Vdouine – Troisième – Chapitre 3 – Thalès, Pythagore et trigonométrie

Vdouine – Troisième – Chapitre 3 – Thalès, Pythagore et trigonométrie
Enoncé du théorème
Etant données deux droites (BM) et (CN) sécantes en A.
AM AN MN
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles alors
.


AB AC BC
Application directe du théorème
Dans chacune des configurations suivantes :

Deux droites sont sécantes,

Deux droites sont parallèles.
Ecrire dans chaque cas les égalités données par
le théorème de Thalès.
Travail algébrique intermédiaire
Dans chacune des égalités proposées ci-dessous, déterminer algébriquement la valeur de la lettre.
5 20

3 a
2 b

5 15
c 21

2 14
28 7

d 4
10 2

15 e
16 f

24 6
Acticités & exercices
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Configuration, rapports de longueurs et longueur manquante
On a proposé ci-dessous quatre configurations de Thalès, quatre formules et quatre résultats.
Associer à chacune des quatre situations proposées la formule et le résultat qui lui correspondent.
Situation 1
Situation 2
Situation 3
Situation 4
Formule a
Formule b
Formule c
Formule d
12  x 3

12
8
8 3

12 x
x 3

8 12
3 x

8 12
Réponse a
Réponse b
Réponse c
Réponse d
x  4,5
x2
x  7,5
x6
Agrandissement et réduction
Dans la situation 1, les points D,L, U sont alignés, les points D, V, N sont alignés et les droites
(LV) et (NU) sont parallèles. Dans la situation 2, les points T, M, F sont alignés, les points T, R,
B sont alignés et les droites (MR) et (FB) sont parallèles.
Situation 1
Situation 2
1. Dans la situation 1, quelle est la nature de la transformation permettant de passer du
triangle DLV au triangle DUN ? Précisez le rapport de cette transformation.
2. Dans la situation 2, quelle est la nature de la transformation permettant de passer du
triangle TFB au triangle TMR ? Précisez le rapport de cette transformation.
3. Dans chacune des deux situations déterminer la valeur de x .
Acticités & exercices
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Longueurs manquantes dans une configuration de Thalès
Dans les quatre configurations suivantes, on a tracé deux droites sécantes et deux parallèles. Les
mesures sont données en centimètres et les figures proposées ne sont pas forcément à l’échelle.
Le but est de calculer, par un raisonnement précis que vous détaillerez, les nombres x et y .






OE  1,6
OG  2, 4
OB  2
BE  2, 4
OF  x
FG  y






Situation 1
AL  1,5
AK  2
AI  2, 4
KI  2, 2
LH  x
AH  y
Situation 2






AB  3
AD  2,1
EB  6
AC  2,8
EA  x
DC  y
Situation 3






QR  5
MP  2,5
OR  2,5
PO  2
OQ  x
OM  y
Situation 4
Dans les deux configurations suivantes, on a tracé sur la droite (AB) des segments de même
longueur. La droite (AC) coupe la droite (AB) en A et les droits (MN) et (BC) sont parallèles.
Le but est de calculer, par un raisonnement précis que vous détaillerez, les longueurs AM et MN.
Situation 5
Acticités & exercices
Situation 6
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Situation 1
Thalès tient dans la main un bâton de
80 centimètres et fait face à une
pyramide.
Un jour de plein soleil, il place son
bâton verticalement, de telle sorte que
l’ombre portée par la pyramide et celle
portée par le bâton coïncident.
Ses assistants mesurent alors que l’ombre portée du bâton est de 1,20 mètres tandis que l’ombre
portée de la pyramide est de 15 mètres. Modéliser la situation décrite par une figure géométrique
puis, déterminer la hauteur de la pyramide.
Situation 2
Du haut de ses 1,50 mètre, Thalès observe le fond
d’un puit en se tenant à 1 mètre du bord comme
l’indique le schéma ci-dessous. Le puit mesure 1,20
mètre de diamètre. Modéliser la situation décrite
par une figure géométrique puis, déterminer la
profondeur du puits.
Situation 3
Une personne se tient à 60 centimètres du
bord d’un puits. Le puit est vide et a pour
diamètre 1,20 mètre. Du haut de ses 1,50
mètre cette personne aperçoit le fond du
puits. Modéliser la situation décrite par
une figure géométrique puis, déterminer
la profondeur du puits.
Situation 4
Lors d’une éclipse de soleil, les centres des trois astres sont alignés de telle sorte que l’ombre
portée de la lune sur la terre crée une zone pour laquelle le soleil est entièrement caché. Les
astronomes savent que le rayon du soleil mesure 696000 km et que celui de la lune mesure 1740
km. D’autre part, ils savent que la distance séparant le centre de la terre et le centre de la lune est
de 375000 km. Dans cet exercice la modélisation de la situation est déjà fournie (voir dessin cidessous). Déterminer la distance séparant le centre de la terre et le centre du soleil.
Situation réelle
Acticités & exercices
Modélisation
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Enoncé de la réciproque du théorème de Thalès
Si les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre et si
AM AN
,

