b -Algorithme d'Euclide : Cet algorithme utilise la propriété suivante : Propriété : Soient a et b deux entiers différents de zéro et r le reste de la division euclidienne de a par b. Alors PGCD ( a , b ) = PGCD ( b ; r ) Exemple : Calculer le PGCD de 810 et 663. On présente les résultats sous la forme d'un tableau : a 810 663 147 75 72 b 663 147 75 72 3 r 147 75 72 3 0 a = b "q + r r<b 810 = 633 x 1 + 147 663 = 147 x 4 + 75 147= 75 x 1 + 72 75 = 72 x 1 + 3 72 = 3 x 24 + 0 ! On arrête les calculs lorsqu'on obtient un reste nul . Le PGCD de a par b est alors égal au dernier reste non nul obtenu (c’est à dire que l’un des nombres est un multiple de l’autre). PGCD ( 810 ; 663 ) = 3. c- Quelle méthode choisir ? Pour déterminer le PGCD de petits nombres, il est préférable de dresser la liste de leurs diviseurs. Cette recherche peut se faire mentalement. Pour des nombres plus grands, l’algorithme d’Euclide est plus rapide que l’algorithme des soustractions successives. 4) Nombres premiers entre eux. Définition : Deux nombres sont premiers entre eux s'ils n'ont que 1 comme diviseur commun. Autrement dit si leur PGCD est égal à 1. Exemple : Les diviseurs de 63 sont 1, 3, 7, 9, 21 et 63. Les diviseurs de 26 sont 1, 2, 13 et 26. Le seul diviseur commun à 63 et à 26 est 1. D’où PGCD (63 ; 26)=1 63 et 26 sont donc des nombres premiers entre eux. II Fractions irréductibles Définitions : Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Simplifier une fraction, c’est la rendre irréductible. Propriété (admise) : Si on divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction par leur PGCD alors on obtient une fraction irréductible égale. Exemple : Donner la forme irréductible de la fraction 2340 . 1344 Recherchons le PGCD de 2340 et 1344 en utilisant l’algorithme d’Euclide !