
L’image de f est une paire de disques disjoints de M.
On considère
{0} × ([−1, 1] × S1 ) ∪ {1} × (M − int(f ({−1, 1} × D2 )))
M0 =
∼
où ∼ est la relation d’équivalence identifiant pour tout x ∈ {−1, 1} × S1 , (0,x) et (1,f(x)).
Usuellement on note
M 0 = (M − int(f ({−1, 1} × D2 ))) ∪f ([−1, 1] × S1 )
avec
f : {−1, 1} × S1 → S2 .
Géomètriquement, on a oté l’intérieur des disques puis on a collé le cylindre [−1, 1] × S1 sur
M − int(f ({−1, 1} × D2 )) le long des bords. On dit que l’on a attaché une anse à M.
M’ munie de la structure différentielle induite par celle de M − int(f ({−1, 1} × D2 )) et celle de
[−1, 1] × S1 est une surface.
Définition 1.2. Surfaces orientables de genre p, à b bords.
On dit qu’une surface compacte connexe orientable M est de genre p avec k bords, pour p, k ∈ N,
si elle est difféomorphe à la sphère S2 à laquelle on a successivement ajouté p anses et oté l’intérieur
de k disques disjoints.
Si une surface connexe non compacte orientable est difféomorphe à l’intérieur d’une surface de genre
p à k bords, alors on dit que cette surface est de genre p.
On a le théorème de classification suivant :
Théorème 1.3. Classification des surfaces à bords compactes connexes et orientables.
Soit M une surface à bords compacte connexe et orientable. On suppose que ∂M a k composantes,
alors il existe un unique entier p ≥ 0 tel que M soit difféomorphe à une surface orientable de genre p
à k bords.
2
1.2. Les fonctions de Morse.
On se donne une variété lisse M.
Définition 1.4. Fonctions de Morse.
Une fonction de Morse sur M est une fonction lisse f : M → R dont tous les points critiques sont
non dégénérés. Par définition si gx est une expression locale de f en un point critique x alors x est
non dégénéré si et seulement si la matrice Hessgx (x) est inversible. Ceci ne dépend pas des
coordonnées locales.
Définition 1.5. Indice d’un point critique.
Soit f : M → R une fonction de Morse et x un point critique de f.
On dit que x est d’indice p si et seulement si Hessgx (x) a exactement p valeurs propres négatives.
On note νp le nombre de points critiques d’indice p.
On dit que f est de type : (ν0 , ..., νn ) où n est la dimension de la variété.
Nous avons le lemme de Morse :
Lemme 1.6. Soit f une application lisse sur M et p un point critique non dégénéré d’indice k. Alors
il existe une carte locale (ϕ, U ) tel que
f ϕ−1 (u1 , ..., un ) = f (p) −
k
X
i=1
u2i +
n
X
u2i .
i=k+1
En particulier ceci prouve que les points critiques d’une fonction de Morse sont isolés.
On en déduit que sur une variété compacte, ils sont en nombre fini.
1.3. Caractéristique d’Euler.
Définition 1.7. Caractéristique d’Euler.
On note Hk (X, A, F ) le kème groupe d’homologie singulière de la pair (X, A) à coefficients dans F.
Ce sont des espaces vectoriels sur un corps F et on note λk (X, A, F ) leur dimension. Les λk (X, A, F )
sont appelés nombres de Betti de (X,A) si F = Q. Si ces nombres sont finis et sont en nombre fini
non nul, alors, on appelle caractéristique d’Euler homologique le nombre :
∞
X
χ(X, A, F ) =
(−1)k λk (X, A, F ).
k=0
Quand X est une variété compacte et A est une sous variété alors χ(X, A) est bien défini et ne
dépend pas de F.
Cette caractéristique dans le cas compact peut être calculée via des fonctions de Morse :
Théorème 1.8. Inégalités de Morse
Soit f : M → [a, b] une fonction de Morse sur une variété compacte de type (ν0 , ..., νn ) telle que
f (∂M ) ⊂ {a, b}. Soit F un corps, on note βk = dimHk (M, f −1 (a); F ). Alors :
pour 0 ≤ m ≤ n on a
m
m
X
X
(−1)k+m νk ≥
(−1)k+m βk
k=0
et
n
X
k=0
(−1)k νk =
k=0
n
X
k=0
(−1)k βk = χ(M, f −1 (a))
3
En particulier si f −1 (a) = ∅ le théorème précédent s’applique et :
n
X
χ(M ) =
(−1)k νk
k=0
Proposition 1.9. La caractéristique d’Euler d’une surface compacte connexe orientable de genre p
avec k bords est :
χ(M ) = 2 − 2p − k.
1.4. Trame du calcul du genre.
On commence par montrer que
S : P (x) − y 2 + z 2 = 0
avec P ∈ R[x] scindé à racines simples, est bien une surface orientable, connexe mais non compacte.
On construit ensuite une fonction de Morse sur S. Pour cela on utilise une idée de Milnor qui
consiste à regarder la fonction distance à l’origine au carré :
(x, y, z) ∈ S 7→ x2 + y 2 + z 2
Cette fonction est presque toujours une fonction de Morse. On considère alors la fonction
g : (x, y, z) ∈ S 7→ x2 + by 2 + cz 2
avec l’idée d’adapter les poids b > 0, c > 0 pour que g soit une fonction de Morse.
