Calcul du genre des surfaces réelles du type P(x)

Rapport de Stage de Master 2
Calcul du genre des surfaces r´eelles d’´equation
P(X)−y2+z2= 0
via des fonctions de Morse.
Michel Raibaut
Mars 2006 - Juin 2006
Responsable du stage : Alexandru Dimca

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1. Introduction
On consid`ere un polynˆome P∈R[X] unitaire, scind´e `a racines simples.
Le but de ce m´emoire est de calculer le genre des surfaces r´eelles d’´equation :
P(x)−y2+z2= 0.
Dans tout ce qui suit, nous travaillons dans R3, et on appelle surface toute vari´et´e diff´erentiable de
dimension 2.
Dans cette introduction nous pr´esentons (sans preuve) les outils utilis´es dans la suite : le th´eor`eme
de classification des surfaces ( `a bords, compactes, connexes et orientables), les fonctions de Morse
et la caract´eristique d’Euler-Poincar´e d’une surface.
Enfin nous donnons la trame du calcul expos´e dans la suite du rapport.
Pour les d´etails de tout ce qui suit on renvoit `a [H].
1.1. Les surfaces `a bords compactes, connexes, orientables.
D´efinition 1.1. rajout d’une anse.
On consid`ere une surface M, le disque D2et un plongement f
f:{−1,1} × D2→M.
L’image de f est une paire de disques disjoints de M.
On consid`ere
M0={0} × ([−1,1] ×S1)∪ {1} × (M−int(f({−1,1} × D2)))
∼
o`u ∼est la relation d’´equivalence identifiant pour tout x∈ {−1,1} × S1, (0,x) et (1,f(x)).
Usuellement on note
M0= (M−int(f({−1,1} × D2))) ∪f([−1,1] ×S1)
avec
f:{−1,1} × S1→S2.
G´eom`etriquement, on a ot´e l’int´erieur des disques puis on a coll´e le cylindre [−1,1] ×S1sur
M−int(f({−1,1} × D2)) le long des bords. On dit que l’on a attach´e une anse `a M.
M’ munie de la structure diff´erentielle induite par celle de M−int(f({−1,1} × D2)) et celle de
[−1,1] ×S1est une surface.
D´efinition 1.2. Surfaces orientables de genre p, `a b bords.
On dit qu’une surface compacte connexe orientable M est de genre p avec k bords, pour p, k ∈N,
si elle est diff´eomorphe `a la sph`ere S2`a laquelle on a successivement ajout´e p anses et ot´e l’int´erieur
de k disques disjoints.
Si une surface connexe non compacte orientable est diff´eomorphe `a l’int´erieur d’une surface de genre
p `a k bords, alors on dit que cette surface est de genre p.
On a le th´eor`eme de classification suivant :
Th´eor`eme 1.3. Classification des surfaces `a bords compactes connexes et orientables.
Soit M une surface `a bords compacte connexe et orientable. On suppose que ∂M a k composantes,
alors il existe un unique entier p≥0tel que M soit diff´eomorphe `a une surface orientable de genre p
`a k bords.

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1.2. Les fonctions de Morse.
On se donne une vari´et´e lisse M.
D´efinition 1.4. Fonctions de Morse.
Une fonction de Morse sur M est une fonction lisse f:M→Rdont tous les points critiques sont
non d´eg´en´er´es. Par d´efinition si gxest une expression locale de f en un point critique x alors x est
non d´eg´en´er´e si et seulement si la matrice Hessgx(x) est inversible. Ceci ne d´epend pas des
coordonn´ees locales.
D´efinition 1.5. Indice d’un point critique.
Soit f:M→Rune fonction de Morse et x un point critique de f.
On dit que x est d’indice p si et seulement si Hessgx(x) a exactement p valeurs propres n´egatives.
On note νple nombre de points critiques d’indice p.
On dit que f est de type : (ν0, ..., νn) o`u n est la dimension de la vari´et´e.
Nous avons le lemme de Morse :
Lemme 1.6. Soit f une application lisse sur M et p un point critique non d´eg´en´er´e d’indice k. Alors
il existe une carte locale (ϕ, U)tel que
fϕ−1(u1, ..., un) = f(p)−
k
X
i=1
u2
i+
n
X
i=k+1
u2
i.
En particulier ceci prouve que les points critiques d’une fonction de Morse sont isol´es.
On en d´eduit que sur une vari´et´e compacte, ils sont en nombre fini.
1.3. Caract´eristique d’Euler.
D´efinition 1.7. Caract´eristique d’Euler.
On note Hk(X, A, F ) le k`eme groupe d’homologie singuli`ere de la pair (X, A) `a coefficients dans F.
Ce sont des espaces vectoriels sur un corps F et on note λk(X, A, F ) leur dimension. Les λk(X, A, F )
sont appel´es nombres de Betti de (X,A) si F=Q. Si ces nombres sont finis et sont en nombre fini
non nul, alors, on appelle caract´eristique d’Euler homologique le nombre :
χ(X, A, F ) =
∞
X
k=0
(−1)kλk(X, A, F ).
Quand X est une vari´et´e compacte et A est une sous vari´et´e alors χ(X, A) est bien d´efini et ne
d´epend pas de F.
Cette caract´eristique dans le cas compact peut ˆetre calcul´ee via des fonctions de Morse :
Th´eor`eme 1.8. In´egalit´es de Morse
Soit f:M→[a, b]une fonction de Morse sur une vari´et´e compacte de type (ν0, ..., νn)telle que
f(∂M)⊂ {a, b}. Soit F un corps, on note βk=dimHk(M, f−1(a); F). Alors :
pour 0≤m≤non a m
X
k=0
(−1)k+mνk≥
m
X
k=0
(−1)k+mβk
et n
X
k=0
(−1)kνk=
n
X
k=0
(−1)kβk=χ(M, f−1(a))

