Intégration TD5 Espaces Lp (2)

Intégration TD5
Espaces Lp(2)
Préparation à l’agrégation de mathématiques, ENS Cachan.
e-mail : [email protected]
Dans la suite, si rien est indiqué, Ωdésigne un ouvert de Rn, et Lp(Ω) l’espace Lp(Ω, µ), où µest la
mesure de Lebesgue sur Rn.
1 Séparabilité :
Théorème : [4], p.62 Soit Ωun ouvert de Rn. Pour 1≤p < ∞,Lp(Ω) est séparable.
Exercice 1 :
Prouver le théorème précédent, dans le cas où n= 1.
Théorème : [4], p.66 Soit Ωun ouvert de Rn. L’espace L∞(Ω) n’est pas séparable.
Exercice 2 : [4], p.66
Le but de cet exercice est de démontrer le théorème précédent.
1. Soit Eun Banach, on suppose qu’il existe une famille (Oi)i∈Itelle que :
(i) ∀i,Oiest un ouvert non vide de E,
(ii) Si i6=j, alors Oi∩Oj=∅,
(iii) In’est pas dénombrable.
Montrer que En’est pas séparable.
2. Pour tout a∈Ω, on fixe ra>0tel que B(a, ra)⊂Ω. Conclure en utilisant la question précédente
et les ensembles :
Oa:= {f∈L∞(Ω); kf−1B(a,ra)k∞<1
2}
2 Dualité, topologie faible :
Pour tout réel p∈]1,∞[, on note p0son exposant conjugué : 1
p+1 p0= 1. On adopte la convention
p0= 1 pour p=∞,p0=∞pour p= 1.
Théorème :(Représentation de Riesz) [2], p.207
Soit (X, A, µ)un espace mesuré σ-fini, p∈[1,∞[. Le dual topologique de Lp(µ)est isométriquement
isomorphe à Lp0(µ). Plus précisément, étant donnée ϕune forme linéaire continue sur Lp(Ω), il existe
un unique u∈Lp0(Ω), tel que, pour tout f∈Lp(Ω) :
hϕ, fi=ZΩ u(x)f(x)dx
De plus kukLp0(Ω) =kϕk(Lp(Ω))0.
Remarque :
Ce théorème s’étend au cas des mesures σ-finies.
Par ailleurs, le cas p=p0= 2 indique que L2(Ω) est son propre dual, ce que l’on peut obtenir directement
grâce à sa structure hilbertienne. Plusieurs démonsrations du théorème précédent se ramènent d’ailleurs
à ce cas. On peut par exemple consulter [2], p.205, pour une utilisation du théorème de Radon-Nikodym,
ou bien [3], p.138-140, pour une démonstration plus digeste.
Dans [4], on démontre d’abord la réflexivité des Lp(pour p∈]1,+∞[), grâce aux inégalités de Clarkson,
le théorème de représentation s’en déduit. Le cas p= 1 est traité à part.
Une autre démonstration de ce résultat, basée sur la notion de martingale à temps discret et le lemme
de Vitali, est présentée dans [5], mais cette référence n’est (malheureusement) pas disponible le jour de
l’agreg !
1

Exercice 3 : Banach-Alaoglu-Bourbaki [3], p.145
Soit p∈]1,+∞[. On dit qu’une suite (fn)n∈Nde Lp(Ω) converge faiblement dans Lp(Ω) vers un élément
f∈Lp(Ω) (noté fn* f) si et seulement si :
∀g∈Lp0(Ω),ZΩ fn(x)g(x)dx −→
n→+∞ZΩ
f(x)g(x)dx
Montrer que de toute suite bornée de Lp(Ω) on peut extraire une sous-suite faiblement convergente dans
Lp(Ω).
Indications - mots clés : Séparabilité. Extraction diagonale. Critère de Cauchy. Riesz.
Remarque :
On a en fait démontré le théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki dans le cas d’un espace séparable, c’est
d’ailleurs un cadre où il est utilisable (car on peut métriser la topologie faible−?sur la boule unité du
dual..). Attention, le “vrai” théorème ne fournit de la compacité que pour la topologie faible−?. Ici cette
dernière se confond avec la topologie faible : pour 1<p<∞les Lpsont réflexifs.
On pourra vérifier que le résultat de l’exercice précédent est vrai pour p=∞:L∞est le dual de L1,
qui est bien séparable ! Attention, dans ce cas là on ne parlera que de convergence faible-?: il n’y a plus
réfléxivité.
Exercice 4 :Le dual topologique de L∞est plus gros que L1
En utilisant le théorème de prolongement d’Hahn-Banach, démontrer que le dual topologique de L∞(Ω)
contient strictement L1(Ω). Plus précisément, on montrera que :
L1(Ω) −→ F(L∞(Ω),R)
f7−→ g7→ ZR fg
définit une application injective non surjective de L1(Ω) dans le dual topologique de L∞(Ω).
Remarque :
Ce résultat peut également se montrer par un argument de séparabilité (qui repose également sur Hahn-
Banach) : on peut prouver que si le dual topologique d’un espace Eest séparable, alors il est en de même
de E. Attention la réciproque est fausse, contre-exemple : L∞(Ω) est bien le dual de L1(Ω) !
Une autre méthode est de prouver que L1(Ω) ne peut pas être réflexif en exhibant une suite qui nie la
propriété de Banach-Alaoglu..
Exercice 5 : Un critère d’unicité pour les limites faibles
Soit p∈]1,+∞[. Soit (fn)n∈Nune suite de Lp(Ω) et f∈Lp(Ω) tels que fn* f. On suppose par ailleurs
que (fn)n∈Nconverge presque partout : fn−→ gp.p.
1. Montrer que (fn)n∈Nest bornée dans Lp(Ω) et que g∈Lp(Ω).
2. On veut prouver que g=fpresque partout.
(a) Remarquer qu’il suffit de montrer que pour toute suite (hn)n∈Nbornée de Lp(Ω), et h∈Lp(Ω)
tels que :
hn*0
hn−→ hp.p.
on a hnul presque partout.
(b) Soit ϕ∈Lp0(Ω) et soit εun élément fixé de Lp(Ω) strictement positif presque partout. En
découpant :
ZΩ
ϕ(x)hn(x)dx
selon que |hn|≤|h|+εou non, montrer que
ZΩ
ϕ(x)h(x)dx = 0
(c) Conclure.
2

