Vdouine – Troisième – Chapitre 3 – Thalès, Pythagore et trigonométrie Enoncé du théorème Etant données deux droites (BM) et (CN) sécantes en A. AM AN MN Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles alors . AB AC BC Application directe du théorème Dans chacune des configurations suivantes : Deux droites sont sécantes, Deux droites sont parallèles. Ecrire dans chaque cas les égalités données par le théorème de Thalès. Travail algébrique intermédiaire Dans chacune des égalités proposées ci-dessous, déterminer algébriquement la valeur de la lettre. 5 20 3 a 2 b 5 15 c 21 2 14 28 7 d 4 10 2 15 e 16 f 24 6 Acticités & exercices Page 1 Vdouine – Troisième – Chapitre 3 – Thalès, Pythagore et trigonométrie Configuration, rapports de longueurs et longueur manquante On a proposé ci-dessous quatre configurations de Thalès, quatre formules et quatre résultats. Associer à chacune des quatre situations proposées la formule et le résultat qui lui correspondent. Situation 1 Situation 2 Situation 3 Situation 4 Formule a Formule b Formule c Formule d 12 x 3 12 8 8 3 12 x x 3 8 12 3 x 8 12 Réponse a Réponse b Réponse c Réponse d x 4,5 x2 x 7,5 x6 Agrandissement et réduction Dans la situation 1, les points D,L, U sont alignés, les points D, V, N sont alignés et les droites (LV) et (NU) sont parallèles. Dans la situation 2, les points T, M, F sont alignés, les points T, R, B sont alignés et les droites (MR) et (FB) sont parallèles. Situation 1 Situation 2 1. Dans la situation 1, quelle est la nature de la transformation permettant de passer du triangle DLV au triangle DUN ? Précisez le rapport de cette transformation. 2. Dans la situation 2, quelle est la nature de la transformation permettant de passer du triangle TFB au triangle TMR ? Précisez le rapport de cette transformation. 3. Dans chacune des deux situations déterminer la valeur de x . Acticités & exercices Page 2 Vdouine – Troisième – Chapitre 3 – Thalès, Pythagore et trigonométrie Longueurs manquantes dans une configuration de Thalès Dans les quatre configurations suivantes, on a tracé deux droites sécantes et deux parallèles. Les mesures sont données en centimètres et les figures proposées ne sont pas forcément à l’échelle. Le but est de calculer, par un raisonnement précis que vous détaillerez, les nombres x et y . OE 1,6 OG 2, 4 OB 2 BE 2, 4 OF x FG y Situation 1 AL 1,5 AK 2 AI 2, 4 KI 2, 2 LH x AH y Situation 2 AB 3 AD 2,1 EB 6 AC 2,8 EA x DC y Situation 3 QR 5 MP 2,5 OR 2,5 PO 2 OQ x OM y Situation 4 Dans les deux configurations suivantes, on a tracé sur la droite (AB) des segments de même longueur. La droite (AC) coupe la droite (AB) en A et les droits (MN) et (BC) sont parallèles. Le but est de calculer, par un raisonnement précis que vous détaillerez, les longueurs AM et MN. Situation 5 Acticités & exercices Situation 6 Page 3 Vdouine – Troisième – Chapitre 3 – Thalès, Pythagore et trigonométrie Situation 1 Thalès tient dans la main un bâton de 80 centimètres et fait face à une pyramide. Un jour de plein soleil, il place son bâton verticalement, de telle sorte que l’ombre portée par la pyramide et celle portée par le bâton coïncident. Ses assistants mesurent alors que l’ombre portée du bâton est de 1,20 mètres tandis que l’ombre portée de la pyramide est de 15 mètres. Modéliser la situation décrite par une figure géométrique puis, déterminer la hauteur de la pyramide. Situation 2 Du haut de ses 1,50 mètre, Thalès observe le fond d’un puit en se tenant à 1 mètre du bord comme l’indique le schéma ci-dessous. Le puit mesure 1,20 mètre de diamètre. Modéliser la situation décrite par une figure géométrique puis, déterminer la profondeur du puits. Situation 3 Une personne se tient à 60 centimètres du bord d’un puits. Le puit est vide et a pour diamètre 1,20 mètre. Du haut de ses 1,50 mètre cette personne aperçoit le fond du puits. Modéliser la situation décrite par une figure géométrique puis, déterminer la profondeur du puits. Situation 4 Lors d’une éclipse de soleil, les centres des trois astres sont alignés de telle sorte que l’ombre portée de la lune sur la terre crée une zone pour laquelle le soleil est entièrement caché. Les astronomes savent que le rayon du soleil mesure 696000 km et que celui de la lune mesure 1740 km. D’autre part, ils savent que la distance séparant le centre de la terre et le centre de la lune est de 375000 km. Dans cet exercice la modélisation de la situation est déjà fournie (voir dessin cidessous). Déterminer la distance séparant le centre de la terre et le centre du soleil. Situation