Énoncé Corrigé

MPSI B
21 janvier 2017
Corrigé
Énoncé
−
−
Le plan complexe P est rapporté à un repère direct (O, →
u,→
u ).
Les nombres complexes z1 , z2 , z3 , z4 , z5 , z6 que l'on va calculer seront tous exprimés sous
forme algébrique et sous forme trigonométrique.
2π
1. (Question de cours ) Démontrer l'expression algébrique de j = ei 3
1. Comme j 6= 1 et j 3 = 1, la factorisation
(z 3 − 1) = (z − 1)(z 2 + z + 1)
montre que j est une racine de z 2 + z + 1 = 0. Les racines de cette équation sont
√
1
3
− +i
2
2
√
3
1
j =− +i
2
2
2. Résoudre l'équation
2
z −
√
De plus d'après l'étude de sin, comme
ment positive donc
2π
3
∈]0, π , la partie imaginaire de j est stricte-
√
3
1
j =− +i
2
2
2. Le discriminant de cette équation est −1 = (i)2 , les solutions sont
√
√
3+i
3−i
z2 =
z1 =
2
2
3z + 1 = 0
Soit z1 la solution de partie imaginaire positive et z2 l'autre. Exprimer z1 et z2 sous
forme algébrique et trigonométrique. Placer les points M1 et M2 d'axes z1 et z2 .
3. Soit M3 l'image de M2 par la rotation de centre O et d'angle 2π
3 . Placer M3 sur la
même gure et calculer son axe notée z3 .
−
4. Soit M4 l'image de M2 par la translation de vecteur →
w dont l'axe est
avec les conditions imposées sur les parties imaginaires. On remarque que z2 est obtenu
à partir de j en permutant les parties réelles et imaginaires. On en déduit qu'un
π
argument de z2 est π2 − 2π
3 = − 6 . Comme z1 est le conjugué de z2 , un argument est
π
6.
On en déduit le placement des points M1 et M2 sur la gure 1.
3. Par dénition,
√
3+i
−
2
Placer le point M4 sur la même gure et calculer son axe z4 .
5. Soit
√
i
z5 = (1 + i 3)
2
√
1
3
− −i
2
2
2
√
z6 =
i− 3
z3 = e
2iπ
3
z2 = e
2iπ
3
e
−iπ
6
=e
3iπ
6
=i
On place M3 sur la gure 1.
4. D'après la dénition, l'axe de M4 est
Exprimer z5 et z6 sous forme algébrique et exponentielle. Placer les points M5 et M6
d'axes z5 et z6 sur la gure.
6. Développer
1 √
1 √
1 √
z4 = z2 − ( 3 + i) = ( 3 − i) − ( 3 + i) = −i
2
2
2
(z − z1 )(z − z2 )(z − z3 )(z − z4 )(z − z5 )(z − z6 )
On place le point M4 sur la gure 1.
5. D'après les dénitions :
en regroupant d'abord les zk conjugués. Développer encore pour obtenir une expression
très simple. Quel est l'ensemble
π
5π
1 √
z5 = (− 3 + i) = −z2 = e−i 6 +π = ei 6
2
√
5π
π
2(−i − 3)
1 √
= − ( 3 + i) = −z1 = ei 6 −π = e−i 6
z6 =
1+3
2
{z1 , z2 , z3 , z4 , z5 , z6 }?
On en déduit le placement des points M5 et M6 sur la gure 1.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai Acomp1
MPSI B
21 janvier 2017
M3
M5
M1
M6
M2
M4
1: Les points sur le cercle unité
Fig.
6. On a obtenu nalement :
π
z1 = ei 6 ,
π
z2 = e−i 6 ,
z3 = i,
z4 = −i,
z5 = ei
5π
6
,
z6 = e−i
5π
6
On remarque que z2 = z1 , z4 = z3 , z6 = z5 . D'autre part :
(z − eiθ )(z − e−iθ ) = z 2 − 2 cos θ + 1
On obtient donc :
6
Y
(z − zk ) = (z 2 −
√
3z + 1)(z 2 + 1)(z 2 −
√
3z + 1)
k=1
= (z 2 + 1)2 − 3z 2 (z 2 + 1) = (z 4 − z 2 + 1)(z 2 + 1) = z 6 + 1
On en déduit que l'ensemble des racines sixièmes de −1 est
{z1 , z2 , z3 , z4 , z5 , z6 }
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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