Partie B - Outils de calcul numérique 1 Opérations sur

Partie B - Outils de calcul numérique
1 Opérations sur les nombres relatifs
1.1 Le signe égal (=)
Propriété B1 : un nombre, plusieurs formes.
Il y a une infinité de manières d'écrire un nombre donné.
Preuve : admise et intuitive.
On écrit le signe = pour indiquer que
en fait à un
deux écritures différentes correspondent
même nombre.
1
2
Exemple : 0,5= 2 = 4 = 50% =1,5−1
7+1=2×4=4×2=40÷5=
32
=8
4
Remarques :
•
≠ signifie « n'est pas égal ». Exemple : 2≠3
•
≈ signifie « est environ égal à ». Exemple :
Logique :
1
3
≈0,333
7
7
7
=1,167 est faux, et donc
≠1,167 est vrai
≈ 1,167 est vrai, mais
6
6
6
1.2 Rappels : nombres relatifs.
Un nombre relatif se caractérise par

son signe

sa distance
à zéro.
Remarques :
•
Un nombre noté sans signe est positif.
•
Zéro n'a pas de signe.
v.dujardin – v2.2
B1
1.3 Vocabulaire et priorités de calcul
Il n'existe que quatre opérations en mathématiques : c'est simple !
Symbole
Vocabulaire
+
Addition ou Somme
-
Soustraction ou Différence
× ou rien
Multiplication ou Produit
: ou / ou ÷
Division ou Quotient
Important : Le symbole – peut désigner l'opération
de soustraction ou le signe
d'un nombre relatif.
Méthode MB1: distinguer les deux signes sur sa calculatrice pour bien saisir ses calculs.
Voir p20 du manuel.
Remarque : la plupart des calculatrices de collège corrigent toutes seules vos erreurs
entre signe et opération, mais ce n'est pas toujours le cas en lycée.
Exemples :
4,3+(−3 )=1,3
Le moins est le signe du nombre relatif -3.
74,2−3=71,2
Le moins est l'opération de soustraction.
10−(−3 ) =13
Le premier est la soustraction, l'autre est le signe du relatif.
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B2
1.4 Conduire un calcul en respectant les priorités
Règle des priorités :
Pour évaluer une expression, on effectue les opérations dans l'ordre suivant :
1 L'intérieur des parenthèses
2 Les puissances (nouvelle notation qui sera vue en 4ème...)
3 Les multiplications et divisions (dans l'ordre d'écriture)
4 Les additions et soustractions (dans l'ordre d'écriture)
Méthode MB2 (rappel) : pour conduire un calcul par écrit avec des signes « = »
successifs, on doit recopier l'intégralité des nombres à chaque étape, même lorsque l'on
ne les modifie pas. (modifiés ou non)
Exemple :
Calculer
B=2 ( 6−x )+5−7 , 48
pour
x=1,3
Rédaction :
On calcule
B=2 ( 6−1,3 )+5−7,48=2×4,7 +5−7,48= 9,4 +5−7,48 =6,92
⏟ ⏟ ⏟ ⏟
modifié
v.dujardin – v2.2
pas modifié
modifié
pas modifié
B3
1.5 Nombre opposé et soustraction
Définition 1
L'opposé d'un nombre a est le nombre ayant :
signe contraire de a,

le

la même distance à zéro que a.
Exemples :
L'opposé de 2 est -2, l'opposé de −7 ,5 est 7,5 , l'opposé de π est - π .
Propriété B2
Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé
Démonstration: vue en 5ème
Méthode MB3: il est important de savoir « jongler » entre soustraction et
addition de l'opposé pour conduire efficacement un calcul.
Cliquer sur ce lien ou scanner le QR code
Exemples vidéos à recopier :
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B4
1.6 Multiplication de relatifs
Propriété B3
Le produit de plusieurs nombres relatifs est un nombre dont :

le signe est :
+ s'il y a un nombre pair (ou nul) de facteurs négatifs,
- s'il y a un nombre impair de facteurs négatifs,

