Exercice E1 - XMaths

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Probabilités
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Exercices page 1 / 2
Exercice E1
1°) Sachant que 62 % des chevaux sont des galopeurs, on en déduit que 38 % sont des trotteurs.
On a donc : p(T) = 38
100 donc p(T) = 0,38 .
2°) a) On peut représenter la situation par un arbre pondéré :
On sait que le centre comprend 30 % de juments, donc p(J) = 0,3 .
On en déduit que p( J ) = 0,7 .
Parmi les juments, 35 % font du galop, on a donc p
J
( T ) = 0,35 .
D'après les règles d'utilisation des arbres pondérés, on a donc p
J
(T) = 1 - 0,35 = 0,65 .
La probabilité que le cheval choisi soit une jument qui fasse du galop est p(J∩ T ).
On peut écrire p(J∩ T ) = p
J
( T ) x p(J) = 0,35 x 0,3 donc p(J∩ T ) = 0,105 .
b) La probabilité que le cheval choisi soit un mâle qui fasse du galop est p( J ∩ T )
Or d'après la formule des probabilités totales, on a p( J ∩ T ) + p(J∩ T ) = p( T )
. On connaît p( T ) = 1 - p(T) = 1 - 0,38 = 0,62 (le centre comprend 62 % de galopeurs)
et p(J∩ T ) = 0,105 .
On en déduit que p( J ∩ T ) = p( T ) - p(J∩ T ) = 0,62 - 0,105
Donc p( J ∩ T ) = 0,515 .
3°) La probabilité que le cheval choisi ne soit pas un trotteur sachant que c'est un mâle est : p
J
( T ) .
On sait que p
J
( T ) = p(
J ∩ T )
p( J )
= 0,515
0,7 on obtient p
J
( T ) ≈ 0,736.
4°) On choisit quatre chevaux au hasard et de manière indépendante en assimilant ces choix à des tirages
successifs avec remise.
Pour chaque cheval choisi, la probabilité que ce soit un trotteur est p(T) = 0,38 .
On a alors un schéma de Bernoulli dont la loi de probabilité est la loi binomiale de paramètres (4 ; 0,38)
a) L'événement « Il y a exactement 2 trotteurs parmi les 4 chevaux » a pour probabilité :
p
1
=
2
4
x 0,38
2
x (1 - 0,38)
4-2
= 6 x 0,38
2
x 0,62
2
on obtient p
1
≈ 0,333
b) L'événement « Il y a au moins un galopeur parmi les quatre chevaux » est le contraire de l'événement
« Il n'y a aucun galopeur parmi les quatre chevaux » c'est-à-dire « Il y a quatre trotteurs parmi les
quatre chevaux ».
L'événement « Il y a quatre trotteurs parmi les quatre chevaux » a pour probabilité
4
4
x 0,38
4
x (1 - 0,38)
4-4
= 0,38
4
La probabilité de l'événement « Il y a au moins un galopeur parmi les quatre chevaux » est donc :
p
2
= 1 - 0,38
4
on obtient p
2
≈ 0,979
J
0,3
J
T
T
T
T
0,7
0,65
0,35

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NB : La situation de la question 4 peut être représentée par l'arbre de probabilités ci-dessous à partir duquel
on pourrait retrouver les résultats
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
0,38
0,62
0,38
0,62
0,38
0,62
0,38
0,62
0,38
0,62
0,38
0,62
0,38
0,62
0,38
0,62
0,38
0,62
0,38
0,62
0,38
0,62
0,38
0,62
0,38
0,62
0,38
0,62
0,38
0,62