Nous montrons que g est une fonction propre, puis pour un réel R plus grand que la plus grande
valeur critique, nous considérons la surface SR = g −1 ([−1, R]).
Cette surface est compacte connexe orientable, à bord ∂SR = g −1 (R).
On montre que S est difféomorphe à l’intérieur de SR
Par le théorème de classification des surfaces, la surface SR est de genre p avec k bords.
On détermine k en cherchant le nombre de composantes connexes de g −1 (R).
On montre que k=1 si le degré de P est impair et k=2 si il est pair.
Comme SR est compacte on calcule la caractéristique d’Euler à l’aide de la formule :
χ(SR ) = ν0 − ν1 + ν2 .
On montre que χ(SR ) = 2 − d.
Enfin on calcule le genre à partir de la formule :
χ(SR ) = 2 − 2p − k.
Au final on a le théorème suivant :
Théorème 1.10. Si d est le degré de P alors le genre de SR et par extension le genre de S est :
d−1
2 si d est impair.
d−2
2 si d est pair.
En particulier si l’on souhaite avoir un exemple explicite de surface ayant un genre p, il suffit de
construire un polynôme réel unitaire scindé à racines simples ayant par exemple pour degré 2+2p ou
1+2p.
Ce stage m’a fait découvrir la topologie algébrique et la topologie différentielle jusque là inconnues.
Je remercie Mr Dimca pour son aide et ses conseils donnés avec beaucoup de gentillesse tout au long
de ce mémoire.
4
2. Calcul du genre des surfaces S : P (x) − y 2 + z 2 = 0.
2.1. S est une surface orientable, connexe et non compacte.
Soit P un polynôme unitaire à coeffcients réels de degré d, ayant d racines réelles distinctes
x1 < x2 < ... < xd .
On considère la surface d’équation S : P (X) − Y 2 + Z 2 = 0.
Fig. 1. S (1) : x(x − 1)(x + 1) − y 2 + z 2 = 0
Fig. 2. S (2) : x(x − 1)(x + 1)(x + 2) − y 2 + z 2 = 0
Proposition 2.1. S est une surface lisse orientable, connexe et non compacte.
Preuve : Considérons la fonction
f : R3 → R , f (x, y, z) = P (x) − y 2 + z 2
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Ainsi
S = f −1 (0)
f est polynomiale donc lisse et
Jacf (x, y, z) = (P 0 (x), −2y, 2z)
Donc l’ensemble des points critiques de f est
Crit(f ) = Zeros(P 0 ) × {(0, 0)}
Or les racines de P sont simples donc
f −1 (0) ∩ Crit(f ) = ∅.
Donc en tout point de S, f est une submersion.
Donc S est une sous variété de dimension 2 lisse (surface).
S est orientable comme fibre d’une submersion.
Les lignes de niveau à x fixé sont des hyperboles d’équations :
z2
y2
p
− p
= 1 si P (x) > 0
( P (x))2 ( P (x))2
z2
y2
p
− p
= 1 si P (x) < 0
( −P (x))2 ( −P (x))2
z 2 − y 2 = 0 si P (x) = 0
Donc S est non bornée donc non compacte.
L’ensemble des sommets des hyperboles des lignes de niveau E est connexe par arc.
p
p
E = {(x, 0, 0) | P (x) = 0} ∪ {(x, ± P (x), 0) | P (x) > 0} ∪ {(x, 0, ± −P (x)) | P (x) < 0}
On en déduit que S est connexe par arc. En rouge ci dessous l’ensemble des sommets de S (1) qui est
bien connexe par arcs. En vert deux points quelconques que l’on peut joindre par un chemin continu.
Fig. 3. lignes de niveau et connexité par arcs pour S (1)
6
Fig. 4. lignes de niveau et connexité par arcs pour S (1)
2.2. Fonctions de Morse sur S.
Proposition 2.2. Soit g : S → R , g(x, y, z) = x2 + by 2 + cz 2 .
Pour b > 0 et c > 0 bien choisis g est une fonction de Morse.
Preuve : g est une fonction lisse, on recherche ses points critiques puis on étudie en fonction de b et
c leur non dégénérescence.
L’application tangente en (x, y, z) est :
T(x,y,z) g : T(x,y,z) S →
R
(h, k, l) 7→ 2xh + 2byk + 2czl
où l’espace tangent à S en (x, y, z) est :
T(x,y,z) S = Ker(df (x, y, z)) = (gradf (x, y, z))⊥ = (P 0 (x), −2y, 2z)⊥
Le point (x,y,z) de S est un point critique si et seulement si T(x,y,z) g est nulle sur T(x,y,z) S, ceci
équivaut à
(x, by, cz) est colinéaire à (P’(x), -2y, 2z).
D’où (x,y,z) est un point critique de g si et seulement si

P (x) − y 2 + z 2 = 0 (1)



(2x + P 0 (x)b)y = 0 (2)
(b + c)yz = 0
(3)



(2x − cP 0 (x))z = 0 (4)
Soit (x0 , y0 , z0 ) un point critique de g.
Comme b > 0 et c > 0 on déduit de (3) que y0 = 0 ou z0 = 0.