3 Théorème fondamental du calcul : premiers pas
Soit f∈L1(Rn),µla mesure de Lebesgue sur Rn,x∈Rn,r > 0et B(x, r)la boule ouverte centrée
en x, de rayon r, on note :
Mr(f)(x) := 1
µ(B(x, r)) ZB(x,r)
f(y)dµ(y)
Tr(f)(x) := 1
µ(B(x, r)) ZB(x,r)
|f(x)−f(y)|dµ(y)
Mr(f)(x)est simplement la moyenne de fen x.
Tr(f)(x)contrôle l’écart de cette moyenne avec la valeur de fen x.
Comme f∈L1(Rn), les quantités précédentes ne sont définies que presque partout. On obtient aisément
que Tr(f)tend vers 0avec r, en tout point de continuité de f(exercice !).
Dans le cas général, cela n’est pas acquis et motive la définition :
Définition : (Points de Lebesgue) Soit f∈L1(Rn), on dit que x∈Rnest un point de Lebesgue de f
si Tr(f)(x)−→
r→00.
Exercice 6 : (Théorème de Lebesgue) [1], p.171 et suivantes
1. Soit Wune union finie de boules ouvertes B(xi, ri)1≤i≤N. Montrer qu’il existe une partie S⊂ {1, . . . , N}
telle que :
(a) Pour iparcourant S, les boules B(xi, ri)sont disjointes deux à deux.
(b) Pout iparcourant S, les boules B(xi,3ri)recouvrent W.
(c) µ(W)≤3nX
i∈S
µ(B(xi, ri))
2. En déduire que si f∈L1(Rn),λ > 0, alors :
µx∈Rn; sup
r>0
Mr(|f|)(x)> λ≤3n
λkfk1
Indication : On pensera à utiliser la régularité - intérieure - de la mesure de Lebesgue.
3. En déduire le théorème de Lebesgue : si f∈L1(Rn), presque tout point de Rnest un point de
Lebesgue de f.
4. Vérifier alors la partie « facile »du théorème fondamental du calcul :
“Si f∈L1
loc(R)et F(x) := Rx
0f(t)dt, alors Fest presque partout dérivable, et, presque partout : F0(x) = f(x).”
Exercice 7 : (Théorème de Rademacher)
Ce théorème traite le cas des fonctions lipschitziennes. Il n’est pas optimal en ce sens que le cadre exact
du calcul fondamental est celui des fonctions absolument continues, voir [1], p.181.
Théorème : (Rademacher)
Soit f:R→R, se valent :
(i) fest lipschitzienne.
(ii) Il existe g∈L∞(R)telle que, pour presque tout x, y ∈R,f(y)−f(x) = Zy
x
g(t)dt.
(iii) fest dérivable presque partout, f0∈L∞(R)et, pour pour presque tout x, y ∈R,
f(y)−f(x) = Zy
x
f0(t)dt.
(iii)⇒(i)est immédiate, (ii)⇒(iii)est obtenue par l’exercice précédent.
Démontrons donc (i)⇒(ii): soit f:R→R, lipschiztienne.
1. Soit ϕ∈C1
c(R), on définit
Ψ(ϕ) := ZR ϕ0(x)f(x)dx
3

Vérifier que Ψs’étend en une forme linéaire continue sur L1(R).
2. Justifier l’existence de g∈L∞(R)telle que pour toute ϕ∈L1(R):
Ψ(ϕ) = ZR g(x)ϕ(x)dx
3. Soit l∈C0(R)telle que, pour tout ϕ∈C0
c(R),
ZR
l(x)ϕ(x)dx = 0.
Montrer que lest la fonction nulle.
4. En déduire que si k∈C0(R)vérifie cette fois, pour tout ϕ∈C1
c(R),
ZR
k(x)ϕ0(x)dx = 0
Alors kest une fonction constante.
5. Soit h(x) := Zx
0
g(t)dt, montrer que, pour tout ϕ∈C1
c(R),
Ψ(ϕ) = −ZR h(x)ϕ0(x)dx
et en déduire l’existence de A∈Rtel que f(x) = A−h(x). Conclure.
Références
[1] W. Rudin. Analyse réelle et complexe (3ième édition).
[2] Marc Briane, Gilles Pagès. Théorie de l’intégration (4ième édition).
[3] Francis Hirsch, Gilles Lacombe. Éléments d’analyse fonctionnelle - Cours et exercices.
[4] Haïm Brézis. Analyse fonctionnelle - Théorie et applications. 2ième édition.
[5] Sylvie Fabre, Jean-Michel Morel, Yann Gousseau. Notes du Cours d’Analyse, ENS Cachan.
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