AB AC
Alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Configuration classique
Configuration croisée ou papillon
Application de la réciproque du théorème
Démontrer que les droites (BD) et (CE) sont Démontrer que les droites (CD) et (EF) sont
parallèles. La réponse sera justifiée par un parallèles. La réponse sera justifiée par un
raisonnement précis et détaillé.
raisonnement précis et détaillé.
Dans les trois
configurations,
déterminer par un
raisonnement
précis et détaillé
si les droites
citées
sont
parallèles.
Configuration 1 :
les droites (BE) et
(CD).
Configuration 2 :
les droites (GH)
et (IJ).
Configuration 3 :
les droites (LN)
et (KP).
Acticités & exercices
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Etude de différentes situations
On considère six figures représentant chacune un triangle et trois carrés numérotés construits sur
les côtés du triangle. Les figures sont tracées dans un quadrillage. L’unité d’aire est le carreau.
1. Pour chaque figure vous effectuerez le travail suivant :



Déterminer l’aire du carré n°1,
Déterminer l’aire du carré n°2,
Déterminer l’aire du carré n°3.
2. Puis vous reporterez les résultats obtenus dans le tableau suivant :
Carré n°1
Carré n°2
Carré n°3
Figure 1
Figure 2
Figure 3
Figure 4
Figure 5
Figure 6
3. Que remarque-t-on ? Soyez précis dans votre réponse. En déduire une propriété
géométrique du type « SI … ALORS … ».
Acticités & exercices
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Théorème de Pythagore
Situation 1
Lors d’une tempête, le tronc d’un arbre a été
brisé à 5 mètres du sol. La cime de l’arbre
repose désormais sur le sol à 12 mètres du
tronc. Déterminer la hauteur totale de l’arbre
avant la tempête.
Situation 2
Pour se rendre au Lycée un élève doit franchir
les deux rues perpendiculaires d’un carrefour.
La longueur du premier passage piéton est de 8
mètres, celle du deuxième passage piéton est
de 6 mètres. Imprudent et pressé, cet élève
décide de traverser le carrefour en diagonale
afin de raccourcir son trajet. Quelle économie
cet élève a ainsi réalisé ?
Situation 3
Roméo souhaite rejoindre, à l’aide d’une
échelle de 17 mètres de long, le balcon de la
chambre de Juliette situé à 15 mètres de
hauteur. On suppose ici que le mur est
perpendiculaire au sol. En déduire à quelle
distance du mur Roméo doit déposer son
échelle.
Réciproque du théorème de Pythagore
Situation 1
Un apprenti maçon a monté un mur en brique.
Son patron arrive et souhaite vérifier son
travail. Il marque un point B sur le mur, à 80
centimètres du sol. Il marque un point A sur le
sol, à 60 centimètres du mur. Il mesure ensuite
la distance qui sépare les points A et B et
trouve 1 mètre. Qu’est-ce que le patron va dire
à son apprenti ? Pourquoi ?
Situation 2
Les triplets de nombres proposés ci-dessous
sont appelés triplets pythagoriciens : (3 ; 4 ; 5)
(6 ; 8 ;10) (5 ; 12 ; 13). Expliquer pourquoi…
Acticités & exercices
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Cosinus d’un angle aigu
Dans un triangle rectangle, on définit
le cosinus d’un l’angle aigu par la
formule suivante :
Cosinus =
Adjacent
Hypoténuse
Ainsi dans le triangle tracé ci-dessus on a les deux égalités : cos  a  
AB
BC
et cos  c  
.
AC
AC
Utilisation
Ces égalités permettent de déterminer dans une configuration géométrique une longueur à partir
de la connaissance d’un angle ou inversement, de déterminer un angle à partir de la connaissance
de certaines longueurs.
Application directe
Résolution d’un problème
Situation réelle
Modélisation
Dans un parc d’activités sportives, une épreuve consiste à rejoindre deux plateformes situées sur
des arbres à l’aide d’une tyrolienne (poulie qui permet de glisser le long d’un câble).
On sait que le câble mesure 75 mètres de long et qu’il fait un angle de 5 degrés avec l’horizontale.
Calculer, arrondi au centimètre près, la distance séparant les deux arbres.
Acticités & exercices
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Sinus d’un angle aigu
Dans un triangle rectangle, on définit
le sinus d’un l’angle aigu par la
formule suivante :
Sinus =
Opposé
Hypoténuse
Ainsi dans le triangle tracé ci-dessus on a les deux égalités : sin  a  
BC
AB
et sin  c  
.
AC
AC
Utilisation
Ces égalités permettent de déterminer dans une configuration géométrique une longueur à partir
de la connaissance d’un angle ou inversement, de déterminer un angle à partir de la connaissance
de certaines longueurs.
Application directe
Résolution d’un problème
Situation réelle
Modélisation
Dans un parc d’activités sportives, une épreuve consiste à rejoindre deux plateformes situées sur
des arbres à l’aide d’une tyrolienne (poulie qui permet de glisser le long d’un câble).
On sait que le câble mesure 75 mètres de long et qu’il fait un angle de 5 degrés avec l’horizontale.
Calculer, arrondi au centimètre près, le dénivelé qui sépare les deux plateformes.
Acticités & exercices
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Tangente d’un angle aigu
Dans un triangle rectangle, on définit
la tangente d’un angle aigu par la
formule suivante :
Tangente =
Opposé
Adjacent
Ainsi dans le triangle tracé ci-contre on a les deux égalités : tan  a  
BC
AB
et tan  c  
.
AB
BC
Utilisation
Ces égalités permettent de déterminer dans une configuration géométrique une longueur à partir
de la connaissance d’un angle ou inversement, de déterminer un angle à partir de la connaissance
de certaines longueurs.
Application directe
Résolution de problèmes
On souhaite mesurer la hauteur d’une cathédrale.
Une personne nage à 50 mètres d’un phare
dont il voit le sommet sous un angle de 43°. Un instrument de mesure est placé en O, à 1,5
mètre du sol et à 85 mètres de la cathédrale.
Déterminer, arrondie au décimètre près, la
hauteur du phare.
On obtient la mesure suivante : BOC  59 .
Déterminer, arrondie au décimètre près, le
hauteur de la cathédrale.
Acticités & exercices
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Exercice 1
Relier correctement les éléments de la colonne
de gauche à ceux de la colonne de droite :
1. cos BCA