• Cas 1 : y0 = z0 = 0.
On étudie donc la non dégénérescence de (x0 , 0, 0).
Par (1) on déduit que x0 est un zéro de P.
Cherchons une paramétrisation de S au voisinage de (x0 , 0, 0).
P est à racines simples d’où
∂f
(x0 , 0, 0) = P 0 (x0 ) 6= 0
∂x
7
Par application du théorème des fonctions implicites il existe un voisinage V(0,0) de (0,0) dans R2 ,
un voisinage Vx0 dans R et une application lisse
φ : V(0,0) 7→ Vx0
telle que
∀(x, y, z) ∈ Vx0 × V(0,0) f (x, y, z) = 0 ↔ x = φ(y, z)
Conséquence :
(y, z) ∈ V(0,0) 7→ (φ(y, z), y, z)
est un paramétrage de S au voisinage de (x0 , 0, 0).
L’expression locale de g au voisinage de (x0 , 0, 0) est donc
(y, z) 7→ (φ(y, z))2 + by 2 + cz 2 .
Développons φ au voisinage de (0,0) :
x = φ(y, z) = x0 + φ1 (y, z) + φ2 (y, z) + o(y 2 , yz, z 2 )
où φi est un polynôme homogène de degré i.
On a
∀(y, z) ∈ V(0,0) f (φ(y, z), y, z) = P (φ(y, z)) − y 2 + z 2 = 0
Par la formule de Taylor de P en x0 on obtient :
P (x) = P (x0 ) + P 0 (x0 )(x − x0 ) + P ”(x0 )
(x − x0 )2
+ o((x − x0 )2 )
2
D’où pour tout (y, z) ∈ V(0,0)
1
P 0 (x0 )(φ1 (y, z) + φ2 (y, z)) + P ”(x0 )(φ1 (y, z) + φ2 (y, z))2 − y 2 + z 2 + o(y 2 , yz, z 2 ) = 0
2
En identifiant les parties homogènes et en notant que P 0 (x0 ) 6= 0 on obtient
φ1 = 0 et φ2 =
y2 − z2
.
P 0 (x0 )
On en déduit le développement limité de l’expression locale de g en (0, 0) :
2x0
2x0
+ b)y 2 + (c − 0
)z 2 + o(y 2 , yz, z 2 )
∀(y, z) ∈ V(0,0) g(φ(y, z), y, z) = x20 + ( 0
P (x0 )
P (x0 )
Donc le point critique de g (x0 , 0, 0) où x0 est une racine de P est non dégénéré si et seulement si
−2x0
2x0
b 6= 0
et c 6= 0
.
P (x0 )
P (x0 )
• Cas 2 : y0 6= 0, z0 = 0.
D’après (1) et (2) (x0 , y0 , 0) est un point critique de g si et seulement si
P (x0 ) > 0 et 2x0 + bP 0 (x0 ) = 0.
p
En ce cas y0 = ε P (x0 ) avec ε ∈ {−1, 1}.
On étudie la non dégénérescence du point (x0 , εP (x0 ), 0).
On commence par paramétrer S au voisinage de ce point par le théorème de la fonction implicite.
Posons x = u + x0 et h(u, z, y) = f (u + x0 , y, z) pour tout (u, z, y) ∈ R3 .
p
p
∂h
(0, ε P (x0 ), 0) = −2ε P (x0 ) 6= 0
∂y
8
donc par application du théorème de la fonction implicite il existe une fonction lisse
φ : V(0,0) → V √
ε
où V(0,0) est un voisinage de (0,0) dans R2 et Vε√P (x
∀(u, z, y) ∈ V(0,0) × Vε√P (x
0)
0)
P (x0 )
est un voisinage de ε
p
P (x0 ) dans R, telle que
h(u, z, y) = 0 ↔ y = φ(u, z).
(u, z) 7→ h(u, z, φ(u, z))
est un paramétrage local de S au voisinage du point critique (x0 , ε
L’expression locale de g au voisinage de ce point est
p
P (x0 ), 0).
∀(u, z) ∈ V(0,0) g(u + x0 , y, z) = (u + x0 )2 + bφ(u, z)2 + cz 2
Afin de vérifier le caractère non dégénéré du point critique, on effectue un développement limité de
cette expression locale au voisinage de (0, 0).
p
∀(u, z) ∈ V(0,0) φ(u, z) = ε P (x0 ) + φ1 (u, z) + φ2 (u, z) + o(u2 , uz, z 2 ).
où φi est un polynôme homogène de degré i.
Or
∀(u, z) ∈ V(0,0) h(u, z, φ(u, z)) = 0
donc
P (u + x0 ) − φ(u, z)2 + z 2 = 0
donc
p
u2
(P (x0 ) + P 0 (x0 )u + P ”(x0 ) + o(u2 )) − (ε P (x0 ) + φ1 (u, z) + φ2 (u, z) + o(u2 , uz, z 2 ))2 + z 2 = 0
2
en identifiant les parties homogènes on obtient :
φ1 (u, z) =
−x0 u
P 0 (x0 )u
p
= p
2ε P (x0 )
bε P (x0 )
2
P ”(x0 ) u2 − φ21 + z 2
p
φ2 (u, z) =
2ε P (x0 )
D’où (après calcul) le développement limité de l’expression locale de g :
p
P ”(x0 ) 2
g(u + x0 , y, z) = g(x0 , ε P (x0 ), 0) + (1 + b
)u + (b + c)z 2 + o(u2 , uz, z 2 ).