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En particulier si f−1(a) = ∅le th´eor`eme pr´ec´edent s’applique et :
χ(M) =
n
X
k=0
(−1)kνk
Proposition 1.9. La caract´eristique d’Euler d’une surface compacte connexe orientable de genre p
avec k bords est :
χ(M) = 2 −2p−k.
1.4. Trame du calcul du genre.
On commence par montrer que
S:P(x)−y2+z2= 0
avec P∈R[x] scind´e `a racines simples, est bien une surface orientable, connexe mais non compacte.
On construit ensuite une fonction de Morse sur S. Pour cela on utilise une id´ee de Milnor qui
consiste `a regarder la fonction distance `a l’origine au carr´e :
(x, y, z)∈S7→ x2+y2+z2
Cette fonction est presque toujours une fonction de Morse. On consid`ere alors la fonction
g: (x, y, z)∈S7→ x2+by2+cz2
avec l’id´ee d’adapter les poids b > 0, c > 0 pour que g soit une fonction de Morse.
Nous montrons que g est une fonction propre, puis pour un r´eel R plus grand que la plus grande
valeur critique, nous consid´erons la surface SR=g−1([−1, R]).
Cette surface est compacte connexe orientable, `a bord ∂SR=g−1(R).
On montre que S est diff´eomorphe `a l’int´erieur de SR
Par le th´eor`eme de classification des surfaces, la surface SRest de genre p avec k bords.
On d´etermine k en cherchant le nombre de composantes connexes de g−1(R).
On montre que k=1 si le degr´e de P est impair et k=2 si il est pair.
Comme SRest compacte on calcule la caract´eristique d’Euler `a l’aide de la formule :
χ(SR) = ν0−ν1+ν2.
On montre que χ(SR) = 2 −d.
Enfin on calcule le genre `a partir de la formule :
χ(SR) = 2 −2p−k.
Au final on a le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme 1.10. Si d est le degr´e de P alors le genre de SRet par extension le genre de S est :
d−1
2si d est impair.
d−2
2si d est pair.
En particulier si l’on souhaite avoir un exemple explicite de surface ayant un genre p, il suffit de
construire un polynˆome r´eel unitaire scind´e `a racines simples ayant par exemple pour degr´e 2+2p ou
1+2p.
Ce stage m’a fait d´ecouvrir la topologie alg´ebrique et la topologie diff´erentielle jusque l`a inconnues.
Je remercie Mr Dimca pour son aide et ses conseils donn´es avec beaucoup de gentillesse tout au long
de ce m´emoire.

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2. Calcul du genre des surfaces S:P(x)−y2+z2= 0.
2.1. S est une surface orientable, connexe et non compacte.
Soit P un polynˆome unitaire `a coeffcients r´eels de degr´e d, ayant d racines r´eelles distinctes
x1< x2< ... < xd.
On consid`ere la surface d’´equation S : P(X)−Y2+Z2= 0.
Fig. 1. S(1) :x(x−1)(x+ 1) −y2+z2= 0
Fig. 2. S(2) :x(x−1)(x+ 1)(x+ 2) −y2+z2= 0
Proposition 2.1. S est une surface lisse orientable, connexe et non compacte.
Preuve : Consid´erons la fonction
f:R3→R, f(x, y, z) = P(x)−y2+z2