8
2. cos BAC

8
3. tan BAC

4. sin BCA

5. tan BCA

6
10
10
8
10
6
6
10
Exercice 2
Donner les expressions fractionnaires de :



sin BAC ,
cos BAC ,
tan BAC .
Exercice 3
On considère trois triangles rectangles.
Quels sont les angles qui ont pour
tangente les nombres suivants :




1 ,
3
3,
2 ,
3
3 .
2
Exercice 4
On considère MNP un triangle rectangle
en P tel que MN = 8 cm et MP = 5 cm.
Calculer :

PMN

MNP

MH

HN

HP

PN
Acticités & exercices
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Exercices d’application directe
Observer attentivement les situations proposées ci-dessous puis répondre aux questions posées.
Situation 1
Situation 2
Situation 3
Situation 4
Situation 5
Situation 6
1. Situation 1 : déterminer la longueur PR .
Le résultat sera arrondi au centimètre près.
2. Situation 2 : déterminer une mesure de l’angle PGT .
Le résultat sera arrondi au degré près.
3. Situation 3 : déterminer la longueur AB .
Le résultat sera arrondi au centimètre près.
4. Situation 4 : déterminer une mesure de l’angle PQR .
Le résultat sera arrondi au degré près.
5. Situation 5 : déterminer la distance séparant le ballon du joueur.
Le résultat sera arrondi au décimètre près.
6. Situation 6 : déterminer la hauteur totale de l’arbre.
Le résultat sera arrondi au décimètre près.
Acticités & exercices
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Un exercice du brevet
Dans le jardin de sa nouvelle maison, Mr Durand a construit une terrasse rectangulaire qu’il
désire recouvrir d’un toit. Pour cela il réalise le croquis suivant où l’unité de longueur est le mètre.
Le sol ABCD et le toit EFGH sont des rectangles. Le triangle HIE est rectangle en I. Le
quadrilatère IEAB est un rectangle. La hauteur du sol au sommet est HB.
Dessin en perspective cavalière
Partie A
On suppose dans cette
partie que AE = 2.
1. Démontrer que
HE = 3,75.
2. Calculer au
degré près la
mesure de
On donne les informations concernant les
longueurs AB = 2,25, AD = 7,5 et HB = 5.
l’angle IHE .
Partie B
Partie C
On suppose dans
cette partie que
On suppose dans
cette partie que
IHE  45 . Le
triangle est alors
isocèle.
IHE  60 .
1. Calculer HI.
1. Calculer HI
au centimètre
près.
2. En déduire
AE.
2. En déduire
AE.
Partie D
La courbe ci-contre représente la hauteur AE
en fonction de la mesure de l’angle IHE .
Mr Durand souhaite que la hauteur AE soit
comprise entre 3 mètres et 3,5 mètres.
En utilisant le graphique, donner les mesures
possibles pour l’angle IHE . Vous justifierez
votre réponse par un tracé en pointillé.
Acticités & exercices
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