Chapitre I : Plus grand diviseur commun I

Chapitre I : Plus grand diviseur commun
I- Rappels
Soit deux nombres « a » et « b » différents de zéro. « a » est divisible par « b » si le reste de la
division euclidienne de « a » par « b » est zéro.
Exemple : 132 est divisible par 11 car 132 11
On dit aussi que 11 est un diviseur de 22 12
132 est que 132 est un multiple car 0
132 = 12X11
Contre-exemple : 135 n’est pas divisible par 11 ; en effet : 135 11
25 12
3
II- Nombres premiers
On dit qu’un nombre est premier s’il a seulement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Exemples : 5 est un nombre premier
1 n’est pas un nombre premier car il a un seul diviseur
2, 3, 5, 7, 11, 13 sont des nombres premiers
III- Diviseurs communs à plusieurs nombres
Un nombre est un diviseur commun à d’autres nombres s’il divise chacun d’entre eux.
Exemple : 3 est un diviseur commun à 6 et à 9
 Exemple d’exercice : Rechercher la liste des diviseurs communs à 76 et 56
Diviseurs de 76 : Les diviseurs de 76 sont 1, 2, 4, 19, 38, 76
76 = 76X1 = 2X38 = 4X19
Diviseurs de 56 : Les diviseurs de 56 sont 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56
56 = 1X26 = 2X28 = 4X14 = 7X8
Ils ont donc en commun 1, 2 et 4 comme diviseurs.
IV- Plus Grand Diviseur Commun (dit PGCD)
Le PGCD de deux nombres est le plus grand diviseur commun à ces deux nombres.
Exemple : PGCD (76 ; 56) = 4 (voir partie III- Diviseur commun à plusieurs nombres)
Méthode pour calculer le PGCD de deux nombres par divisions successives (dite méthode d’Euclide)
Exemple : On cherche le PGCD de 1640 et 21 385. On effectue la division euclidienne de 21385 / 3640
21385 3640 3640 3185 3185 455
3185 5 455 1 0 7

21 385  3640 = 5,875
Pour calculer le reste si vous n’avez pas la touche « Division Euclidienne » sur votre calculatrice,
dividende – diviseur X quotient = reste
On divise maintenant le diviseur par le reste et ce jusqu’à ce que le reste soit nul.
Le PGCD est le diviseur de la dernière division Donc :
PGCD (3640 ; 21385) = 455
On peut vérifier :
21385 = 455X47
3640 = 455X8
V- Nombres premiers entre eux
Deux nombres sont premiers entre eux s’ils ont un seul diviseur commun, le nombre 1. Cela veut dire
que si le PGCD de deux nombres est égal à 1, ces deux nombres sont alors premiers entre eux.
Exemples : 2 et 3 sont premiers entre eux, ils n’ont que 1 comme diviseur commun.
20 et 25 ne le sont pas, ils ont 5 pour diviseur commun.
VI- Fraction irréductible
Une fraction est irréductible si elle n’est plus simplifiable.
Exemples : 
 est irréductible
n’est pas irréductible car 15 et 10 sont des multiples de 5
Autrement dit, une fraction est irréductible fin si fin si ce sont si son numérateur et son
dénominateurs sont premiers entre eux.
Exemple d’exercice : soit la fraction 
. Cette fraction est-elle irréductible ? Sinon, simplifiez là
jusqu’à ce qu’elle le soit.
On calcule le PGCD des deux nombres pour savoir si la fraction est irréductible.
29 393  18 360 = 1 reste 11 033
18 360  11 033 = 1 reste 7 327
11 033  7 327 = 1 reste 3 706
7 327  3 706 = 1 reste 3 621
3 706 3 621 = 1 reste 85
3 621 85 = 42 reste 51
85 51 = 1 reste 37
51 34 = 1 reste 17
34  17 = 2 reste 0
Donc 17 est le PGCD de 29 393 et 18360.
Ces deux nombres ne sont pas premiers entre eux car leur PGCD est plus grand que 1 (17)
Pour rendre la fraction irréductible, on la simplifie par le PGCD :