la distance à zéro est le produit des distances à zéro.
Démonstration: admise.
Conséquence :
Pour tout nombre a, l'opposé de a est (−1 )×a , que l'on peut noter -a
Preuve : multiplier par (-1) change le signe mais pas la distance à zéro.
Attention : -a n'est pas forcément négatif.
Exemple : avec a=−2 , −a=+2 (-a est positif dans ce cas)
Méthode MB4. Pour calculer un produit de nombres relatifs, on peut :
1. d'abord déterminer le signe du résultat en comptant les facteurs
négatifs,
2. puis calculer la distance à zéro sans se préoccuper des signes.
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Exemples vidéos à recopier :
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B5
2 Simplifier une écriture fractionnaire
Propriété B4
Pour tous nombres a, b et k, avec b ≠0 et k ≠0 , on a :
a×k a
=
b ×k b
Preuve : vue en cinquième.
Méthode MB5 : simplifier une fraction c'est trouver le
plus grand diviseur
commun k au numérateur (haut) et dénominateur (bas), et appliquer cette propriété.
Exemple avec
24
:
30
24 12×2 12
=
=
est une simplification incomplète (par 2)
30 15×2 15
24 4×6 4
=
= est la simplification complète (par 6).
30 5×6 5
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B6
3 Nombre inverse
Définition 2 : inverse
Un nombre est l'inverse d'un autre si et seulement si le produit des deux fait 1.
Autrement dit :
si m×n=1 , alors m est l'inverse de n
si m×n≠1 , alors m n'est pas l'inverse de n
Remarques
1. 0 n'a pas d'inverse car le produit de 0 par n'importe quel nombre fait 0 et jamais 1.
2. Si m est l'inverse de n, alors n est aussi l'inverse de m
Conséquence 1 :
Si n est un nombre non nul, alors l'inverse
de n est
1
n
1
Preuve : pour tout nombre n, n× n =n×1÷n=n÷n=1 , donc
.
1
n
est bien l'inverse de n.
Notation : l'inverse de n peut se noter n−1 (comme sur certaines calculatrices).
Exemples :
•
L'inverse de 4 est 0,25 car 4×0,25=1 .
•
L'inverse de 0,25 est 4 d'après l'exemple précédent.
•
8−1 =
•
L'inverse de -5 est −0,2 car −5×−0,2 = 1
•
-3 n'est pas l'inverse de 3 car −3×3 = −9≠1
•
1 est son propre inverse car 1×1=1
1
(notation puissance de l'inverse).
8
Attention : ne pas confondre inverse (lié à × et ÷ ) et opposé (lié à + et -)
Remarque : on ne peut pas toujours écrire exactement l'inverse d'un nombre en décimal.
1
Exemple : 6 =0,16666.... avec une infinité de 6, que toute calculatrice arrondit par un 7
lorsque le bord droit de l'écran est atteint.
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B7
Conséquence 3 :
Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.
Explication par un exemple générique : division d'un nombre x par 2.
x÷2=x×1÷2=x×
1
2
On constate que diviser par 2, c'est multiplier par l'inverse de 2 qui est
1
2
Cette méthode marcherait aussi pour une division par n'importe quel autre nombre
que 2 (sauf 0).
Conséquence 2 :
Le signe d'un nombre et celui de son inverse sont
identiques.
1
Preuve : par définition, n× n =1 . Le produit est positif, donc n et
deux positifs, soit négatifs (règle des signes dans un produit).
1
n
sont soit tous les
Exemples : diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse
1
1
que l'on peut aussi écrire 5×0 ,5 car =0 ,5
2
2
•
5÷2=5×
•
24×
•
1
1
x÷7+ y÷3=x × + y× (attention au priorités)
7
3
•
a÷(−9 )=a× −
1
=24÷5
5
( 19 )
Exemples : le signe de l'inverse
•
L'inverse de -4 est - 0,25 (car (−4 )×(−0,25 )=1 )
•
L'inverse de 2 est 0,5 (car 2×0,5=1 )
•
Si x est un nombre négatif, alors
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1
est négatif aussi.
x
B8
4 Opérations sur les fractions
4.1 Multiplier par une fraction
Propriété B5 : produit de deux fractions
Pour tous nombres a,b,c,d avec b ≠0 et d≠0 , on a
a c
a×c
× =
b d b ×d
Autrement dit : le produit de deux quotients est le quotient du produit des numérateurs
par le produit des dénominateurs.
Démonstration: voir en annexe.
Méthode MB6 : multiplier un nombre par une fraction efficacement