2
p
Le point (x0 , ε P (x0 ), 0) où x0 est racine du polynôme 2x + P 0 (x)b = 0 tel que P (x0 ) > 0 est un
point critique ; il est non dégénéré si et seulement si
−2
b 6=
.
P ”(x0 )
• Cas 3 : z0 6= 0, y0 = 0.
On applique la même méthode.
p
Le point critique (x0 , y0 , z0 ) est de la forme (x0 , 0, ε −P (x0 )), x0 est racine du polynôme
2X-cP’(X) et P (x0 ) < 0.
L’expression locale de g en ce point est :
p
P ”(x0 ) 2
g(u + x0 , y, z) = g(x0 , 0, ε −P (x0 )) + (1 − c
)u + (b + c)y 2 + o(u2 , uy, y 2 )
2
9
2
Ce point critique est non dégénéré pourvu que c 6= P ”(x
.
0)
Le tableau suivant est un bilan de toute l’étude :
points critiques
Hessienne
Conditions sur b,c
(xj , 0, 0)
2xj
P 0 (xj )
P (xj ) = 0
+b
c−
0
!
0
2xj
P 0 (xj )
j ∈ {1, .., d}
b 6=
−2xj
P 0 (xj )
c 6=
2xj
P 0 (xj )
b 6=
−2
P ”(x)
c 6=
2
P ”(x)
p
(x, ± P (x), 0)
P 0 (x)
+
2x
b
=0
1+
bP ”(x)
2
0
0
b+c
0
b+c
P (x) > 0
p
(x, 0, ± −P (x))
P 0 (x)
−
2x
c
=0
1−
cP ”(x)
2
0
P (x) < 0
Il existe clairement une infinité de b > 0 et c > 0 vérifiant les conditions ci dessus.
Pour de tels b et c, g est une fonction de Morse.
Fig. 5. Points critiques de g sur S (1)
10
Proposition 2.3. g est une fonction propre.
Preuve : Soit K un compact de R, à montrer g −1 (K) est un compact de S.
On prolonge g en une fonction g̃ définie sur R3 .
K est fermé et la fonction g̃ est continue donc g̃ −1 (K) est un fermé de R3 .
S est fermé donc g −1 (K) = S ∩ g̃ −1 (K) est
q un fermé.
q De plus il existe R > 0 tel que K ⊂ [−R, R].
√
Si (x, y, z) ∈ g −1 (K) alors x < R , y < Rb et z < Rc .
g −1 (K) est un compact de S comme fermé borné du fermé S.
La fonction g est donc propre.
2.3. S est difféomorphe à l’intérieur d’une surface orientable de genre p, à k bords.
Introduisons l’outil essentiel de la preuve :
Définition 2.4. Groupe à un paramètre de difféomorphismes.
un groupe à un paramètre ϕ de difféomorphismes de M est une application C ∞ :
ϕ : R×M →M
tel que
i) pour tout t ∈ R ϕt : M → M est un difféomorphisme.
ii) pour tout t, s ∈ R ϕt+s = ϕt ϕs
iii) ϕ0 = IdM
Un champs de vecteurs X est engendré par le groupe ϕ si pour toute fonction lisse
f (ϕq (h)) − f (q)
h→0
h
Xq (f ) = lim
Lemme 2.5. Un champs de vecteurs sur M qui s’annule en dehors d’un compact K ⊂ M génère un
unique groupe à 1 paramètre de difféomorphismes de M.
Preuve : [M].
Proposition 2.6. Soit f une fonction propre lisse sur une sous variété M.
f : M →R
On suppose qu’il existe a ∈ R tel que pour tout b > a, le compact de M f −1 ([a, b]) ne contienne
aucun point critique de f alors :
i) pour b > a M a ≈ M b où M c = {x ∈ M | f (x) ≤ c}.
ii) M a est un rétract par déformation de M b et l’inclusion M a → M b est une équivalence
d’homotopie.
iii) f −1 (a) × [0, +∞[ est difféomorphe à f −1 ([a, +∞[), M a est un rétract par déformation de M et
l’inclusion M a → M est une équivalence d’homotopie.
Preuve : D’aprés Milnor pour i et ii :
On munit M d’une métrique Riemannienne et on note < x, y > le produit scalaire de deux vecteurs
tangents. Le gradient de f est le champs de vecteurs grad f défini sur M et caractérisé par
< X, gradf >= X(f )
Si
c : R→M
11
est une courbe lisse alors on a :
dc
d(f c)
, gradf >=
dt
dt
1
Soit ρ une fonction lisse positive égale à <gradf,gradf > sur le compact f −1 [a, b] et qui s’annule en
dehors d’un voisinage compact de f 1 [a, b].
(b)
On considère le champs de vecteurs Xq = ρ(q)gradf (q).
X (b) satisfait les conditions du lemme précédent.
Notons ϕ(b) ce groupe à un paramètre
<
ϕ(b) : R × M → M.
