Intégration TD5 Espaces Lp (2)

Intégration TD5
Espaces Lp (2)
Préparation à l’agrégation de mathématiques, ENS Cachan.
e-mail : [email protected]
Dans la suite, si rien est indiqué, Ω désigne un ouvert de Rn , et Lp (Ω) l’espace Lp (Ω, µ), où µ est la
mesure de Lebesgue sur Rn .
1
Séparabilité :
Théorème : [4], p.62 Soit Ω un ouvert de Rn . Pour 1 ≤ p < ∞, Lp (Ω) est séparable.
Exercice 1 :
Prouver le théorème précédent, dans le cas où n = 1.
Théorème : [4], p.66 Soit Ω un ouvert de Rn . L’espace L∞ (Ω) n’est pas séparable.
Exercice 2 : [4], p.66
Le but de cet exercice est de démontrer le théorème précédent.
1. Soit E un Banach, on suppose qu’il existe une famille (Oi )i∈I telle que :
(i) ∀i, Oi est un ouvert non vide de E,
(ii) Si i 6= j, alors Oi ∩ Oj = ∅,
(iii) I n’est pas dénombrable.
Montrer que E n’est pas séparable.
2. Pour tout a ∈ Ω, on fixe ra > 0 tel que B(a, ra ) ⊂ Ω. Conclure en utilisant la question précédente
et les ensembles :
1
Oa := {f ∈ L∞ (Ω); kf − 1B(a,ra ) k∞ < }
2
2
Dualité, topologie faible :
Pour tout réel p ∈]1, ∞[, on note p0 son exposant conjugué :
p = 1 pour p = ∞, p0 = ∞ pour p = 1.
0
1
p
+
1
p0
= 1. On adopte la convention
Théorème :(Représentation de Riesz) [2], p.207
Soit (X, A , µ) un espace mesuré σ-fini, p ∈ [1, ∞[. Le dual topologique de Lp (µ) est isométriquement
0
isomorphe à Lp (µ). Plus précisément, étant donnée ϕ une forme linéaire continue sur Lp (Ω), il existe
0
un unique u ∈ Lp (Ω), tel que, pour tout f ∈ Lp (Ω) :
Z
hϕ, f i =
u(x)f (x)dx
Ω
De plus kukLp0 (Ω) = kϕk(Lp (Ω))0 .
Remarque :
Ce théorème s’étend au cas des mesures σ-finies.
Par ailleurs, le cas p = p0 = 2 indique que L2 (Ω) est son propre dual, ce que l’on peut obtenir directement
grâce à sa structure hilbertienne. Plusieurs démonsrations du théorème précédent se ramènent d’ailleurs
à ce cas. On peut par exemple consulter [2], p.205, pour une utilisation du théorème de Radon-Nikodym,
ou bien [3], p.138-140, pour une démonstration plus digeste.
Dans [4], on démontre d’abord la réflexivité des Lp (pour p ∈]1, +∞[), grâce aux inégalités de Clarkson,
le théorème de représentation s’en déduit. Le cas p = 1 est traité à part.
Une autre démonstration de ce résultat, basée sur la notion de martingale à temps discret et le lemme
de Vitali, est présentée dans [5], mais cette référence n’est (malheureusement) pas disponible le jour de
l’agreg !
1
Exercice 3 : Banach-Alaoglu-Bourbaki [3], p.145
Soit p ∈]1, +∞[. On dit qu’une suite (fn )n∈N de Lp (Ω) converge faiblement dans Lp (Ω) vers un élément
f ∈ Lp (Ω) (noté fn * f ) si et seulement si :
Z
Z
p0
∀g ∈ L (Ω),
fn (x)g(x)dx −→
f (x)g(x)dx
n→+∞
Ω
Ω
Montrer que de toute suite bornée de Lp (Ω) on peut extraire une sous-suite faiblement convergente dans
Lp (Ω).