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Exemples vidéos à recopier.
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B9
4.2 Diviser par une fraction
Propriété B6 : inverse d'une fraction
Pour tous nombres c et d non nuls, l'inverse de
Démonstration :
c
d
est
d
c
c d c×d cd
× =
=
=1
d c d×c cd
Méthode MB7: pour diviser par une fraction, on peut multiplier par son
inverse.
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Exemples vidéos à recopier
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B10
4.3 Règle des signes dans un produit/quotient
Propriété B7
La règle des signes dans un produit s'applique aussi avec des quotients.
Preuve : diviser, c'est multiplier par l'inverse.
On peut donc transformer les quotients en produits. Or un nombre et son inverse ont le
même signe. Le signe du résultat d'un quotient est donc déterminé par la règle des signes
d'un produit.
Explication : pour étudier le signe de
4×(−2 )×(−3 )
:
−9
on peut réécrire la division en produit :
( )
4×(−2 )×(−3 )
1
=4×(−2 )×(−3 )× −
.
−9
9
D'après la règle des signes dans un produit, le résultat est négatif car il y a 3 facteurs
négatifs.
Exemples :
•
Le signe de (−4 )×
produit/quotient.
•
(−10 )×π
−6
positif.
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+
(−3)
(−3,5 )
est négatif car il y a trois facteurs négatifs dans ce
−3
est une somme de deux termes positifs. Le résultat est donc
−7
B11
4.4 Opposé d'une fraction
Propriété B8 : opposé d'une fraction
a
a
a
−a
a
est une fraction, alors l'opposé de
peut se noter −
ou
ou
.
b
b
b
b
−b
Si
a
, les trois formes sont le même quotient avec un signe moins de
b
plus, qui ne change pas la distance à zéro.
Preuve : par rapport à
Explication :
•
•
2
−2
2
2
et
et
sont négatifs et ont comme distance à zéro
.
3
3
−3
3
2
Ce sont donc trois formes de l'opposé de
3
−
−
−(−8 ) 8
−8 8
−8 8
8
=
=
=
et
et
sont positifs, avec une distance à zéro de
7
7
7
7
−7 7
7
Ce sont donc trois formes de l'opposé de
−8
7
Exemples :
•
•
L'opposé de
2
2 −2
2
=
est − =
3
3
3
−3
3
3
3
3
+
est égal à 0 car
est l'opposé de
et que la somme d'un nombre et
7 −7
−7
7
de son opposé fait 0.
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B12
4.5 Ajouter ou soustraire des fractions
Propriété B9 : somme de deux fractions au même
Quels que soient les nombres a, b et c avec c ≠0 ,
dénominateur
a b a+b
+ =
c c
c
Preuve: admise et intuitive.
Autrement dit : on peut sommer les numérateurs lorsque les dénominateurs sont égaux.
4.6 Soustraire deux fractions
Pour soustraire une fraction, on peut ajouter son opposé.
Exemple :
( )
7 3 7
3
7−3 4
− = +− =
=
5 5 5
5
5
5
Attention : il faut, selon le cas, mettre au même dénominateur.
Méthode MB8 (rappel) : pour ajouter ou soustraire deux fractions, il est
nécessaire de les mettre
d'abord au même dénominateur.
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B13
5 Notation puissance
5.1 Notation puissance avec un exposant positif
Définition de la notation puissance
Pour tout nombre a, et tout nombre entier positif n non nul,
on peut noter
a
n
le produit
a×a×a …×a
⏟
nmultiplications
Cas particulier : a 1=a
Autrement dit : a n est une nouvelle manière simple et rapide d'écrire une grande
multiplication avec le
même facteur (ici a) à n reprises.
Vocabulaire : on dit « a puissance n » ou « a exposant n ».
Important : la notation puissance ne concerne que le nombre directement à gauche :
Méthode MB9 : interpréter une notation avec exposant positif dans un
calcul.
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B14
5.2 Méthodes de calcul avec les puissances
Méthodes MB10 : règles pour calculer et simplifier un produit/quotient de puissances
efficacement.
Quels que soient les nombres a, b et les entiers n et m, on peut utiliser les règles de
calculs ci-dessous pour gagner du temps :
 a m×a n =a m+n
Multiplication de a à (n+m) reprises.
 ( a×b )n =a n×bn
Multiplication avec a à n reprises, fois b à n reprises aussi