(b)
Pour q ∈ M on considère l’application : t 7→ f (ϕt (q)). Cette application est dérivable, la dérivée
vérifie :
(b)
(b)
2
df (ϕt (q))
ϕ (q)
(b)
(b)
(b)
=< t
, gradf (ϕt (q)) >= ρ(ϕt (q)) gradf (ϕt (q)) ≥ 0
dt
dt
Cette fonction est donc croissante.
(b)
(b)
df (ϕt (q)))
Remarque : si ϕt (q) ∈ f −1 [a, b] alors
= 1.
dt
(b)
(b)
Ainsi t 7→ f (ϕt (q)) est affine de dérivée 1 tant que a ≤ ϕt (q) ≤ b.
(b)
(b)
De plus si il existe s tel que f (ϕs (q)) = a alors pour tout t ∈ [s, s + b − a] on a f (ϕt (q)) = t − s + a.
(b)
Le difféomorphisme ϕb−a : M → M est un difféomorphisme entre M a et M b :
(b)
Pour cela il suffit de vérifier que ϕb−a (M a ) → M b est bien définie et surjective.
(b)
soit q ∈ Ma alors f (q) ≤ a, t 7→
(b)
ϕ0 (q)
(b)
f (ϕ0 (q))
df (ϕt (q))
dt
est croissante.
q=
donc
≤ a.
(b)
Si il existe s < b − a telque f (ϕs (q)) = a alors par la remarque précédente :
(b)
f (ϕt (q)) = t − s + a, pour s ≤ t ≤ b − a + s
en particulier
(b)
f (ϕb−a (q)) = b − s ≤ b
(b)
donc ϕb−a (M a ) ⊂ M b .
(b)
(b)
ϕb−a est surjective en effet, si q ∈ M b alors ϕa−b (q) ∈ M a (même raisonnement que plus haut), et
(b)
(b)
ϕb−a ◦ ϕa−b (q) = q.
Ceci prouve que M a et M b sont difféomorphes d’où (i).
On considère la famille à 1 paramètre rt : M b → M b définie par
(
q
si f (q) ≤ a
rt (q) =
(b)
ϕt(a−f (q)) (q) si a ≤ f (q) ≤ b
Pour a ≤ f (q) ≤ b
(b)
t 7→ f (ϕt(a−f (q)) (q)) = t(a − f (q)) + f (q)
est affine décroissante et vaut f(q) en 0 et a en 1 (ensuite elle n’est plus nécessairement affine).
Ceci prouve que rt : M b → M b est bien défini.
12
On a alors r0 = idM a et r1 est une rétraction M b sur M a . Donc M a est un rétract par déformation
de M b d’où (ii).
Pour prouver iii) on considère la fonction
F
: f −1 ([a, +∞[) →
f −1 (a) × [0, +∞[
(b)
m
7→ (ϕa−f (m) (m), f (m) − a)
où b > f (m).
Prouvons que F est un difféomorphisme.
• La définition de F ne dépend pas de b.
En effet, soit m ∈ f −1 ([a, +∞[), et b2 > b1 > m.
Par construction
(b )
(b )
1
2
X|f −1
= X|f −1
=
([a,b1 ])
([a,b1 ])
gradf
.
kgradf k2
Les courbes intégrales ϕb1 (m) et ϕb2 (m) coı̈ncident sur f −1 ([a, b1 ]).
(b1 )
−1 (a) ⊂ f −1 ([a, b]) et ϕ(b2 )
−1 (a) ⊂ f −1 ([a, b]) on a
En particulier comme ϕa−f
(m) (m) ∈ f
a−f (m) (m) ∈ f
(b )
(b )
1
2
ϕa−f
(m) (m) = ϕa−f (m) (m).
• F est injective :
Soit m1 et m2 ∈ f −1 ([a, +∞[) tels que
(b)
(b)
(ϕa−f (m1 ) (m1 ), f (m1 ) − a) = (ϕa−f (m2 ) (m2 ), f (m2 ) − a)
avec b > f (m1 ) = f (m2 ).
Les deux courbes intégrales ϕ(b) (m1 ) et ϕ(b) (m2 ) coı̈ncident au temps a − f (m1 ) = a − f (m2 ) donc
par unicité elles coincident partout et donc m1 = m2 .
• F est surjective :
Soit (q, t) ∈ f −1 (a) × [0, +∞[. On remonte la courbe intégrale à partir de q :
Considérons b > a + t et la courbe intégrale ϕ(b) (q).
(b)
On pose naturellement m = ϕt (q).
(b)
Rappelons que f (ϕs (q)) = s + a pour tout s tel que b − a > s.
(b)
Comme b − a > t f (m) = f (ϕt (q)) = t + a.
(b) (b)
Enfin ϕ−t (ϕt (q)) = q. D’où F (m) = (q, t).
• Montrons que F est un difféomorphisme.
On utilise pour cela le théorème d’inversion globale.
Soit m fixé, ε > 0 et b > f (m) + ε.
Par continuité de f il existe un voisinage Vm dans f −1 ([a, +∞[) tel que pour tout m̃ ∈ Vm f (m̃) < b.
