II Fractions irréductibles

b -Algorithme d'Euclide :
Cet algorithme utilise la propriété suivante :
Propriété :
Soient a et b deux entiers différents de zéro et r le reste de la division euclidienne de a par b.
Alors PGCD ( a , b ) = PGCD ( b ; r )
Exemple : Calculer le PGCD de 810 et 663.
On présente les résultats sous la forme d'un tableau :
a
b
r
!
a=b"q+r r < b
810
663
147
810 = 633 x 1 + 147
663
147
75
663 = 147 x 4 + 75
147
75
72
147= 75 x 1 + 72
75
72
3
75 = 72 x 1 + 3
72
3
0
72 = 3 x 24 + 0
On arrête les calculs lorsqu'on obtient un reste nul .
Le PGCD de a par b est alors égal au dernier reste non nul obtenu (c’est à dire que l’un des
nombres est un multiple de l’autre).
PGCD ( 810 ; 663 ) = 3.
c- Quelle méthode choisir ?
Pour déterminer le PGCD de petits nombres, il est préférable de dresser la liste de leurs
diviseurs. Cette recherche peut se faire mentalement.
Pour des nombres plus grands, l’algorithme d’Euclide est plus rapide que l’algorithme des
soustractions successives.
4) Nombres premiers entre eux.
Définition : Deux nombres sont premiers entre eux s'ils n'ont que 1 comme diviseur commun.
Autrement dit si leur PGCD est égal à 1.
Exemple :
Les diviseurs de 63 sont 1, 3, 7, 9, 21 et 63.
Les diviseurs de 26 sont 1, 2, 13 et 26.
Le seul diviseur commun à 63 et à 26 est 1.
D’où PGCD (63 ; 26)=1
63 et 26 sont donc des nombres premiers entre eux.
II Fractions irréductibles
Définitions : Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont
premiers entre eux. Simplifier une fraction, c’est la rendre irréductible.
Propriété (admise) : Si on divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction par leur
PGCD alors on obtient une fraction irréductible égale.
Exemple : Donner la forme irréductible de la fraction
!
2340
1344
.
Recherchons le PGCD de 2340 et 1344 en utilisant l’algorithme d’Euclide