Indications - mots clés : Séparabilité. Extraction diagonale. Critère de Cauchy. Riesz.
Remarque :
On a en fait démontré le théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki dans le cas d’un espace séparable, c’est
d’ailleurs un cadre où il est utilisable (car on peut métriser la topologie faible−? sur la boule unité du
dual..). Attention, le “vrai” théorème ne fournit de la compacité que pour la topologie faible−?. Ici cette
dernière se confond avec la topologie faible : pour 1 < p < ∞ les Lp sont réflexifs.
On pourra vérifier que le résultat de l’exercice précédent est vrai pour p = ∞ : L∞ est le dual de L1 ,
qui est bien séparable ! Attention, dans ce cas là on ne parlera que de convergence faible-? : il n’y a plus
réfléxivité.
Exercice 4 :Le dual topologique de L∞ est plus gros que L1
En utilisant le théorème de prolongement d’Hahn-Banach, démontrer que le dual topologique de L∞ (Ω)
contient strictement L1 (Ω). Plus précisément, on montrera que :
L1 (Ω)
−→
f
7−→
F (L∞ (Ω), R)
Z
g 7→
fg
R
définit une application injective non surjective de L1 (Ω) dans le dual topologique de L∞ (Ω).
Remarque :
Ce résultat peut également se montrer par un argument de séparabilité (qui repose également sur HahnBanach) : on peut prouver que si le dual topologique d’un espace E est séparable, alors il est en de même
de E. Attention la réciproque est fausse, contre-exemple : L∞ (Ω) est bien le dual de L1 (Ω) !
Une autre méthode est de prouver que L1 (Ω) ne peut pas être réflexif en exhibant une suite qui nie la
propriété de Banach-Alaoglu..
Exercice 5 : Un critère d’unicité pour les limites faibles
Soit p ∈]1, +∞[. Soit (fn )n∈N une suite de Lp (Ω) et f ∈ Lp (Ω) tels que fn * f . On suppose par ailleurs
que (fn )n∈N converge presque partout : fn −→ g p.p.
1. Montrer que (fn )n∈N est bornée dans Lp (Ω) et que g ∈ Lp (Ω).
2. On veut prouver que g = f presque partout.
(a) Remarquer qu’il suffit de montrer que pour toute suite (hn )n∈N bornée de Lp (Ω), et h ∈ Lp (Ω)
tels que :
hn
*
hn
−→
0
h p.p.
on a h nul presque partout.
0
(b) Soit ϕ ∈ Lp (Ω) et soit ε un élément fixé de Lp (Ω) strictement positif presque partout. En
découpant :
Z
ϕ(x)hn (x)dx
Ω
selon que |hn | ≤ |h| + ε ou non, montrer que
Z
ϕ(x)h(x)dx = 0
Ω
(c) Conclure.
2
3
Théorème fondamental du calcul : premiers pas
Soit f ∈ L1 (Rn ), µ la mesure de Lebesgue sur Rn , x ∈ Rn , r > 0 et B(x, r) la boule ouverte centrée
en x, de rayon r, on note :
Z
1
Mr (f )(x) :=
f (y)dµ(y)
µ(B(x, r)) B(x,r)
Z
1
|f (x) − f (y)|dµ(y)
Tr (f )(x) :=
µ(B(x, r)) B(x,r)
Mr (f )(x) est simplement la moyenne de f en x.
Tr (f )(x) contrôle l’écart de cette moyenne avec la valeur de f en x.
Comme f ∈ L1 (Rn ), les quantités précédentes ne sont définies que presque partout. On obtient aisément
que Tr (f ) tend vers 0 avec r, en tout point de continuité de f (exercice !).