Le groupe à un paramètre ϕ(b) est un difféomorphisme. F est différentiable car ses composantes le
sont. L’application tangente en m est :
13
Tm F
: Tm M
v
→
Tq f −1 (a) × R
b
7
→
(T(a−f (m),m) ϕ (−gradf (m).v, v), gradf (m).v)
(b)
où q = ϕa−f (m) (m).
C’est une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension 2.
Cette application est inversible :
Soit v ∈ KerTm F on a donc T(a−f (m),m) ϕb (−gradf (m).v, v) = 0.
Or ϕ(b) est un difféomorphisme donc l’application tangente T(a−f (m),m) ϕb est inversible d’ou v=0.
On conclut par le théorème d’inversion globale, puisque F est injective.
On applique le théorème précédent à la fonction de Morse : g : M → R.
g a un nombre fini de points critiques donc un nombre fini de valeurs critiques.
Pour R > max{valeurs critiques} :
g −1 ([R, +∞[) est difféomorphe à g −1 (R) × [0, +∞[.
Comme [0, 1[ est difféomorphe à [0, +∞[,
g −1 ([R, +∞[) est difféormorphe à g −1 (R) × [0, 1[.
Or
S = g −1 (R) = g −1 (] − ∞, R[) ∪ g −1 ([R, +∞[)
Donc
S est difféomorphe à g −1 (] − ∞, R[) ∪ (g −1 (R) × [0, 1[)
g −1 (R) est une variété compacte lisse de dimension 1 car R > {valeurs critiques}, chaque
composante connexe est compacte lisse de dimension 1, donc difféomorphe à S1 (théorème de
classification des courbes de R3 ).
Ainsi g −1 (R) × [0, 1[ est une réunion disjointe de k cylindres semi-ouverts où k est le nombre de
composantes connexes de g −1 (R).
Enfin S est difféomorphe à g −1 (] − ∞, R[).
En effet par la prop 2.7 ci dessous et le théorème de classification des surfaces, g −1 (] − ∞, R[) est
l’intérieur d’une surface compacte connexe orientable de genre p avec k bords. Si l’on recolle les k
disques fermés manquants la surface est donc difféomorphe à la sphère à p anses.
De même si on bouche chacun des k cylindres de g −1 (] − ∞, R]) ∪ g −1 (R) × [0, 1[ par les k disques
fermés, la surface obtenue est elle même difféomorphe à la sphère à p anses.
Les difféomorphismes sont conservés en otant les k disques.
2.4. Calcul du genre de S.
2.4.1. Topologie de SR .
Proposition 2.7. Pour
R > max{valeurs critiques, kbP (x)k∞,[x1 ,xd ] + x21 + x2d , kcP (x)k∞,[x1 ,xd ] + x21 + x2d },
la surface g −1 ([−1, R]) est compacte, connexe, orientable, ayant 2 bords si d est pair et 1 sinon. Elle
contient toutes les singularités de g sur S.
Preuve : g −1 ([−1, R]) = g −1 (] − 1, R]) est une variété à bord orientable et ∂g −1 ([−1, R]) = g −1 (R).
• g étant propre, cette variété est compacte.
• Par définition de R toutes les valeurs critiques de g sont contenues dans [−1, R] donc g −1 ([−1, R])
contient toutes les singularités de g sur S.
14
• Calculons le nombre de composantes connexes du bord g −1 (R).
(x, y, z) ∈ g −1 (R) vérifie x2 + by 2 + cz 2 = R et P (x) − y 2 + z 2 = 0.
La résolution de ce sytème donne formellement :
r
r
R − x2 + cP (x)
R − x2 − bP (x)
(x, y, z) = (x, ±
,±
)
b+c
b+c
Comme R > max{kbP (x)k∞,[x1 ,xd ] + x21 + x2d , kcP (x)k∞,[x1 ,xd ] + x21 + x2d }, les polynômes,
R − x2 + cP (x) et R − x2 − bP (x) ont chacun au plus 2 racines.
√
2 − bP (x) a deux racines α ∈] − R, x [ et
En particulier
si
d
est
pair
:
alors
le
polynôme
R
−
x
1
1
√
α2 ∈]xd , R[ et le polynôme R − x2 + cP (x) n’a aucune racine sur R. On a
r
r
2 + cP (x)
R
−
x
R − x2 − bP (x)
,±
) | x ∈ [α1 , α2 ]}
g −1 (R) = {(x, ±
b+c
b+c
Cet ensemble a deux composantes connexes :
r
r
R − x2 + cP (x)
R − x2 − bP (x)
M+ = {(x,
,±
) | x ∈ [α1 , α2 ]}
b+c
b+c
et
r
r
R − x2 + cP (x)
R − x2 − bP (x)
M− = {(x, −
,±
) | x ∈ [α1 , α2 ]}
b+c
b+c
Fig. 6. Les deux composantes du bord d’une surface compacte associée à S (2)
15
Fig. 7. Les deux composantes du bord d’une surface compacte associée à S (2)
Fig. 8. Intersection de S (2) avec l’ellipsoı̈de g −1 (R).
