Chapitre I : Plus grand diviseur commun I- Rappels Soit deux nombres « a » et « b » différents de zéro. « a » est divisible par « b » si le reste de la division euclidienne de « a » par « b » est zéro. Exemple : 132 est divisible par 11 car 132 11 On dit aussi que 11 est un diviseur de 22 12 132 est que 132 est un multiple car 0 132 = 12X11 Contre-exemple : 135 n’est pas divisible par 11 ; en effet : 135 11 25 12 3 II- Nombres premiers On dit qu’un nombre est premier s’il a seulement deux diviseurs : 1 et lui-même. Exemples : III- 5 est un nombre premier 1 n’est pas un nombre premier car il a un seul diviseur 2, 3, 5, 7, 11, 13 sont des nombres premiers Diviseurs communs à plusieurs nombres Un nombre est un diviseur commun à d’autres nombres s’il divise chacun d’entre eux. Exemple : 3 est un diviseur commun à 6 et à 9 Exemple d’exercice : Rechercher la liste des diviseurs communs à 76 et 56 Diviseurs de 76 : Les diviseurs de 76 sont 1, 2, 4, 19, 38, 76 76 = 76X1 = 2X38 = 4X19 Diviseurs de 56 : Les diviseurs de 56 sont 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56 56 = 1X26 = 2X28 = 4X14 = 7X8 Ils ont donc en commun 1, 2 et 4 comme diviseurs. IV- Plus Grand Diviseur Commun (dit PGCD) Le PGCD de deux nombres est le plus grand diviseur commun à ces deux nombres. Exemple : PGCD (76 ; 56) = 4 (voir partie III- Diviseur commun à plusieurs nombres) Méthode pour calculer le PGCD de deux nombres par divisions successives (dite méthode d’Euclide) Exemple : On cherche le PGCD de 1640 et 21 385. On effectue la division euclidienne de 21385 / 3640 21385 3640 3185 5 3640 3185 455 1 3185 455 0 7 21 385 3640 = 5,875 Pour calculer le reste si vous n’avez pas la touche « Division Euclidienne » sur votre calculatrice, dividende – diviseur X quotient = reste On divise maintenant le diviseur par le reste et ce jusqu’à ce que le reste soit nul. Le PGCD est le diviseur de la dernière division Donc : PGCD (3640 ; 21385) = 455 On peut vérifier : 21385 = 455X47 3640 = 455X8 V- Nombres premiers entre eux Deux nombres sont premiers entre eux s’ils ont un seul diviseur commun, le nombre 1. Cela veut dire que si le PGCD de deux nombres est égal à 1, ces deux nombres sont alors premiers entre eux. Exemples : 2 et 3 sont premiers entre eux, ils n’ont que 1 comme diviseur commun. 20 et 25 ne le sont pas, ils ont 5 pour diviseur commun. VI- Fraction irréductible Une fraction est irréductible si elle n’est plus simplifiable. Exemples : est irréductible n’est pas irréductible car 15 et 10 sont des multiples de 5 Autrement dit, une fraction est irréductible fin si fin si ce sont si son numérateur et son dénominateurs sont premiers entre eux. Exemple d’exercice : soit la fraction jusqu’à ce qu’elle le soit. . Cette fraction est-elle irréductible ? Sinon, simplifiez là On calcule le PGCD des deux nombres pour savoir si la fraction est irréductible. 29 393 18 360 = 1 reste 11 033 18 360 11 033 = 1 reste 7 327 11 033 7 327 = 1 reste 3 706 7 327 3 706 = 1 reste 3 621 3 706 3 621 = 1 reste 85 3 621 85 = 42 reste 51 85 51 = 1 reste 37 51 34 = 1 reste 17 34 17 = 2 reste 0 Donc 17 est le PGCD de 29 393 et 18360. Ces deux nombres ne sont pas premiers entre eux car leur PGCD est plus grand que 1 (17) Pour rendre la fraction irréductible, on la simplifie par le PGCD :