Dans le cas général, cela n’est pas acquis et motive la définition :
Définition : (Points de Lebesgue) Soit f ∈ L1 (Rn ), on dit que x ∈ Rn est un point de Lebesgue de f
si Tr (f )(x) −→ 0.
r→0
Exercice 6 : (Théorème de Lebesgue) [1], p.171 et suivantes
1. Soit W une union finie de boules ouvertes B(xi , ri ) 1≤i≤N . Montrer qu’il existe une partie S ⊂ {1, . . . , N }
telle que :
(a) Pour i parcourant S, les boules B(xi , ri ) sont disjointes deux à deux.
(b) Pout i parcourant S, les boules B(xi , 3ri ) recouvrent W .
X
(c) µ(W ) ≤ 3n
µ(B(xi , ri ))
i∈S
2. En déduire que si f ∈ L1 (Rn ), λ > 0, alors :
3n
n
µ
x ∈ R ; sup Mr (|f |)(x) > λ
≤
kf k1
λ
r>0
Indication : On pensera à utiliser la régularité - intérieure - de la mesure de Lebesgue.
3. En déduire le théorème de Lebesgue : si f ∈ L1 (Rn ), presque tout point de Rn est un point de
Lebesgue de f .
4. Vérifier alors la partie « facile »du théorème fondamental du calcul :
Rx
“Si f ∈ L1loc (R) et F (x) := 0 f (t)dt, alors F est presque partout dérivable, et, presque partout : F 0 (x) = f (x).”
Exercice 7 : (Théorème de Rademacher)
Ce théorème traite le cas des fonctions lipschitziennes. Il n’est pas optimal en ce sens que le cadre exact
du calcul fondamental est celui des fonctions absolument continues, voir [1], p.181.
Théorème : (Rademacher)
Soit f : R → R, se valent :
(i) f est lipschitzienne.
(ii) Il existe g ∈ L∞ (R) telle que, pour presque tout x, y ∈ R, f (y) − f (x) =
Z
y
g(t)dt.
x
0
(iii) f est dérivable
Z y presque partout, f
f (y) − f (x) =
f 0 (t)dt.
L∞ (R) et, pour pour presque tout x, y ∈ R,
∈
x
(iii) ⇒ (i) est immédiate, (ii) ⇒ (iii) est obtenue par l’exercice précédent.
Démontrons donc (i) ⇒ (ii) : soit f : R → R, lipschiztienne.
1. Soit ϕ ∈ Cc1 (R), on définit
Z
ϕ0 (x)f (x)dx
Ψ(ϕ) :=
R
3
Vérifier que Ψ s’étend en une forme linéaire continue sur L1 (R).
2. Justifier l’existence de g ∈ L∞ (R) telle que pour toute ϕ ∈ L1 (R) :
Z
Ψ(ϕ) =
g(x)ϕ(x)dx
R
3. Soit l ∈ C 0 (R) telle que, pour tout ϕ ∈ Cc0 (R),
Z
l(x)ϕ(x)dx = 0.
R
Montrer que l est la fonction nulle.
4. En déduire que si k ∈ C 0 (R) vérifie cette fois, pour tout ϕ ∈ Cc1 (R),
Z
k(x)ϕ0 (x)dx = 0
R
Alors k est une
Z xfonction constante.
g(t)dt, montrer que, pour tout ϕ ∈ Cc1 (R),
5. Soit h(x) :=
0
Z
Ψ(ϕ) = −
h(x)ϕ0 (x)dx
R
et en déduire l’existence de A ∈ R tel que f (x) = A − h(x). Conclure.
Références
[1] W. Rudin. Analyse réelle et complexe (3ième édition).
[2] Marc Briane, Gilles Pagès. Théorie de l’intégration (4ième édition).
[3] Francis Hirsch, Gilles Lacombe. Éléments d’analyse fonctionnelle - Cours et exercices.
[4] Haïm Brézis. Analyse fonctionnelle - Théorie et applications. 2ième édition.
[5] Sylvie Fabre, Jean-Michel Morel, Yann Gousseau. Notes du Cours d’Analyse, ENS Cachan.
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