√
Si d est impaire alors le polynôme R − x2 + cP (x) a une√unique racine α1 ∈] − R, x1 [ et le
polynôme R − x2 − bP (x) a une unique racine α2 ∈]xd , R[. On a
r
r
R − x2 + cP (x)
R − x2 − bP (x)
−1
g (R) = {(x, ±
,±
) | x ∈ [α1 , α2 ]}
b+c
b+c
Cet ensemble est réunion des quatre arcs :
r
r
R − x2 + cP (x)
R − x2 − bP (x)
M+,+ =
{(x,
,
) | x ∈ [α1 , α2 ]}
b+c
b+c
r
r
R − x2 + cP (x)
R − x2 − bP (x)
M+,− = {(x,
,−
) | x ∈ [α1 , α2 ]}
b+c
b+c
r
r
R − x2 + cP (x)
R − x2 − bP (x)
M−,+ = {(x, −
,
) | x ∈ [α1 , α2 ]}
b+c
b+c
r
r
R − x2 + cP (x)
R − x2 − bP (x)
,−
) | x ∈ [α1 , α2 ]}
M−,− = {(x, −
b+c
b+c
16
La réunion de ces 4 arcs est connexe.
s
M+,+ ∩ M−,+ = (α1 , 0,
R − α12 − bP (α1 )
),
b+c
s
R − α22 + cP (α2 )
, 0),
b+c
s
R − α12 − bP (α1 )
= (α1 , 0, −
),
b+c
s
R − α22 + cP (α2 )
= (α2 , −
, 0).
b+c
M−,+ ∩ M−,− = (α2 , −
M−,− ∩ M+,−
M+,− ∩ M+,+
Fig. 9. Connexité du bord d’une surface compacte associée à S (1) .
Fig. 10. Connexité du bord d’une surface compacte associée à S (1) .
17
Fig. 11. Intersection de S (1) avec l’ellipsoı̈de g −1 (R).
• g −1 ([−1, R]) est connexe par arc : en effet on a montre que
r
r
R − x2 + cP (x)
R − x2 − bP (x)
−1
g (R) = {(x, ±
,±
) | x ∈ [α1 , α2 ]}.
b+c
b+c
Ainsi x ∈ [α1 , α2 ], et à x fixé on a 4 points du bord
r
r
R − x2 + cP (x)
R − x2 − bP (x)
(x, ±
,±
).
b+c
b+c
Ces 4 points appartiennent à l’unique courbe de niveau Hx d’altitude x qui est de la forme :
p
{(x, y, ± y 2 − P (x)) | y 2 − P (x) ≥ 0}, si P (x) > 0
ou bien
p
{(x, ± z 2 + P (x), z) | z 2 + P (x) ≥ 0}, si P (x) < 0.
Pour tout y’ tel que |y 0 | < |y| et y 02 − P (x) ≥ 0 on a x2 + by 02 + cz 02 ≤ R, donc Hx ∩ g −1 ([−1, R]) est
une hyperbole avec ses deux sommets tronquée sur ses branches en les 4 points
r
r
R − x2 + cP (x)
R − x2 − bP (x)
(x, ±
,±
).
b+c
b+c
On traite de même le second cas. Par conséquent on est dans la même situation qu’en (2.1), et on
applique le même argument.
2.4.2. Calcul de la caractéristique d’Euler de SR .
La caractéristique d’Euler d’une surface ne dépend pas de la fonction de Morse définie sur la surface.
On peut donc choisir comme on le souhaite des b > 0 et c > 0 vérifiant les conditions des cas 1, 2 et
3, pour avoir une fonction de Morse, et calculer la caractéristique simplement.
18
Proposition 2.8. Posons
M = min(P 0 (x) | P ”(x) = 0)
Pour
b >> max({xj | j ∈ {1, .., d}} ∪ {
−2xj
4 |xd | 4 |x1 |
| j ∈ {1, .., d}} ∪ {
,
})
0
P (xj )
M
M
c >> max({xj | j ∈ {1, .., d}} ∪ {
2xj
4 |xd | 4 |x1 |
| j ∈ {1, .., d}} ∪ {
,
})
0
P (xj )
M
M
et
vérifiant les conditions des cas1, 2 et 3 et pour
R > max{valeurs critiques, kbP (x)k∞,[x1 ,xd ] + x21 + x2d , kcP (x)k∞,[x1 ,xd ] + x21 + x2d },
on a en notant d le degré de P.
χ(g −1 ([−1, R])) = 2 − d
Remarque 2.9. Comme P est scindé à racines simples on a les propriétés suivantes :
– P et P’ n’ont pas de racines communes.
– P’ est scindé à racines simples contenues dans [x1 , xd ] (théorème de Rolle, et degré).
– P’ et P” n’ont pas de racines communes.
0
0
Notons x1 , ..., xd−1 les racines de P’ et x”1 , ..., x”d−2 les racines de P”.
– min(|P 0 (x)| | P ”(x) = 0) est non nul.
– les zéros de P” sont exactement les extrema locaux de P’ et min(|P 0 (x)| | P ”(x) = 0) n’est rien
d’autre que la plus petite valeur des extrema locaux de |P 0 |.
– les maxima de P et P’ sont strictement positifs, les minima de P et P’ sont strictement négatifs.
– les minima et les maxima sont alternés.
Preuve : Par définition de R les points critiques de g sont tous contenus dans SR .