réelle Acticités & exercices Modélisation Page 4 Vdouine – Troisième – Chapitre 3 – Thalès, Pythagore et trigonométrie Enoncé de la réciproque du théorème de Thalès Si les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre et si AM AN , AB AC Alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Configuration classique Configuration croisée ou papillon Application de la réciproque du théorème Démontrer que les droites (BD) et (CE) sont Démontrer que les droites (CD) et (EF) sont parallèles. La réponse sera justifiée par un parallèles. La réponse sera justifiée par un raisonnement précis et détaillé. raisonnement précis et détaillé. Dans les trois configurations, déterminer par un raisonnement précis et détaillé si les droites citées sont parallèles. Configuration 1 : les droites (BE) et (CD). Configuration 2 : les droites (GH) et (IJ). Configuration 3 : les droites (LN) et (KP). Acticités & exercices Page 5 Vdouine – Troisième – Chapitre 3 – Thalès, Pythagore et trigonométrie Etude de différentes situations On considère six figures représentant chacune un triangle et trois carrés numérotés construits sur les côtés du triangle. Les figures sont tracées dans un quadrillage. L’unité d’aire est le carreau. 1. Pour chaque figure vous effectuerez le travail suivant : Déterminer l’aire du carré n°1, Déterminer l’aire du carré n°2, Déterminer l’aire du carré n°3. 2. Puis vous reporterez les résultats obtenus dans le tableau suivant : Carré n°1 Carré n°2 Carré n°3 Figure 1 Figure 2 Figure 3 Figure 4 Figure 5 Figure 6 3. Que remarque-t-on ? Soyez précis dans votre réponse. En déduire une propriété géométrique du type « SI … ALORS … ». Acticités & exercices Page 6 Vdouine – Troisième – Chapitre 3 – Thalès, Pythagore et trigonométrie Théorème de Pythagore Situation 1 Lors d’une tempête, le tronc d’un arbre a été brisé à 5 mètres du sol. La cime de l’arbre repose désormais sur le sol à 12 mètres du tronc. Déterminer la hauteur totale de l’arbre avant la tempête. Situation 2 Pour se rendre au Lycée un élève doit franchir les deux rues perpendiculaires d’un carrefour. La longueur du premier passage piéton est de 8 mètres, celle du deuxième passage piéton est de 6 mètres. Imprudent et pressé, cet élève décide de traverser le carrefour en diagonale afin de raccourcir son trajet. Quelle économie cet élève a ainsi réalisé ? Situation 3 Roméo souhaite rejoindre, à l’aide d’une échelle de 17 mètres de long, le balcon de la chambre de Juliette situé à 15 mètres de hauteur. On suppose ici que le mur est perpendiculaire au sol. En déduire à quelle distance du mur Roméo doit déposer son échelle. Réciproque du théorème de Pythagore Situation 1 Un apprenti maçon a monté un mur en brique. Son patron arrive et souhaite vérifier son travail. Il marque un point B sur le mur, à 80 centimètres du sol. Il marque un point A sur le sol, à 60 centimètres du mur. Il mesure ensuite la distance qui sépare les points A et B et trouve 1 mètre. Qu’est-ce que le patron va dire à son apprenti ? Pourquoi ? Situation 2 Les triplets de nombres proposés ci-dessous sont appelés triplets pythagoriciens : (3 ; 4 ; 5) (6 ; 8 ;10) (5 ; 12 ; 13). Expliquer pourquoi… Acticités & exercices Page 7 Vdouine – Troisième – Chapitre 3 – Thalès, Pythagore et trigonométrie Cosinus d’un angle aigu Dans un triangle rectangle, on définit le cosinus d’un l’angle aigu par la formule suivante : Cosinus = Adjacent Hypoténuse Ainsi dans le triangle tracé ci-dessus on a les deux égalités : cos a AB BC et cos c . AC AC Utilisation Ces égalités permettent de déterminer dans une configuration géométrique une longueur à partir de la connaissance d’un angle ou inversement, de déterminer un angle à partir de la connaissance de certaines longueurs. Application directe Résolution d’un problème Situation réelle Modélisation Dans un parc d’activités sportives, une épreuve consiste à rejoindre deux plateformes situées sur des arbres à l’aide d’une tyrolienne (poulie qui permet de glisser le long d’un câble). On sait que le câble mesure 75 mètres de long et qu’il fait un angle de 5 degrés avec l’horizontale. Calculer, arrondi au centimètre près, la distance séparant les deux arbres. Acticités & exercices Page 8 Vdouine – Troisième – Chapitre 3 – Thalès, Pythagore et trigonométrie Sinus d’un angle aigu Dans un triangle rectangle, on définit le sinus d’un l’angle aigu par la formule suivante : Sinus = Opposé Hypoténuse Ainsi dans le triangle tracé ci-dessus on a les deux égalités : sin a BC AB et sin c . AC AC Utilisation Ces égalités