Jeux de policiers et voleurs

Jeux de policiers et voleurs
Modèles et applications
Mémoire
Frédéric Simard
Maîtrise en informatique
Maître ès sciences (M.Sc.)
Québec, Canada
© Frédéric Simard, 2016

Jeux de policiers et voleurs
Modèles et applications
Mémoire
Frédéric Simard
Sous la direction de:
directeur de recherche : François Laviolette,
codirectrice de recherche : Josée Desharnais

Résumé
Les jeux de policiers et voleurs sont étudiés depuis une trentaine d’années en informatique
et en mathématiques. Comme dans les jeux de poursuite en général, des poursuivants (les
policiers) cherchent à capturer des évadés (les voleurs), cependant ici les joueurs agissent tour
à tour et sont contraints de se déplacer sur une structure discrète. On suppose toujours que les
joueurs connaissent les positions exactes de leurs opposants, autrement dit le jeu se déroule à
information parfaite.
La première définition d’un jeu de policiers-voleurs remonte à celle de Nowakowski et Winkler
[39] et, indépendamment, Quilliot [46]. Cette première définition présente un jeu opposant
un seul policier et un seul voleur avec des contraintes sur leurs vitesses de déplacement. Des
extensions furent graduellement proposées telles que l’ajout de policiers et l’augmentation des
vitesses de mouvement. En 2014, Bonato et MacGillivray [6] proposèrent une généralisation
des jeux de policiers-voleurs pour permettre l’étude de ceux-ci dans leur globalité. Cependant,
leur modèle ne couvre aucunement les jeux possédant des composantes stochastiques tels que
ceux dans lesquels les voleurs peuvent bouger de manière aléatoire. Dans ce mémoire est donc
présenté un nouveau modèle incluant des aspects stochastiques.
En second lieu, on présente dans ce mémoire une application concrète de l’utilisation de ces
jeux sous la forme d’une méthode de résolution d’un problème provenant de la théorie de
la recherche. Alors que les jeux de policiers et voleurs utilisent l’hypothèse de l’information
parfaite, les problèmes de recherches ne peuvent faire cette supposition. Il appert cependant
que le jeu de policiers et voleurs peut être analysé comme une relaxation de contraintes d’un
problème de recherche. Ce nouvel angle de vue est exploité pour la conception d’une borne
supérieure sur la fonction objectif d’un problème de recherche pouvant être mise à contribution
dans une méthode dite de branch and bound.
iii

Abstract
Cops and robbers games have been studied for the last thirty years in computer science and
mathematics. As in general pursuit evasion games, pursuers (cops) seek to capture evaders
(robbers), however here the players move in turn and are constrained to move on a discrete
structure. It is always assumed that players know the exact location of their adversary, in
other words the game is played with perfect information.
The first definition of a cops and robbers game dates back to Nowakowski and Winkler [39]
and, independantly, Quilliot [46]. This first definition presents a game opposing a single
cop against a lone robber, both with constraints on their speed. Extensions were gradually
formulated such as increasing the number of cops and the speed of the players. In 2014, Bonato
and MacGillivray [6] presented a general characterization of cops and robbers games in order
for them to be globally studied. However, their model does not take into account stochastic
events that may occur such as the robbers moving in a random fashion. In this thesis, a novel
model that includes stochastic elements is presented.
Furthermore, we present in this thesis a concrete application of cops and robbers games in the
form of a method of resolution of a problem from search theory. Although cops and robbers
games assume perfect information, this hypothesis cannot be maintained in search problems.
It appears however that cops and robbers games can be viewed as constraint relaxations of
search problems. This point of view is made use of in the conception of an upper bound on
the objective function of a search problem that is a applied in a branch and bound method.
iv

Table des matières
Résumé iii
Abstract iv
Table des matières v
Liste des figures vii
Table des notations viii
Remerciements x
Introduction 1
1 Objets et définitions de base 7
1.1 Théorie des graphes ............................... 7
1.2 Processus aléatoires ............................... 9
1.3 Optimisation par Contraintes (CP) ....................... 11
2 Théorie des jeux et jeux de poursuite 14
2.1 Résolution de jeux finis ............................. 14
2.1.1 Résolution par relation d’ordre ..................... 14
2.1.2 Le point de vue de la théorie des jeux, le théorème de Kuhn ..... 17
2.2 Les jeux stochastiques .............................. 18
2.2.1 Valeurs et stratégies optimales ..................... 22
3 Généralisation des jeux de poursuite stochastiques 27
3.1 Introduction .................................... 27
3.1.1 Concept de solutions dans les jeux de poursuite ............ 29
3.2 Un jeu de poursuite abstrait à information parfaite .............. 30
3.2.1 Stratégies ................................. 37
3.2.2 Conditions de victoire dans les jeux de policiers et voleurs ...... 38
3.2.3 Résolution des jeux de policiers et voleurs ............... 40
3.3 Complexité de calcul dans les jeux de poursuite ................ 42
3.3.1 La complexité de calcul de la fonction wn............... 42
3.3.2 Un résultat de difficulté pour les jeux de poursuite .......... 44
3.4 Un résultat de stationnarité ........................... 45
3.5 Un modèle concret pour les jeux de policiers et voleurs ............ 51
3.6 Exemples ..................................... 56
v