( )
n
a
b
n
a
= n
b
Multiplication de a à n reprises, fois
n
 ( a m ) =a m×n
1
b
à n reprises aussi
Multiplication de n « paquets de a » ayant a à m reprises chacun.
Signe de a n : à faire en activité en cours.
Exemples :
 1510×1524=1534
 ( 3×x )85=385 ×x 85

107
( )
73
23
107
73
= 107
23
10
 ( 7,255 ) =7,2550
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B15
Définition 3
Par convention, pour tout nombre a≠0 , on définit que : a 0 =1
Explication : a=a 1=a 1+0 =a 1 ×a 0 =a×a0 donc a 0 =1
Exemples : 102350 =1
0
(−2 , 3507) =1
(
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2
8
+5×
3
45 π
0
) =1
B16
5.3 Notation puissance avec exposant négatif
Définition 4
Quels que soient le nombre non nul a et l'entier m non nul,
on définit que
a
−m
est l'inverse de a m
−m
et donc a =
1
am
Explication : l'idée de noter a−m l'inverse de a m vient de la méthode de calcul de a m×a n
En effet, pour n=−m , on a a m ×a −m =a 0 qui vaut 1, donc a−m doit bien correspondre à
l'inverse de a m .
Conséquence de la définition :
Toutes les méthodes de calcul pour les exposants positifs sont aussi valables pour les
exposants négatifs, avec une méthode en plus :
m
a
m−n
=a

an
am
1
m
m
−n
m+( −n )
=a m−n
car n =a × n =a ×a =a
a
a
Méthodes MB11 : interpréter une puissance avec un exposant négatif
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B17
5.4 Puissances de 10 et écritures scientifiques
Définition 5
Un nombre est écrit en notation
scientifique lorsque sa forme est a×10n
où a est un nombre décimal avec un seul chiffre devant la virgule ( 0<a<10 )
et n est un nombre entier relatif (positif ou négatif)
Vocabulaire : le 10n est parfois appelé l'ordre de grandeur du nombre.
Méthode B12 : pour déterminer l'écriture scientifique d'un nombre, on peut jongler avec
la position de la virgule et les puissances de 10.
Méthode B13: pour comparer deux nombres en forme scientifique, on peut :
1. Comparer les puissances de 10 d'abord (ordre de grandeur)
2. Comparer les nombres décimaux quand les puissances sont égales.
Méthode B14 : se reporter au manuel page 162 pour gérer la notation
scientifique sur la calculatrice.
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Exemples vidéos à recopier
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B18
6 Annexes
6.1 Démonstration de la propriété de produit de deux fractions.
Soient a,b,c,d quatre nombres avec b≠0 et d≠0 .
Calculons
= a×
( ab × dc )×bd en utilisant les propriétés de calcul connues :
1
1
×c× ×b×d
b
d
En transformant les quotients en produits.
1
1
= a×c×b× ×d×
b
d
En modifiant l'ordre des six facteurs du produits.
= a×c×1×1
En simplifiant, car
1
b
×b=1 et
1
d
×d=1
= a×c
En reprenant le départ, on sait maintenant que :
( ab × dc )×bd=a×c
En divisant de chaque côté par bd (qui n'est pas nul car b≠0 et d≠0 ), on obtient :
a×c
,
( ab × dc )× bdbd = b×d
a c
a ×c
c'est à dire ( × )=
b d
b×d
car
bd
bd
=1
C'est ce qu'il fallait démontrer.
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B19