permettent de déterminer dans une configuration géométrique une longueur à partir de la connaissance d’un angle ou inversement, de déterminer un angle à partir de la connaissance de certaines longueurs. Application directe Résolution d’un problème Situation réelle Modélisation Dans un parc d’activités sportives, une épreuve consiste à rejoindre deux plateformes situées sur des arbres à l’aide d’une tyrolienne (poulie qui permet de glisser le long d’un câble). On sait que le câble mesure 75 mètres de long et qu’il fait un angle de 5 degrés avec l’horizontale. Calculer, arrondi au centimètre près, le dénivelé qui sépare les deux plateformes. Acticités & exercices Page 9 Vdouine – Troisième – Chapitre 3 – Thalès, Pythagore et trigonométrie Tangente d’un angle aigu Dans un triangle rectangle, on définit la tangente d’un angle aigu par la formule suivante : Tangente = Opposé Adjacent Ainsi dans le triangle tracé ci-contre on a les deux égalités : tan a BC AB et tan c . AB BC Utilisation Ces égalités permettent de déterminer dans une configuration géométrique une longueur à partir de la connaissance d’un angle ou inversement, de déterminer un angle à partir de la connaissance de certaines longueurs. Application directe Résolution de problèmes On souhaite mesurer la hauteur d’une cathédrale. Une personne nage à 50 mètres d’un phare dont il voit le sommet sous un angle de 43°. Un instrument de mesure est placé en O, à 1,5 mètre du sol et à 85 mètres de la cathédrale. Déterminer, arrondie au décimètre près, la hauteur du phare. On obtient la mesure suivante : BOC 59 . Déterminer, arrondie au décimètre près, le hauteur de la cathédrale. Acticités & exercices Page 10 Vdouine – Troisième – Chapitre 3 – Thalès, Pythagore et trigonométrie Exercice 1 Relier correctement les éléments de la colonne de gauche à ceux de la colonne de droite : 1. cos BCA 8 2. cos BAC 8 3. tan BAC 4. sin BCA 5. tan BCA 6 10 10 8 10 6 6 10 Exercice 2 Donner les expressions fractionnaires de : sin BAC , cos BAC , tan BAC . Exercice 3 On considère trois triangles rectangles. Quels sont les angles qui ont pour tangente les nombres suivants : 1 , 3 3, 2 , 3 3 . 2 Exercice 4 On considère MNP un triangle rectangle en P tel que MN = 8 cm et MP = 5 cm. Calculer : PMN MNP MH HN HP PN Acticités & exercices Page 11 Vdouine – Troisième – Chapitre 3 – Thalès, Pythagore et trigonométrie Exercices d’application directe Observer attentivement les situations proposées ci-dessous puis répondre aux questions posées. Situation 1 Situation 2 Situation 3 Situation 4 Situation 5 Situation 6 1. Situation 1 : déterminer la longueur PR . Le résultat sera arrondi au centimètre près. 2. Situation 2 : déterminer une mesure de l’angle PGT . Le résultat sera arrondi au degré près. 3. Situation 3 : déterminer la longueur AB . Le résultat sera arrondi au centimètre près. 4. Situation 4 : déterminer une mesure de l’angle PQR . Le résultat sera arrondi au degré près. 5. Situation 5 : déterminer la distance séparant le ballon du joueur. Le résultat sera arrondi au décimètre près. 6. Situation 6 : déterminer la hauteur totale de l’arbre. Le résultat sera arrondi au décimètre près. Acticités & exercices Page 12 Vdouine – Troisième – Chapitre 3 – Thalès, Pythagore et trigonométrie Un exercice du brevet Dans le jardin de sa nouvelle maison, Mr Durand a construit une terrasse rectangulaire qu’il désire recouvrir d’un toit. Pour cela il réalise le croquis suivant où l’unité de longueur est le mètre. Le sol ABCD et le toit EFGH sont des rectangles. Le triangle HIE est rectangle en I. Le quadrilatère IEAB est un rectangle. La hauteur du sol au sommet est HB. Dessin en perspective cavalière Partie A On suppose dans cette partie que AE = 2. 1. Démontrer que HE = 3,75. 2. Calculer au degré près la mesure de On donne les informations concernant les longueurs AB = 2,25, AD = 7,5 et HB = 5. l’angle IHE . Partie B Partie C On suppose dans cette partie que On suppose dans cette partie que IHE 45 . Le triangle est alors isocèle. IHE 60 . 1. Calculer HI. 1. Calculer HI au centimètre près. 2. En déduire AE. 2. En déduire AE. Partie D La courbe ci-contre représente la hauteur AE en fonction de la mesure de l’angle IHE . Mr Durand souhaite que la hauteur AE soit comprise entre 3 mètres et 3,5 mètres. En utilisant le graphique, donner les mesures possibles pour l’angle IHE . Vous justifierez votre réponse par un tracé en pointillé. Acticités & exercices Page 13 Vdouine – Troisième – Chapitre 3 – Thalès, Pythagore et trigonométrie Acticités & exercices Page 14