Maths France STL 2010 Page 1 BACCALAURÉAT

MathsFranceSTL2010 Page1
BACCALAURÉATTECHNOLOGIQUE
SESSION2010
MATHÉMATIQUES
Série:SCIENCESETTECHNOLOGIEDELABORATOIRE
Spécialité:CHIMIEDELABORATOIREETDEPROCÉDÉSINDUSTRIELS
DURÉEDEL'ÉPREUVE:3heures—COEFFICIENT:4
Dupapiermillimétréestmisàladispositiondescandidats.
L'utilisationd'unecalculatriceestautorisée.
Unformulairedemathématiquesestdistribuéauxcandidats.
Lecandidatdoittraitertouslesexercices.
Lecandidatestinvitéàfairefigurersurlacopietoutetracederecherche,mêmeincomplèteounonfructueuse,qu'il
auradéveloppée.
Ilestrappeléquelaqualitédelarédaction,laclartéetlaprécisiondesraisonnementsentrerontpourunepart
importantedansl'appréciationdescopies.

MathsFranceSTL2010 Page2
Exercice1(4points)
1)Résoudrel'équationdifférentielle"  25  0,oùyestunefonctiondelavariableréellet,définieet
deuxfoisdérivablesurl'ensembleRdesnombresréels.
2)Déterminerlafonctionf,solutiondel'équationdifférentielleprécédente,quivérifielesconditions
suivantes:
√3et5.
3)Vérifierque,pourtoutnombreréelt2cos5
.
4)a)RésoudredansRl'équation2cos1.
b)EndéduirelessolutionsdansRdel'équation1.
Exercice2(5points)
Unconteneurcontient100flaconsdemêmecapacité,remplisd'unesolutionliquidecontenantunproduitPet
doséedelamanièresuivante:
5flaconssontremplisd'unesolutiondoséeà10%duproduitP;
30flaconssontremplisd'unesolutiondoséeà20%duproduitP;
40flaconssontremplisd'unesolutiondoséeà30%duproduitP;
20flaconssontremplisd'unesolutiondoséeà40%duproduitP;
5flaconssontremplisd'unesolutiondoséeà50%duproduitP.
Ontireauhasardunflaconduconteneur.
Onadmetquetouslesflaconsontlamêmeprobabilitéd'êtretirés.
OnappelleXlavariablealéatoirequi,àchaquetiraged'unflacon,associelenombreexprimantlepourcentagedela
solutioncontenuedansceflacon.
Ainsi,siontirel'undescinqflaconsdontlecontenuestdoséà10%,Xprendlavaleur10.
1)Donner,sousformed'untableau,laloideprobabilitédelavariablealéatoireX.
2)Calculerl'espérancemathématique,delavariablealéatoireX.
3)Déterminerledosagedelasolutionobtenueenmélangeantlecontenudes100flaconsdansunmême
récipient.
4)Danscettequestion,toutetracederecherche,mêmeincomplète,oud'initiativemêmenonfructueuse,sera
priseencomptedansl'évaluation.
LeproduitPétanttoujoursdosésoità10%,soità20%,soità30%,soità40%,soità50%,onsouhaite

MathsFranceSTL2010 Page3
obtenir 29,2enmodifiantledosagedelasolutioncontenuedansunseuldesflacons.Proposerune
manièredeparveniràcerésultat.
Problème(11points)
Onconsidèrelafonctionfdéfiniesurl'intervalle0;∞par:
ln  1
1)Déterminerlalimitedelafonctionfen0(onrappellequelalimitedelorsquextendvers0
est0).
2)Vérifierque,pourtoutnombreréelxappartenantàl'intervalle0;∞,
ln1.
Endéduirelalimitedelafonctionfen∞.
3)Ondésigneparf'ladérivéedelafonctionf
a)Calculer.
Vérifierque,pourtoutnombreréelxappartenantàl'intervalle0;∞,2
1ln.
b)Étudierlesignedesuivantlesvaleursdex.
4)DonnerletableaudevariationdelafonctionfIndiquerleslimitesen0eten∞,ainsiquelavaleur
del'extremumdelafonctionf.
5)Montrerquel'équation0admetunesolutionuniquedansl'intervalle4;5.Déterminer
unencadrementded'amplitude10.
6)OnnoteClacourbereprésentativedelafonctionfdansleplanmunid'unrepèreorthonormé
;; (unitégraphique:1cm).
TracerlacourbeC(fairefigurersurletracélepointAdelacourbeCd'abscisse).
7)Onconsidèrelafonctiongdéfiniesurl'intervalle0;∞par
ln  .Vérifier
quelafonctiongestuneprimitivedelafonctionfsurl'intervalle0;∞.
8)OnconsidèreledomaineDlimitéparlacourbeC,l'axedesabscissesetlesdroitesd'équations
respectives22et4.
Calculerl'airedudomaineD.
Donnerunevaleurapprochéedeaucentième.