Comme
−2xj
| j ∈ {1, .., d}})
b > max({xj | j ∈ {1, .., d}} ∪ { 0
P (xj )
et
2xj
c > max({xj | j ∈ {1, .., d}} ∪ { 0
| j ∈ {1, .., d}}),
P (xj )
les d points critiques du cas numéro 1 sont tous d’indice 0, ce sont des minima locaux de g.
Passons au cas numéro 2.
Comme
4 |xd | 4 |x1 |
b > max{
,
},
M
M
on a
2x
M
M
∀x ∈ [x1 , xd ] P 0 (x) −
< P 0 (x) −
< P 0 (x) +
.
2
b
2
M
0
Les polynômes P 0 (x) − M
2 et P (x) + 2 sont scindés à racines simples.
En effet, si x0 est un maxima de P’(x) alors P 0 (x0 ) > 0 et par définition de M P 0 (x0 ) ± M
2 > 0.
Même raisonnement pour les minima.
Comme les minima et les maxima sont alterné par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à
chaque intervalle [x”i , x”i+1 ], pour i ∈ {1..d − 3}, on obtient d-3 racines du polynôme P 0 (x) + M
2 , (resp
M
0
du polynôme P (x) − 2 ).
19
Fig. 12. P 0 (x) −
M
2
< P 0 (x) −
2x
b
< P 0 (x) +
M
2
Comme
lim P 0 (x) = +∞,
x→∞
M
0
x”d−3 est un minimum de P 0 (x) + M
2 , (resp du polynôme P (x) − 2 ),
donc par le théorème des valeurs intermédiaires, ce polynôme s’annule sur [x”d−3 , +∞[. On raisonne
de même sur ] − ∞, x”1 ], finalement on a d-1 racines distinctes et les polynômes sont scindés.
0+
0
0−
0−
M
0
les racines de P 0 (x) + M
Notons x1+ , ..., xd−1
2 , et x1 , ..., xd−1 les racines de P (x) − 2 .
On a par effet de la translation :
0
0
∀i ∈ {1, .., d − 1} xi+ < xi < xi− .
Le polynôme P 0 (x) −
En effet on a
2x
b
est donc lui aussi scindé à racines simples.
0
2x +
0
M
∀i ∈ {1, .., d − 1} P (xi ) − i < P 0 (xi+ ) +
=0
b
2
0
0+
et
0
2x −
0
M
< P 0 (xi− ) − i
2
b
il suffit d’appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur chaque intervalle pour conclure. On
note x̃i , i ∈ {1..d − 1} les racines.
Par continuité des racines d’un polynôme en fonction des coefficients on a
0
0 = P 0 (xi− ) −
0
∀i ∈ {1, .., d − 1} lim x̃i = xi .
b→∞
Les valeurs de P aux maxima sont strictement positives et aux minima sont strictement négatives.
Pour b suffisament grand les racines de P 0 (x) + 2b x sont très proches des racines de P’ et celles telles
que P (x) > 0 sont prochent des maxima locaux de P.
P a [ d−1
2 ] maxima.
De plus au voisinage d’un maximum P est concave donc P”(x) est strictement négative (car P’ est
scindé à racines simples).
Ainsi pour b suffisament grand le cas numéro 2 s’applique et donne 2[ d−1
2 ] points cols (points
d’indice 1).
20
On raisonne de même pour le cas numéro 3.
La première coordonnée x d’un point critique
p
2x
(x, 0, ± −P (x)) ; P 0 (x) −
= 0 ; P (x) < 0
c
est pour c suffisament grand proche d’un minima de P.
d−1
P a [ d−1
2 ] + 1 minima dans le cas pair et [ 2 ] dans le cas impair.
De plus au voisinage d’un minimum P est convexe donc P”(x) est strictement positive (car P’ est
scindé à racines simples).
Ainsi pour c suffisament grand le cas numéro 3 s’applique et donne 2([ d−1
2 ] + 1) points critiques dans
le cas pair et 2([ d−1
])
dans
le
cas
impair.
2
Les points critiques sont des cols (cf tableau hessienne cas numero 3 ).
Bilan : on a d points d’indice 0 et 2d-2 points d’indice 1.
SR étant compacte on peut calculer la caractéristique d’Euler par la formule χ(SR ) = ν0 − ν1 + ν2
où νi est le nombre de points critiques de g d’indice i, on en déduit
χ(SR ) = 2 − d.
2.4.3. Calcul du genre de S.
Par le théorème de classification des surfaces à bords compactes, connexes, et orientables, la surface
SR est difféomorphe à une surface compacte orientable de genre p avec k bords, où k=1 si d est
impair et k=2 si d est pair.
Proposition 2.10. Le genre de g −1 ([−1, R]) est
d−1
2
si d est impair et
d−2
2
si d est pair.
Preuve : On le déduit à partir des propositions précédentes et de la formule χ(SR ) = 2 − 2p − k où p
est le genre et k le nombre de bords.
d−2
Par extension le genre de S est d−1
2 si d est impair et 2 si d est pair.
3. Bibliographie
[G]. M.GREENBERG, Lectures on Algebraic topology, Benjamin, 1967.
[H]. M.W.HIRSCH , Differential topology, Springer-Verlag, 1976.
[M]. J.W.MILNOR , Morse theory, Princeton University Press, Princeton, 1963.